Teorema de Bolzano-Weierstrass

Modelo:Outros homónimos Na análise real, o teorema de Bolzano–Weierstrass é un importante teorema que caracteriza os conxuntos secuencialmente compactos.

Enunciado

Na análise real, o teorema de Bolzano-Weierstrass é un resultado fundamental referente á converxencia nun espazo euclidiano dimensionalmente finito Rⁿ. O teorema establece que cada sucesión limitada en Rⁿ ten unha subsucesión converxente. Unha formulación equivalente é que un subconxunto de Rⁿ é secuencialmente compacto se e só se é pechado e limitado.

Demostración

Primeiro demostramos o teorema para ${ℝ}^1$ (conxunto de todos os números reais), nese caso podemos aproveitar a orde en ${ℝ}^1$. Así, temos o seguinte resultado:

Lema: Toda sucesión infinita $(x_n)$ en ${ℝ}^1$ ten unha subsucesión monótona infinita (unha subsucesión que é non decrecente ou non crecente).

Proba: Chamemos "pico" da sucesión a un índice de valores enteiros positivos $n$ dunha sucesión cando $x_m\le x_n$ para todo $m>n$. Supoña primeiro que a sucesión ten infinitos picos, o que significa que hai unha subsucesión cos seguintes índices $n_1<n_2<n_3<\dots <n_j<\dots$ e os seguintes termos $x_{n_1}\ge x_{n_2}\ge x_{n_3}\ge \dots \ge x_{n_j}\ge \dots$. Entón, a sucesión infinita $(x_n)$ en ${ℝ}^1$ ten unha subsucesión monótona (non crecente), que é $(x_{n_j})$. Mais supoñamos agora que só hai un número finito de picos, sexa $N$ o pico final se o existe (se non $N=0$) e coloquemos en $n_1=N+1$ o primeiro índice dunha nova subsucesión $(x_{n_j})$. Daquela $n_1$ non é un pico, xa que $n_1$ vén despois do pico final, o que implica a existencia de $n_2$ con $n_1<n_2$ e $x_{n_1}<x_{n_2}$. De novo, $n_2$ vén despois do pico final, polo que hai un $n_3$ onde $n_2<n_3$ con $x_{n_2}\le x_{n_3}$. A repetición deste proceso leva a unha subsucesión infinita non decrecente $x_{n_1}\le x_{n_2}\le x_{n_3}\le \dots$, demostrando así que toda sucesión infinita $(x_n)$ en ${ℝ}^1$ ten unha subsucesión monótona infinita.

Supoñamos agora que se ten unha sucesión limitada en ${ℝ}^1$; polo lema demostrado anteriormente existe unha subsucesión monótona, igualmente tamén limitada. Do teorema da converxencia monótona despréndese que esta subsucesión converxe.

Finalmente, o caso xeral (${ℝ}^n$), pódese reducir ao caso de ${ℝ}^1$ como segue: dada unha sucesión limitada en ${ℝ}^n$, a sucesión das primeiras coordenadas é unha sucesión de números reais limitada, polo que ten unha subsucesión converxente. Pódese entón extraer unha sub-subsucesión na que converxen as segundas coordenadas, e así sucesivamente, ata que ao final pasamos da sucesión orixinal a unha subsucesión $n$ veces, que segue a ser unha subsucesión do sucesión orixinal, na que converxe cada sucesión de coordenadas, polo que a propia subsucesión é converxente.

Compactidade secuencial en espazos euclidianos

Definición: Un conxunto $A\subseteq {ℝ}^n$ é secuencialmente compacto se toda sucesión $\{x_n\}$ en $A$ ten unha subsucesión converxente que converxe a un elemento de $A$.

Teorema: $A\subseteq {ℝ}^n$ é secuencialmente compacto se e só se $A$ é pechado e limitado.

Proba: (A compactidade secuencial implica pechado e limitado)

Supoña que $A$ é un subconxunto de ${ℝ}^n$ coa propiedade de que cada sucesión en $A$ ten unha subsucesión converxendo nun elemento de $A$. daquela, $A$ debe estar limitado, xa que, no caso contrario, pódese construír a sucesión sen límites $\{x_n\}\in A$, do seguinte modo. Para cada $n\in \mathbb{N}$, defina $x_n$ como un punto arbitrario tal que $||x_n||\ge n$. Entón, cada subsucesión de $\{x_n\}$ é ilimitada e, polo tanto, non é converxente. Ademais, $A$ debe estar pechado, xa que calquera punto límite de $A$, que ten unha sucesión de puntos en $A$ que converxe a si mesmo, tamén debe estar en $A$.

Proba: (pechado e limitado implica compactidade secuencial)

Dado que $A$ está limitada, calquera sucesión $\{x_n\}\in A$ tamén está limitada. Do teorema de Bolzano-Weierstrass, $\{x_n\}$ contén unha subsucesión que converxe nalgún punto $x\in {ℝ}^n$. Xa que $x$ é un punto límite de $A$ e $A$ é un conxunto pechado, $x$ debe ser un elemento de $A$.

Así, os subconxuntos $A$ de ${ℝ}^n$ para os que cada sucesión en A ten unha subsucesión que converxe a un elemento de $A$, é dicir, os subconxuntos que son secuencialmente compactos na topoloxía subespacial, son precisamente os subconxuntos pechados e limitados.

Esta forma do teorema deixa especialmente clara a analoxía co teorema de Heine–Borel, que afirma que un subconxunto de ${ℝ}^n$ é compacto se e só se está pechado e limitado. De feito, a topoloxía xeral dinos que un espazo metrizable é compacto se e só se é secuencialmente compacto, polo que os teoremas de Bolzano–Weierstrass e Heine–Borel son esencialmente iguais.

Historia

O teorema de Bolzano-Weierstrass leva o nome de matemáticos Bernard Bolzano e Karl Weierstrass. En realidade, foi demostrado por primeira vez por Bolzano en 1817 como un lema na demostración do teorema de valor intermedio. Uns cincuenta anos máis tarde, o resultado foi identificado como significativo por dereito propio, e demostrado unha vez máis por Weierstrass. Desde entón converteuse nun teorema fundamental da análise.

Véxase tamén

Outros artigos

• Teorema de Heine-Borel

Bibliografía

• Fitzpatrick, Patrick M. (2006) Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thompson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Bolzano-Weierstrass theorem», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104
• Weisstein, Eric W. «Bolzano-Weierstrass Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.