Multifractal

De xeito xenérico, un multifractal é un conxunto formado por unha xerarquía de subconxuntos (variedades), cada un deles de carácter fractal (variedades fractais). Polo xeral, considérase que o multifractal é unha variedade topolóxica, xeralmente métrica.

Un sistema multifractal é unha xeneralización dun sistema fractal no cal un só expoñente (a dimensión fractal) non é abondo para describir a súa dinámica, senón que fai falla un espectro continuo de expoñentes (o chamado espectro de singularidade).

Nun sistema multifractal $s$, o comportamento arredor de calquera punto descríbese por unha lei de potencias local:

$s(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{a})-s(\overrightarrow{x})\sim a^{h(\overrightarrow{x})}$

O expoñente $h(\overrightarrow{x})$ denomínase expoñente da singularidade, pois describe o grao local da singularidade ou regularidade arredor do punto $\overrightarrow{x}$.

Calquera reunión de conxuntos fractais por si soa non pode considerarse un multifractal; para iso é necesario que estean coordinados de certo xeito. Como norma xeral, esíxese que o espectro de singularidade sexa unha curva convexa. O obxectivo é garantir que o conxunto, e cada unha dos seus partes sexa invariante baixo transformacións de cambio de escala.

O interese polos multifractais nace do estudo das propiedades dos fluídos turbulentos con alto Número de Reynolds. Estes son os chamados fluídos en réxime de Turbulencia Completamente Desenvolvida. Neses caso, a elevada turbulencia do fluído fai que a súa estrutura abandone todas as simetrías afíns propias do réxime laminar. A calquera escala á que se analice o fluído, atoparase que os graos de liberdade non resoltos non son pequenas variacións ou flutuacións sobre o réxime de maior escala, senón que teñen amplitudes considerables, ata o punto de que a dirección da corrente está complemente indeterminada, aínda que se coñeza a dirección na grande escala.