Transformada integral

En matemática, unha transformada integral é calquera transformada T da seguinte forma:

$(Tf)(u)=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}f(t)K(t,u)dt.$

O input desta transformada é unha función f, e o output é outra función Tf.

Existen varias transformadas integrais uteis. Cada transformada correspone a unha diferente escolla da función K, que se chama de Kernel da transformada.

Táboa de Transformadas integrais

Transformada	Símbolo	Kernel	t1	t2
Transformada de Fourier	$ℱ$	$\frac{e^{iut}}{\sqrt{2\pi }}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$
Transformada de Mellin	$ℳ$	$t^{u-1}$	$0$	$\mathrm{\infty }$
Transformada de Laplace dos dous lados	$ℬ$	$e^{-ut}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$
Transformada de Laplace	$ℒ$	$e^{-ut}$	$0$	$\mathrm{\infty }$
TRansformada de Hankel		$t{X}_{\nu }(ut)$	$0$	$\mathrm{\infty }$
Transformada de Abel		$\frac{t}{\sqrt{t^2-u^2}}$	$u$	$\mathrm{\infty }$
Transformada de Hilbert	$\mathscr{H}$	$\frac{1}{\pi }\frac{1}{u-t}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$
Transformada Identidade		$\delta (u-t)$	$t_1<u$	$t_2>u$

A pesar das propiedades das transformadas integrais variaren moito, elas teñen algunhas propiedades en común. Por exemplo, calquera transformada integral é un operador linear, unha vez que o integral é un operador linear e na verdade caso o kernel sexa permitido ser unha función xeneralizada, entón todos os operadores lineares transformanse integrais (o teorema kernel de Schwartz é unha versión formalizada desta afirmación). Modelo:Control de autoridades