Densidade natural

Na teoría dos números, a densidade natural, tamén coñecida como densidade asintótica ou densidade aritmética, é un método para medir o "grande" que é un subconxunto do conxunto de números naturais . Depende principalmente da probabilidade de atopar membros do subconxunto desexado ao pasar polo intervalo Modelo:Math a medida que Modelo:Mvar aumenta.

Intuitivamente, vemos que hai máis números enteiros positivos que cadrados perfectos. No entanto, o conxunto de enteiros positivos non é de feito maior que o conxunto de cadrados perfectos: ambos os dous conxuntos son infinitos e contables e, polo tanto, pódense poñer en correspondencia un a un. Con todo, se un pasa polos números naturais, os cadrados fanse cada vez máis escasos.

Se seleccionamos un número enteiro aleatoriamente do intervalo Modelo:Math, entón a probabilidade de que pertenza a Modelo:Mvar é a relación entre o número de elementos de Modelo:Mvar en Modelo:Math e o número total de elementos en Modelo:Math . Se esta probabilidade tende a algún límite mentres Modelo:Mvar tende ao infinito, entón este límite denomínase densidade asintótica de Modelo:Mvar. Esta noción pódese entender como unha especie de probabilidade de escoller un número do conxunto Modelo:Mvar. De feito, a densidade asintótica (así como outros tipos de densidades) estúdase na teoría probabilística dos números .

Definición

Un subconxunto Modelo:Mvar de enteiros positivos ten densidade natural Modelo:Mvar se a proporción de elementos de Modelo:Mvar entre todos os números naturais de 1 a Modelo:Mvar converxe a Modelo:Mvar mentres Modelo:Mvar tende ao infinito.

Máis explicitamente, se se define para calquera número natural Modelo:Mvar a función de contaxe Modelo:Math como o número de elementos de Modelo:Mvar menor ou igual a Modelo:Mvar, entón a densidade natural de Modelo:Mvar sendo Modelo:Mvar significa exactamente que Modelo:Math as Modelo:Math.$$\underset{\_}{d}(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{a(n)}{n}$$Da definición despréndese que se un conxunto Modelo:Mvar ten densidade natural Modelo:Mvar entón Modelo:Math.

Densidade asintótica superior e inferior

Define a densidade asintótica superior $\bar{d}(A)$ de $A$ (tamén chamada "densidade superior") por$$\underset{\_}{d}(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{a(n)}{n}$$Do mesmo xeito, define a densidade asintótica máis baixa $\underset{\_}{d}(A)$ de $A$ (tamén chamada "densidade inferior") por$$d(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a(n)}{n}$$Pódese dicir que $A$ ten densidade asintótica $d(A)$ se $\underset{\_}{d}(A)=\bar{d}(A)$, nese caso $d(A)$ é igual a este valor común se existe este límite.

Propiedades e exemplos

• Para calquera conxunto finito F de enteiros positivos, d (F) = 0.

• Se d (A) existe para algún conxunto A e A ^c denota o seu conxunto complemento con respecto a $\mathbb{N}$, entón d (A ^c) = 1 − d ( A ).
  • Corolario: Se $F\subset \mathbb{N}$ é finito (incluíndo o caso $F=\mathrm{\varnothing }$ ), $d(\mathbb{N}\setminus F)=1.$

• Se $d(A),d(B),$ e $d(A\cup B)$ existen, daquela$$\max \{d(A),d(B)\}\le d(A\cup B)\le \min \{d(A)+d(B),1\}.$$

• Se $A=\{n^2:n\in \mathbb{N}\}$ é o conxunto de todos os cadrados, entón d (A) = 0.

• Se $A=\{2n:n\in \mathbb{N}\}$ é o conxunto de todos os números pares, entón d (A) = 0,5. Do mesmo xeito, para calquera progresión aritmética $A=\{an+b:n\in \mathbb{N}\}$ obtemos $d(A)=\frac{1}{a}.$

• Para o conxunto P de todos os primos obtemos do teorema dos números primos que d (P) = 0.

• O conxunto de todos os enteiros libres de cadrados ten densidade $\frac{6}{{\pi }^2}.$ De forma máis xeral, o conxunto de todos os números libres dunha potencia n para calquera n natural, ten densidade $\frac{1}{\zeta (n)},$ onde $\zeta (n)$ é a función zeta de Riemann .

• O conxunto de números abundantes ten unha densidade distinta de cero. Marc Deléglise demostrou en 1998 que a densidade do conxunto de números abundantes está entre 0,2474 e 0,2480.

• O conxunto

$A=\bigcup _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\{2^{2n},\dots ,2^{2n+1}-1\}$

de números cuxa expansión binaria contén un número impar de díxitos é un exemplo dun conxunto que non ten unha densidade asintótica, xa que a densidade superior deste conxunto é

$\bar{d}(A)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}=\frac{2}{3},$

mentres que a súa menor densidade é

$\underset{\_}{d}(A)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}=\frac{1}{3}.$

• Considera unha secuencia equidistribuída $\{{\alpha }_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ en $[0,1]$ e define unha familia monótona $\{A_x{\}}_{x\in [0,1]}$ de conxuntos:

$A_x:=\{n\in \mathbb{N}:{\alpha }_n<x\}.$

Daquela, por definición, $d(A_x)=x$ para todos os $x$ .

• Se S é un conxunto de densidades superiores positivas, entón o teorema de Szemerédi afirma que S contén progresións aritméticas finitas arbitrariamente grandes, e o teorema de Furstenberg–Sárközy afirma que algúns dous membros de S difiren por un número cadrado.

Notas

Modelo:Reflist

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita xornal
• Modelo:Cita web
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Densidade de Dirichlet
• Conxectura de Erdős sobre progresións aritméticas