Teorema de Brun-Titchmarsh

Na teoría analítica de números, o teorema de Brun-Titchmarsh, que recibe o nome de Viggo Brun e Edward Charles Titchmarsh, é un límite superior da distribución dos números primos en progresión aritmética.

Enunciado

Sexa $\pi (x;q,a)$ a función que conta o número de primos p congruentes cun módulo q con p ≤ x . Entón

$\pi (x;q,a)\le \frac{2x}{\phi (q)\log (x/q)}$

para todos os q < x .

Historia

O resultado probouse por métodos de cribo por Montgomery e Vaughan; un resultado anterior de Brun e Titchmarsh obtivo unha versión máis feble desta desigualdade cun factor multiplicativo adicional de $1+o(1)$.

Melloras

Se q é relativamente pequeno, por exemplo, $q\le x^{9/20}$, daquela existe un límite mellor:

$\pi (x;q,a)\le \frac{(2+o(1))x}{\phi (q)\log (x/q^{3/8})}$

Este resultado débese a Y. Motohashi (1973). Utilizou unha estrutura bilineal no termo de erro no cribo de Selberg, descuberta por el mesmo.

Comparación co teorema de Dirichlet

Pola contra, o teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas dá un resultado asintótico, que pode expresarse na forma

$\pi (x;q,a)=\frac{x}{\phi (q)\log (x)}\left(1+O\left(\frac{1}{\log x}\right)\right)$

pero só se pode demostrar que se cumpre para o rango máis restrinxido q < (log x ) ^c para a constante c: este é o teorema de Siegel-Walfisz .

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

• Modelo:Cita libro.