Redes neuronais informadas fisicamente

Redes neuronais informadas fisicamente para resolver as ecuacións de Navier-Stokes

As redes neuronais informadas fisicamente ou "Physics-informed neural networks" (PINNs) en inglés son un tipo de redes neuronais que actúan como aproximadores universais de funcións integrando o coñecemento de leis física descritas por ecuacións en derivadadas parciais (EDPs). Unha das súas principais vantaxes é o feito de non requirir unha gran cantidade de datos para o seu adestramento, problema especialmente urxente nalgúns sistemas de enxeñaría ou nalgúns modelos biolóxicos. O coñecemento previo de leis físicas xerais actúa no adestramento das redes neuronais como forma de regularización limitando o espazo de solucións admisíbeis. Deste xeito, integrar esta información previa na rede neuronal complementa a información que se pode extraer directamente do conxunto de datos dispoñíbeis, facilitando así que o algoritmo aprenda unha mellor aproximación da verdadeira función e cunha mellor xeralización a partir dunha cantidade baixa de datos de adestramento.

Modelaxe e computación

Unha ecuación en derivas parciais xeral pode ser:

$u_t+N[u;\lambda ]=0,x\in \mathrm{\Omega },t\in [0,T]$

onde $u(t,x)$ denota a solución, $N[\cdot ;\lambda ]$ é un operador non-linear parametrizado por $\lambda$, e $\mathrm{\Omega }$ é un subconxunto de ${ℝ}^D$. Esta forma xeral de describir as ecuacións resume unha gama ancha de problemas na física matemática, como as leis de conservación, os procesos de difusión, os sistemas de advección-difusión, e ecuacións cinéticas. Dados datos con ruído dun sistema dinámico xenérico descrito pola ecuación anterior, as PINNs poden ser deseñadas para solucionar dúas clases de problemas:

• resolución a partir de datos
• descubrimento a partir de datos

de ecuacións en derivadas parciais.

Resolución a partir de datos de ecuacións en derivadas parciais

A resolución a partir de datos das EDPs calcula o estado escondido do sistema,$u(t,x)$, dadas as condicións de fronteira, $z$, e/ou os parámetros fixados do modelo, $\lambda$. O problema a resolver é:

$u_t+N[u]=0,x\in \mathrm{\Omega },t\in [0,T]$.

Definindo o residuo $f(t,x)$ como

$f:=u_t+N[u]=0$,

e aproximando $u(t,x)$ por unha rede neuronal profunda. Esta rede pode ser obtida utilizando diferenciación automática. Entón, os parámetros de $u(t,x)$ e $f(t,x)$ poden ser aprendidos para minimizar a seguinte función de perda:

$L_{tot}=L_u+L_f$,

onde $L_u=\Vert u-z{\Vert }_{\mathrm{\Gamma }}$ é o erro entre a aproximación de $u(t,x)$ feita pola PINN e o conxunto de condicións de fronteira e datos no conxunto de puntos $\mathrm{\Gamma }$ onde as condicións de fronteira están definidas, e $L_f=\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\Gamma }}$ é o erro cadrático medio da función de residuos. Esta segunda compoñente estimula á rede neuronal a aprender a información estrutural expresada pola ecuación en derivadas parciais durante o proceso de adestramento.

Este método foi empregado para desenvolver modelos aproximados eficientes computacionalmente con aplicacións no prognóstico de procesos físicos, modelando a predición de control, a modelase multi-física e de escala múltiple, e en simulacións.

Descubrimento a partir de datos de ecuacións en derivadas parciais

Dadas medidas con ruído e/ou incompletas, $z$, do estado do sistema, o descubrimento a partir de datos de EDPs consiste en calcular o estado descoñecido $u(t,x)$ e aprender os parámetros $\lambda$ do modelo que mellor describen os datos observados e que pode ser descrito da seguinte maneira:

$u_t+N[u;\lambda ]=0,x\in \mathrm{\Omega },t\in [0,T]$,

e definindo $f(t,x)$ como

$f:=u_t+N[u;\lambda ]=0$.

e aproximando $u(t,x)$ por unha rede neuronal profunda. Esta rede pode ser obtida utilizando diferenciación automática. Os parámetros $\lambda$ e o estado descoñecido $u(t,x)$ poden ser aprendidos minimando a función de perda seguinte:

$L_{tot}=L_u+L_f$,

onde $L_u=\Vert u-z{\Vert }_{\mathrm{\Gamma }}$ é o erro entre a aproximación de $u(t,x)$ feita pola PINN nos datos contidos no conxunto $\mathrm{\Gamma }$ de condicións de fronteira e $L_f=\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\Gamma }}$ é o erro cadrático medio da función de residuos

Esta estratexia permite obter os modelos dinámicos descritos pocas EDPs non-lineais cun custo computacional reducido, podendo atopar aplicación en prognóstico preditivo, control, e asimilación de datos.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• PINN – repositorio para implementar redes neuronais informadas fisicamente en Python
• XPINN – repositorio para implementar redes neuronais informadas fisicamente e estendidas en Python
• PIPN [1]– repositorio para implementar redes neuronais informadas fisicamente de tipo PointNet en Python