Homotecia

Homotecia: Exemplo con $k>0$
Para $k=1$ obtense a identidade (non se move punto ningún),
Para $k>1$ unha ampliación
Para $k<1$ unha redución

Exemplo con $k<0$
Para $k=-1$ obtense unha simetría central nun punto $S$

Homotecia dunha pirámide

En matemáticas, unha homotecia é unha transformación dun espazo afín determinada por un punto S chamado centro e un número distinto de cero $k$ chamado o seu ratio, que envía o punto $X$ ata un punto $X^{\prime }$ mediante a regra

$\overrightarrow{S{X}^{\prime }}=k\overrightarrow{SX}$ para un número fixo $k\ne 0$.

Usando vectores de posición:

${𝐱}^{\prime }=𝐬+k(𝐱-𝐬)$ .

No caso de $S=O$ (Orixe):

${𝐱}^{\prime }=k𝐱$ ,

que é unha escala uniforme, onde temos algunhas opcións especiais para $k$ :

para $k=1$ obtemos o mapeo de identidade,

para $k=-1$obtemos o reflexo no centro,

Para $1/k$ obtense o mapa inverso definida por $k$ .

Na xeometría euclidiana as homotecias son as semellanzas que fixan un punto e conservan (se $k>0$) ou inverten (se $k<0$ ) a dirección de todos os vectores. Xunto coas translacións, todas as homotecias dun espazo afín (ou euclidiano) forman un grupo, o grupo de homotecías-translacións. Estas son precisamente as transformacións afines coa propiedade de que a imaxe de cada recta g é unha liña paralela a g.

En xeometría proxectiva, unha transformación homotética é unha transformación de semellanza (é dicir, fixa unha involución elíptica dada) que deixa a recta no infinito invariante.

Na xeometría euclidiana, unha homotecia de razón $k$ multiplica as distancias entre puntos por $|k|$, áreas por $k^2$ e volumes por $|k{|}^3$. Aquí $k$ é o factor de aumento ou dilatación ou o factor de escala ou a razón de semellanza. Tal transformación pódese chamar ampliación se o factor de escala supera 1. O punto fixo S mencionado anteriormente chámase centro homotético ou centro de semellanza.

As homotecias utilízanse para escalar o contido das pantallas de ordenador; por exemplo, teléfonos intelixentes, notebooks e portátiles.

Propiedades

As seguintes propiedades cúmprense en calquera dimensión.

Mapeo de liñas, segmentos e ángulos

• Unha liña mapea nunha liña paralela. Polo tanto: os ángulos permanecen inalterados.
• Consérvase a razón de dous segmentos de liña .

Ambas as propiedades mostran:

• Unha homotecia é unha semellanza .

Consecuencias: un triángulo mapea sobre outro semellante. A imaxe homotética dun círculo é un círculo. A imaxe dunha elipse é semellante, é dicir, a razón dos dous eixes non muda.

Con Teorema de Tales

Composición

A composición de dúas homotecias con centros $S_1,S_2$ e ratios $k_1=2,k_2=0.3$ mapeando $P_i\to Q_i\to R_i$ é unha homotecia de novo co seu centro $S_3$ na liña $\overline{S_1{S}_2}$ con proporción $k\cdot l=0.6$ .

• A composición de dúas homotecias co mesmo centro $S$ volve ser unha homotecia co centro $S$ . As homotecias con centro $S$ formar un grupo.
• A composición de dúas homotecias con centros diferentes $S_1,S_2$ e as súas razóns $k_1,k_2$ resulta en

en caso de $k_1{k}_2\ne 1$ unha homotecia co centro na liña $\overline{S_1{S}_2}$ e proporción $k_1{k}_2$ ou

en caso de $k_1{k}_2=1$ unha translación na dirección $\overrightarrow{S_1{S}_2}$. Sobre todo, se $k_1=k_2=-1$ (reflexións centrais).

Composición con translación

• A composición dunha homotecia e dunha translación é unha homotecia.

Demostración:

A composición da homotecia

$\sigma :𝐱\to 𝐬+k(𝐱-𝐬),k\ne 1,$ e a translación

$\tau :𝐱\to 𝐱+𝐯$ é

$\tau \sigma :𝐱\to 𝐬+𝐯+k(𝐱-𝐬)$

$=𝐬+\frac{𝐯}{1-k}+k(𝐱-(𝐬+\frac{𝐯}{1-k}))$

que é unha homotecia con centro ${𝐬}^{\prime }=𝐬+\frac{𝐯}{1-k}$ e razón $k$.

En coordenadas homoxéneas

A homotecia $\sigma :𝐱\to 𝐬+k(𝐱-𝐬)$ con centro $S=(u,v)$ pódese escribir como a composición dunha homotecia con centro $O$ e unha translación:

$𝐱\to k𝐱+(1-k)𝐬$ .

De aí que $\sigma$ pódese representar en coordenadas homoxéneas pola matriz:

$\left(\begin{array}{ccc}k& 0& (1-k)u\\ 0& k& (1-k)v\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Unha transformación linear de homotecia pura tamén é conforme porque está composta por translación e escala uniforme.

Véxase tamén

Bibliografía

• H.S.M. Coxeter, "Introduction to geometry" , Wiley (1961), p. 94
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Escala (xeometría) noción similar en espazos vectoriais
• Translación (xeometría)
• Rotación (xeometría)

Ligazóns externas

• Homothety, interactivo de Cut-the-Knot.

Modelo:Control de autoridades