Regra de Simpson

A función f(x) (azul) é aproximada por unha función cuadrática P(x) (vermello).

Na análise numérica, a regra ou método de Simpson (chamada así na honra de Thomas Simpson) é un método de integración numérica que se utiliza para obter a aproximación da integral:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{6}[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)]$.

Derivación da regra de Simpson

Consideramos o polinomio interpolante de orde dous ${\mathrm{P}}_{\mathrm{2}}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}$, que se aproxima a función integrando $\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}$ entre os nodos x₀ = a, x₁ = b e m = (a+b)/2. A expresión dese polinomio interpolante, expresado a través da Interpolación polinómica de Lagrange é:

$P_2(x)=f(a)\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+f(m)\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+f(b)\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}.$

Así, a integral buscada pódese aproximar como:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \underset{a}{\overset{b}{\int }}{P}_2(x)dx=\frac{h}{3}[f(a)+4f(m)+f(b)].$

Erro

O erro de aproximar a integral mediante o método de Simpson é

$-\frac{h^5}{90}{f}^{(4)}(\xi ),$

onde $h=(b-a)/2$ e $\xi \in [a,b]$.

Regra de Simpson composta

No caso de que o intervalo [a,b] non sexa o suficientemente pequeno, o erro ao calcular a integral pode ser moi grande. Para iso, recórrese á fórmula composta de Simpson. Dividiremos o intervalo [a,b] en n subintervalos iguais, de xeito que $x_i=a+ih$, onde $h=(b-a)/n$ para $i=0,1,...,n$.

Aplicando a Regra de Simpson a cada subintervalo, temos:

$\underset{x_{j-1}}{\overset{x_j}{\int }}f(x)dx=\frac{x_j-x_{j-1}}{6}[f(x_{j-1})+4f\left(\frac{x_{j-1}+x_j}{2}\right)+f(x_j)]j=1,...,n.$

Sumando as integrais de todos os subintervalos, chegamos a que:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{h}{3}[f(x_0)+2\sum _{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n)],$

O máximo erro vén dado pola expresión $-\frac{h^4}{180}(b-a)f^{(4)}(\xi ).$