Función divisor

Función divisor σ₀ (n) ata n = 250

Función sigma σ₁ (n) ata n = 250

En matemáticas, e concretamente na teoría de números, unha función divisor é unha función aritmética relacionada cos divisores dun número enteiro. Aparece en varias identidades notables, incluíndo relacións coa función zeta de Riemann e a serie de Eisenstein de formas modulares. As funcións divisor foron estudadas por Ramanujan, que deu unha serie de congruencias e identidades importantes; estas son tratados por separado no artigo Suma de Ramanujan (de momento en inglés).

Unha función relacionada é a función sumatorio da función divisor, $D(x)$.

Definición

A función suma de divisores positivos σ_z(n), para un número real ou complexo z, defínese como a suma das potencias z-ésimas dos divisores positivos de n. Pódese expresar como

${\sigma }_z(n)=\sum _{d\mid n}{d}^z$,

onde $d\mid n$ é a abreviatura de "d divide a n". O número de divisores é ${\sigma }_0=d(x)$ Modelo:OEIS e a suma de divisores é ${\sigma }_1$, moitas veces omitindo o subíndice polo que σ(n) é o mesmo que σ₁(n) Modelo:OEIS.

Nomenclatura

Hai que ter coidado coa nomenclatura desta función e outras relacionadas cos divisores, tendo en conta tamén os usos en varios idiomas. Hai fundamentalmente 3 funcións relacionadas,

• $d(n)$: función número de divisores. Dá o número de divisores e coincide con ${\sigma }_0(n)$. Fálase dela no artigo divisor.
• ${\sigma }_z(n)$: función suma de divisores positivos.É a función tratada neste artigo. É a función que suma os valores das potencias Modelo:Mvar dos divisores. ${\sigma }_1(n)$ escríbese moitas veces sen subíndice e representa a suma dos divisores.
• $D(x)$: función sumatorio da función divisor. Que dá como valor o sumatorio do número de divisores $d(n)$ para os Modelo:Mvar menores que Modelo:Mvar.

Para a función suma de divisores positivos úsase frecuentemente o reducido función divisor, en francés denomínase de xeito moi descritivo "Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs" e en italiano "funzione sigma", na maioría de resto de linguas denomínase "función divisor".

Para a función "número de divisores", úsase aproximadamente esa mesma nomenclatura mais as veces tamén a inclúen como función divisor, pola súa igualdade con ${\sigma }_0(n)$.

En canto a función sumatorio da función divisor non atopamos moitas referencias sendo en inglés "Divisor summatory function" e en español "Función suma de divisores".

Exemplos

Por exemplo, σ₀ (12) é o número dos divisores de 12:

$\begin{array}{cc}{\sigma }_0(12)& =1^0+2^0+3^0+4^0+6^0+12^0\\ & =1+1+1+1+1+1=6,\end{array}$

mentres que σ₁ (12) é a suma de todos os divisores:

$\begin{array}{cc}{\sigma }_1(12)& =1^1+2^1+3^1+4^1+6^1+12^1\\ & =1+2+3+4+6+12=28,\end{array}$

e podemos ver tamén para a potencia 2

$\begin{array}{cc}{\sigma }_2(12)& =1^2+2^2+3^2+4^2+6^2+12^2\\ & =1+4+9+16+36+144=210,\end{array}$

para a primeira potencia negativa temos

$\begin{array}{cc}{\sigma }_{-1}(12)& =1^{-1}+2^{-1}+3^{-1}+4^{-1}+6^{-1}+12^{-1}\\ & =\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\\ & =\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}+\frac{2}{12}+\frac{1}{12}\\ & =\frac{12+6+4+3+2+1}{12}=\frac{28}{12}=\frac{7}{3}=\frac{{\sigma }_1(12)}{12}\end{array}$

σ_-1 ( n ) está relacionado co número abundante.

Para a función $D(x)$, función sumatorio da función divisor, Modelo:OEIS, que é o sumatorio do número de divisores ${\sigma }_0(i)$ para Modelo:Mvar de 0 ata un número determinado Modelo:Mvar, temos por exemplo: $D(12)=\sum _{n\le 12}{\sigma }_0(n)=1+2+2+3+2+4+2+4+3+4+2+6=37$.

Táboa de valores

Para ${\sigma }_z$, os casos z = 2 a 5 están listados desde a Modelo:OEIS ata a Modelo:OEIS, para z = 6 a 24 están listados desde a Modelo:OEIS ata a Modelo:OEIS.

Propiedades

Fórmulas para potencias de primos

Para un número primo p,

$\begin{array}{cc}{\sigma }_0(p)& =2,\\ {\sigma }_0(p^n)& =n+1,\\ {\sigma }_1(p)& =p+1,\end{array}$

porque por definición, os factores dun número primo son 1 e el mesmo. A maiores, se p_n # denota o primorial (produto dos primeiros n primos), temos

${\sigma }_0(p_n\mathrm{\#})=2^n$.

A función divisor é multiplicativa (xa que cada divisor c do produto mn con $\gcd (m,n)=1$ corresponde claramente cun divisor a de m e un divisor b de n), mais non completamente multiplicativa,

$\gcd (a,b)=1\text{ implica }{\sigma }_x(ab)={\sigma }_x(a){\sigma }_x(b).$

A consecuencia disto é que, se escribimos

$n=\prod _{i=1}^r{p}_i^{a_i}$

onde r = ω(n) é o número de factores primos distintos de n, p_i é o i-ésimo factor primo e a_i é a potencia máxima de p_i pola cal n é divisible, daquela temos: Modelo:Sfnp

${\sigma }_x(n)=\prod _{i=1}^r\sum _{j=0}^{a_i}{p}_i^{jx}=\prod _{i=1}^r(1+p_i^x+p_i^{2x}+\cdots +p_i^{a_{i}x}).$

que, cando x ≠ 0, é equivalente á útil fórmula: Modelo:Sfnp

${\sigma }_x(n)=\prod _{i=1}^r\frac{p_i^{(a_i+1)x}-1}{p_i^x-1}.$

Cando x = 0, ${\sigma }_0(n)$ é: Modelo:Sfnp

${\sigma }_0(n)=\prod _{i=1}^r(a_i+1).$

Por exemplo, se n é 24, hai dous factores primos (p₁ é 2 e p₂ é 3); tendo en conta que 24 é o produto de 2³ × 3¹, a₁ é 3 e a₂ é 1. Así podemos calcular ${\sigma }_0(24)$ do seguinte modo:

${\sigma }_0(24)=\prod _{i=1}^2(a_i+1)=(3+1)(1+1)=4\cdot 2=8.$

Os oito divisores contados por esta fórmula son 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 e 24.

Outras propiedades e identidades

Euler demostrou a notable recorrencia:

$\begin{array}{cc}{\sigma }_1(n)& ={\sigma }_1(n-1)+{\sigma }_1(n-2)-{\sigma }_1(n-5)-{\sigma }_1(n-7)+{\sigma }_1(n-12)+{\sigma }_1(n-15)+\cdots \\ & =\sum _{i\in \mathbb{N}}(-1{)}^{i+1}({\sigma }_1(n-\frac{1}{2}(3i^2-i))+{\sigma }_1(n-\frac{1}{2}(3i^2+i))),\end{array}$

onde ${\sigma }_1(0)=n$ cando acontece, e ${\sigma }_1(x)=0$ para $x<0$, e $\frac{1}{2}(3i^2\mp i)$ son pares consecutivos de números pentagonais xeneralizados (Modelo:OEIS, comezando con desprazamento 1). De feito, Euler demostrou isto mediante a diferenciación logarítmica da identidade no seu teorema dos números pentagonais.

Tamén temos s (n) = σ (n) − n. Onde s(n) denota a suma dos divisores propios de n, é dicir, os divisores de n excluíndo o propio n . Esta función úsase para recoñecer números perfectos, que son os n tal que s(n) = n. Se s (n) > n, entón n é un número abundante, e se s (n) < n, entón n é un número deficiente.

Se Modelo:Mvar é unha potencia de 2, $n=2^k$, entón $\sigma (n)=2\cdot 2^k-1=2n-1$ e $s(n)=n-1$, o que fai n case perfecto.

Como exemplo, para dous primos $p,q:p<q$, e sexa

$n=pq$ .

Daquela

$\sigma (n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q),$

$\phi (n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q),$

e

$n+1=(\sigma (n)+\phi (n))/2,$

$p+q=(\sigma (n)-\phi (n))/2,$

onde $\phi (n)$ é a función totiente de Euler.

Entón, as raíces de

$(x-p)(x-q)=x^2-(p+q)x+n=x^2-[(\sigma (n)-\phi (n))/2]x+[(\sigma (n)+\phi (n))/2-1]=0$

e podemos expresar p e q só en termos de σ (n) e φ (n), sen necesidade de coñecemento de $n\text{ ou }p+q$, como

$p=(\sigma (n)-\phi (n))/4-\sqrt{[(\sigma (n)-\phi (n))/4{]}^2-[(\sigma (n)+\phi (n))/2-1]},$

$q=(\sigma (n)-\phi (n))/4+\sqrt{[(\sigma (n)-\phi (n))/4{]}^2-[(\sigma (n)+\phi (n))/2-1]}.$

En 1984, Roger Heath-Brown demostrou que a igualdade ${\sigma }_0(n)={\sigma }_0(n+1)$

é certa para infinitos valores de Modelo:Mvar, consulte Modelo:OEIS.

Relacións con series

Dúas series de Dirichlet que inclúen a función divisor son: Modelo:Sfnp

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_a(n)}{n^s}=\zeta (s)\zeta (s-a)\text{for}s>1,s>a+1,$

onde $\zeta$ é a función zeta de Riemann.

A serie para d(n) = σ₀ (n) dá: Modelo:Sfnp

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d(n)}{n^s}={\zeta }^2(s)\text{for}s>1,$

e unha identidade de Ramanujan Modelo:Sfnp

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_a(n){\sigma }_b(n)}{n^s}=\frac{\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)},$

que é un caso especial da convolución de Rankin-Selberg .

Unha serie de Lambert que inclúe a función divisor é: Modelo:Sfnp

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^n{\sigma }_a(n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^a{q}^{jn}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^a{q}^n}{1-q^n}$

para dous complexos arbitrarios |q| ≤ 1 e a. Esta suma tamén aparece como a serie de Fourier da serie de Eisenstein e as invariantes das funcións elípticas de Weierstrass .

Para $k>0$, hai unha representación explícita como serie coa suma de Ramanujan $c_m(n)$ como:

${\sigma }_k(n)=\zeta (k+1)n^k\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_m(n)}{m^{k+1}}.$

O cálculo dos primeiros termos de $c_m(n)$ mostra as súas oscilacións arredor do "valor medio" $\zeta (k+1)n^k$:

${\sigma }_k(n)=\zeta (k+1)n^k[1+\frac{(-1{)}^n}{2^{k+1}}+\frac{2\cos \frac{2\pi n}{3}}{3^{k+1}}+\frac{2\cos \frac{\pi n}{2}}{4^{k+1}}+\cdots ]$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro.
• Bach, Eric; Shallit, Jeffrey, Algorithmic Number Theory, volume 1, 1996, MIT Press. Modelo:ISBN, see page 234 in section 8.8.
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Función totiente de Euler
• Táboa de divisores

Ligazóns externas

• Modelo:Mathworld
• Modelo:Mathworld
• Elementary Evaluation of Certain Convolution Sums Involving Divisor Functions PDF of a paper by Huard, Ou, Spearman, and Williams. Contains elementary.