Teorema da norma de Hasse

Na teoría dos números, o teorema da norma de Hasse indica que se L/K é unha extensión cíclica de corpos numéricos, entón se un elemento distinto de cero de K é unha norma local en todas as partes, entón é unha norma global. Aquí ser unha norma global significa ser un elemento k de K tal que hai un elemento l de L con ${𝐍}_{L/K}(l)=k$; noutras palabras k é unha norma relativa dalgún elemento do corpo de extensión L. Ser unha norma local significa que para algún primo p de K e algún primo P de L sobre K, entón k é unha norma de L_P; aquí o "primo" p pode ser unha valoración arquimedeana, e o teorema é unha afirmación sobre os completamentos en todas as valoracións, arquimedeanas e non arquímedes.

O teorema non é certo en xeral se a extensión é abeliana mais non cíclica. Hasse deu o contraexemplo de que 3 é unha norma local en todas as partes para a extensión $𝐐(\sqrt{-3},\sqrt{13})/𝐐$ mais non é unha norma global. Serre e Tate demostraron que outro contraexemplo vén dado polo corpo $𝐐(\sqrt{13},\sqrt{17})/𝐐$ onde cada cadrado racional é unha norma local en todas as partes mais $5^2$ non é unha norma global.

Este é un exemplo dun teorema que estabelece un principio local-global.

O teorema completo débese a Modelo:Harvs. O caso especial cando o grao n da extensión é 2 foi probado por Modelo:Harvtxt, e o caso especial cando n é primo foi demostrado por Furtwangler en 1902.Modelo:Cn

O teorema da norma de Hasse pódese deducir do teorema de que un elemento do grupo de cohomoloxía de Galois H²(L/K) é trivial se é trivial localmente en todas as partes, o que á súa vez é equivalente ao teorema profundo de que a primeira cohomoloxía do grupo de clases ideles desaparece. Isto é certo para todas as extensións finitas de Galois de corpos numéricos, non só para as cíclicas. Para extensións cíclicas o grupo H²(L/K) é isomorfo ao grupo de cohomoloxía de Tate H⁰( L/K) que describe que elementos son normas, polo que para as extensións cíclicas convértese no teorema de Hasse de que un elemento é unha norma se é unha norma local en todas as partes.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• H. Hasse, "A history of class field theory", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.XI.
• G. Janusz, Algebraic number fields, Academic Press, 1973. Theorem V.4.5, p. 156
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Lema de Hensel.
• Principio local-global.

Modelo:Control de autoridades