Teorema de Hasse-Minkowski

O teorema de Hasse-Minkowski é un resultado fundamental na teoría de números que afirma que dúas formas cadráticas sobre un corpo numérico son equivalentes se e só se son equivalentes localmente en todos os lugares, é dicir, equivalentes en cada completamento do corpo (que pode ser real, complexo ou p-ádico). Un resultado relacionado é que unha forma cadrática sobre un corpo numérico representa a cero de forma non trivial se e só se isto vale para tódolos completamentos do corpo. O teorema foi demostrado no caso do corpo dos números racionais por Hermann Minkowski e xeneralizado aos corpos numéricos por Helmut Hasse. A mesma afirmación é aínda máis xeral para todos os corpos globais .

Importancia

A importancia do teorema de Hasse-Minkowski reside no novo paradigma que representa para responder a preguntas aritméticas: para determinar se unha ecuación dun determinado tipo ten unha solución en números racionais, é suficiente probar se ten solucións sobre corpos completos de números reais e p-ádicos, onde se aplican consideracións analíticas, como o método de Newton e o seu análogo p-ádico, o lema de Hensel. Isto está encapsulado na idea dun principio local-global, que é unha das técnicas fundamentais da xeometría aritmética.

Enunciado

Sexa $f$ unha forma cadrática sobre $\mathbb{Q}$ e para $p\in V\text{ sexa }{f}_p$ a forma considerada sobre ${\mathbb{Q}}_p$ (o que ten sentido pois $\mathbb{Q}\subset {\mathbb{Q}}_p$). Daquela $f$ representa $0$ se e só se $f_p$ representa $0$ para todo $p\in V$.

Exemplos

Para demostrar que non existe solución para unha ecuación cadrática no corpo global $\mathbb{Q}$ é abondo con probar que non existe solución nun corpo local (por exemplo un corpo p-ádico ${\mathbb{Q}}_p$).

Porén, para demostrar que si existe solución para unha ecuación cadrática no corpo global $\mathbb{Q}$ debemos probar que existe solución en todos os corpos locais ${\mathbb{Q}}_p$.

Exemplo de solución existente

Temos $f(x,y,z)=5x^2+7y^2-13z^2$ e queremos saber se ten solución $f(x_0,y_0,z_0)=0\in {\mathbb{Q}}^3$.

Desglosamos varios casos:

• En ${\mathbb{Q}}_p$ onde $p|2\cdot 5\cdot 7\cdot 13$.

Sábese que en todo corpo finito existe solución para unha forma cadrática en polo menos 3 variábeis. Polo tanto temos unha solución non trivial de $5x^2+7y^2-13z^2\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ onde algún de $x_0,y_0,z_0$ é non divisíbel por $p$, supomos que é $x_0$, así fica $f(x)=5x^2+7y_0^2-13z_0^2$ con valoración p-ádica $v_p(f(x_0))\ge 1$. Mentres que teríamos $f^{\prime }(x_0)=10x_0\equiv ̸0(\mathrm{mod}p)$ posto que $p|2\cdot 5\cdot x_0$. Logo, polo lema de Hensel podemos levantar a unha solución $f(\overline{x_0},y_0,z_0)=0\in {{\mathbb{Q}}_{𝕡}}^3$.

• En ${\mathbb{Q}}_2$

Para $y_0=0,z_0=1$ temos $f(x)=5x^2-13$ e $f^{\prime }(x_0)=10x_0$. Así $x_0=1$ é unha solución de $f$ con $v_2(f(1))=3$ e $v_2(f^{\prime }(1))=1$, por tanto polo lema de Hensel podemos levantar a solución a $f(\overline{x_0},y_0,z_0)=0\in {{\mathbb{Q}}_{\mathrm{𝟚}}}^3$.

• Repetimos o proceso para ${\mathbb{Q}}_5,{\mathbb{Q}}_7\text{ e }{\mathbb{Q}}_{13}$ procurando solucións simples con valoracións maiores que 0 en 5, 7 e 13 (solución con eses valores como factor) e onde a derivada teña valoración 0:
  • ${\mathbb{Q}}_5$, $x_0=0,y_0=2,f(z_0)=28-13z_0^2$, que para $z_0=1$ ten diferenza $15=3\cdot 5$ e por tanto valoración 1.
  • ${\mathbb{Q}}_7$, $x_0=2,y_0=0,f(z_0)=20-13z_0^2$, que para $z_0=1$ ten diferenza $7$ e por tanto valoración 1.
  • ${\mathbb{Q}}_{13}$, $x_0=3,z_0=1,f(y_0)=45+7y_0^2$, que para $y_0=1$ ten suma $52=13\cdot 4$ e por tanto valoración 1.

Por todo isto temos solución en todos os ${\mathbb{Q}}_p^3$ e ten solucións evidentes en ${ℝ}^3$ e por tanto existe solución en $\mathbb{Q}$.

Aplicación na clasificación de formas cadráticas

O teorema de Hasse-Minkowski reduce o problema de clasificar formas cadráticas sobre un corpo numérico K até a equivalencia, a resolver as mesmas cuestións dun modo moito máis simple sobre corpos locais. As invariantes básicas dunha forma cadrática non singular son a súa dimensión, que é un número enteiro positivo, e o seu discriminante módulo os cadrados en K, que é un elemento do grupo multiplicativo K^* / K^*2. Alén diso, para cada lugar v de K, hai unha invariante procedente do completamento de K _v. Dependendo da elección de v, este completamento poden ser os números reais R, os números complexos C, ou un corpo de números p-ádicos, cada un deles ten diferentes tipos de invariantes:

• Caso de R. Pola lei de inercia de Sylvester, a sinatura (ou, alternativamente, o índice negativo de inercia) é unha invariante completa.
• Caso de C. Todas as formas cadráticas non singulares da mesma dimensión son equivalentes.
• Caso de Q _p e as súas extensións alxébricas . As formas da mesma dimensión clasifícanse até a equivalencia pola súa invariante de Hasse.

Estas invariantes deben satisfacer algunhas condicións de compatibilidade: unha relación de paridade (o signo do discriminante debe coincidir co índice negativo de inercia) e unha fórmula do produto (unha relación local-global). Pola contra, para cada conxunto de invariantes que satisfán estas relacións, hai unha forma cadrática sobre K con estas invariantes.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Principio local-global.