Madhava de Sangamagrama

Modelo:Biografía Iriññāttappiḷḷi Mādhavan Nampūtiri, coñecido como Mādhava de Sangamagrāma, nado no reino de Cochim arredor de 1340 e finado arredor de 1425, foi un matemático e astrónomo indio, posiblemnte da cidade de Kallettumkara, Aloor Panchayath, Irinjalakuda no distrito de Thrissur, Kerala. Está considerado o fundador da Escola de Astronomía e Matemáticas de Kerala. Un dos maiores matemáticos da Idade media, Madhava realizou contribucións pioneiras no estudo das series infinitas, a análise, a trigonometría, a xeometría e a álxebra. Foi o primeiro que empregou aproximacións mediante series para as funcións trigonométricas, o que se denominou "o paso adiante decisivo dende os procedementos finitos da matemática antiga cara ao paso ao límite no infinito".

Algúns estudosos suxeriron que a obra de Madhava, mediante os escritos da escola de Kerala, foi transmitida a Europa mediante misioneiros xesuítas e comerciantes activos no antigo porto de Muziris nesa época. Como resultado, puido ter influencia no desenvolvemento posterior en Europa da análise e o cálculo.

Contribucións

Series infinitas

Entre as súas moitas contribucións, descubriu as series infinitas para as funcións trigonométricas do seno, o coseno e o arcotanxente e moitos métodos de cálculo da circunferencia dun círculo. Unha das series de Madhava coñécese polo texto do Yuktibhāṣā, que contén a a derivación e a demostración da serie de potencias para as función trigonométricas inversas, descubertas por Madhava. No texto, Jyeṣṭhadeva describe a serie do seguinte xeito:

Modelo:Cita Isto dá:

$r\theta =\frac{r\sin \theta }{\cos \theta }-(1/3)r\frac{{(\sin \theta )}^3}{{(\cos \theta )}^3}+(1/5)r\frac{{(\sin \theta )}^5}{{(\cos \theta )}^5}-(1/7)r\frac{{(\sin \theta )}^7}{{(\cos \theta )}^7}+\cdots$

ou equivalentemente:

$\theta =\tan \theta -\frac{{\tan }^3\theta }{3}+\frac{{\tan }^5\theta }{5}-\frac{{\tan }^7\theta }{7}+\cdots$

Esta é a serie de Gregory (por James Gregory, que a redescubriu tres séculos despois de Madhava). Mesmo se consideramos esta serie particular como obra de Jyeṣṭhadeva, adiantouse a Gregory nun século e certamente outra serie infinita dunha natureza similar foi traballada por Madhava. Actualmente denomínase serie de Madhava-Gregory-Leibniz.

Trigonometría

Madhava compuxo unha táboa de senos ben axustada. Marcando un cuadrante con vinte e catro intervalos iguais, deu as lonxitudes das semicordas (senos) correspondentes a cada un deles. Crese que calculou estes valores baseándose nestas expansións en series:

$\sin q=q-\frac{q^3}{3!}+\frac{q^5}{5!}-\frac{q^7}{7!}+...$

$\cos q=1-\frac{q^2}{2!}+\frac{q^4}{4!}-\frac{q^6}{6!}+...$

Valor de π

A obra de Madhava sobre o valor da constante pi foi citada no Mahajyānayana prakāra ("Método para os grandes senos"). Mentres algúns estudosos como Sarma cren que este libro puido ser escrito polo propio Madhava, é máis probable que fose obra dun sucesor do século XVI. Este texto atribúe a maioría das expansións de Madhava, e dá a seguinte serie infinita para π, coñecida como serie de Madhava-Leibniz:

$\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1},$

que obtivo da expansión dunha serie de potencias da función arcotanxente. Porén, o máis impresionante é que tamén deu o termo de corrección R_n para o erro tras calcular a suma ata n termos, namely:

$R_n=\frac{(-1{)}^n}{4n}$, ou

$R_n=\frac{(-1{)}^n\cdot n}{4n^2+1}$, ou

$R_n=\frac{(-1{)}^n\cdot (n^2+1)}{4n^3+5n}$,

onde a terceira corrección leva a cálculos máis exactos de π.

Especulouse como atopou Madhava estes termos. Son os primeiros tres converxentes dunha fracción continua finita, o que, combinado coa serie orixinal de Madhava avaliada en n termos, dando arredor de 3n/2 díxitos de corrección:

$\frac{\pi }{4}\approx 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots +\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}+\frac{(-1{)}^n}{4n+\frac{1^2}{n+\frac{2^2}{4n+\frac{3^2}{n+\frac{4^2}{\dots +\frac{\dots }{\dots +\frac{n^2}{n[4-3(nmod2)]}}}}}}}.$

O valor absoluto do termo de corrección na seguinte orde superior é

$|R_n|=\frac{4n^3+13n}{16n^4+56n^2+9}$.

Tamén deu unha serie que converxe máis rapidamente transformando a serie infinita orixinal de π, obtendo as series infinitas

$\pi =\sqrt{12}(1-\frac{1}{3\cdot 3}+\frac{1}{5\cdot 3^2}-\frac{1}{7\cdot 3^3}+\cdots ).$

Empregando os primeiros 21 termos para calcular unha aproximación de π, obtivo o valor correcto con 11 cifras dixitais (3,14159265359). Ás veces atribúese a Madhava o valor de 3,1415926535898, con trece cifras decimais, mais puido ser obra dun dos seus seguidores. Foron as mellores aproximacións de π dende o século V. O texto Sadratnamala parece dar un valor sorprendentemente exacto de π = 3,14159265358979324 (17 decimais). Segundo isto, R. Gupta suxeriu que este texto tamén puido ser escrito por Madhava.

Madhava tamén levou investigacións noutras series para lonxitudes de arco e aproximacións asociadas a fraccións racionais de π, atopou métodos de expansión polinómica, descubriu criterios de converxencia de series infinitas, e a análise de fraccións continuas infinitas. Tamén descubriu as solucións das ecuacións transcendentes por iteración e atopou a aproximación de números transcendentes mediante fraccións continuas.

Cálculo

Madhava estableceu os fundamentos para o desenvolvemento do cálculo infinitesimal, posteriormente desenvolvidos polos seus sucesores na escola de Kerala. Madhava tamén estendeu algúns resultados atopados en traballos anteriores, como os de Bhāskara II. Porén, é dubidoso se algunha destas ideas foron transmitidas a occidente, onde o cálculo se desenvolveu de xeito independente por Isaac Newton e Leibniz.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Biography on MacTutor