Rectángulo dourado

Un rectángulo dourado cun lado maior a e cun lado menor b. Cando se abate o rectángulo pequeno sobre o cadrado de lado a, xérase un rectángulo dourado similar co seu lado maior a + b e co seu lado máis curto a. Esta operación ilustra a relación matemática:$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\phi .$

O rectángulo dourado (denominado tamén rectángulo áureo ou rectángulo de ouro) é un rectángulo que posúe unha proporcionalidade entre os seus lados igual á razón áurea. Ao dividir a base deste rectángulo pola súa altura, obtense o número áureo 1.618. Ao subtraer a imaxe dun cadrado igual ao do seu lado menor, o rectángulo resultante é igualmente un rectángulo dourado. A partir deste rectángulo pódese obter a espiral dourada, que é unha espiral logarítmica.

Construción

Un método para construír un rectángulo dourado. O cadrado está punteado en vermello. As dimensións resultantes son a razón áurea.

Proceso de construción do rectángulo de ouro con medidas.

Na matemática clásica constrúese mediante regra e compás seguindo os pasos:

1. Constrúese un cadrado de lado unidade $ABCD$
2. Trázase unha liña desde a metade do lado do cadrado ($G$) até un dos vértices do lado oposto, dando un segmento $GC$
3. Empregando esta liña $GC$ como raio, colócase a punta do compás na metade do cadrado e abátese até cortar en $E$.
4. Complétase o rectángulo $AEDF$ así como o rectángulo $BCEF$.

Desenvolvementos

De acordo co divulgador científico Mario Greco, desde a publicación do libro de Bruno Miere titulado Divina Proportione en 1509, é cando a razón dourada aparece descrita nos tratados de arte e de arquitectura, facendo que moitos artistas e arquitectos a empregasen a súa cantidade no deseño por consideralo esteticamente agradable.

Alxébrica

Se a lonxitude do lado maior se denomina $x$, tense por definición:

$\frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}$

Isto leva a resolver a ecuación de segundo grao:

$x^2-x-1=0$

Na que unha das dúas raíces é a proporción dourada.

O rectángulo de Euclides

Trátase dunha das demostracións máis coñecidas desde a antigüidade.

Euclides obtén o rectángulo áureo $AEFD$ a partir do cadrado $ABCD$. O rectángulo $BEFC$ é así mesmo áureo.

O rectángulo cuxos vértices se definen polos puntos $AEFD$ defínese como áureo debido a que o seu lado maior $AE$ e o seu lado curto $AD$ presentan a proporción do número áureo. O matemático grego Euclides, na súa obra Os elementos, obtén a súa construción. Sendo o triángulo $GBC$ pitagórico, tense que $GC$ (a hipotenusa) ten como valor:

$GC=\sqrt{5}$

Con centro en $G$, prolongando até a recta $AE$, obtense por intersección o punto $E$, e por tanto:

$GE=GC=\sqrt{5}$

con todo iso pódese ver que resulta evidente que os lados:

$AE=AG+GE=1+\sqrt{5}$

de onde:

$\frac{AE}{AD}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi$

Por outra banda, os rectángulos $AEFD$ e $BEFC$ son semellantes, de modo que este último é así mesmo un rectángulo áureo.

Na arquitectura

O rectángulo áureo foi cualificado polos gregos clásicos como unha das figuras xeométricas máis belamente estruturadas. Por un longo lapso de séculos, os arquitectos utilizaron este cuadrilátero para templos, rañaceos e edificacións de diversa índole, desde o Partenón de Atenas (s. V a.C.), cuxa fachada dianteira se inscribe nun rectángulo áureo até a sede das Nacións Unidas.

Galería

• 
  A espiral dourada
• 
  O icosaedro posúeo nas súas caras interiores
• 
  Suma de rectángulos
• 
  Rectángulo áureo mediante Fibonacci
• 
  Sede das Nacións Unidas: a fachada do edificio é formada por rectángulos dourados.
• 
  O Partenon hoxe e como tería sido na súa época.

O rectángulo dourado na industria

• A norma DIN 476 é a que define a medida do DIN A4 e outros tamaños de papel. O DIN A4 e os seus derivados A3, A2... non manteñen as proporcións do rectángulo dourado, senón que manteñen a relación $\sqrt{2}=1.4142$, casualmente a proporción que usaba Policleto para o seu canon.

Investigacións psicolóxicas

Gustav Theodor Fechner

As pescudas e debates sobre o tema naceron no s. XIX cos experimentos de Fechner, que tentou confirmar a superioridade estética do rectángulo dourado a través de investigacións dirixidas a demostrar a súa preferencia polos humanos.

A enquisa realizouse segundo tres metodoloxías complementarias.

• De elección (Wahl): solicitude aos suxeitos para escolleren os rectángulos que preferían.
• De produción (Herstellung): os suxeitos debuxan o rectángulo que consideran máis agradábel.
• De uso (Verwendung): medindo obxectos de uso cotián para verificar a presenza da proporción áurea.

Nos resultados publicados en 1879 só a primeira enquisa deu un resultado positivo, segundo as súas conviccións, cunha preferencia do 35% polo rectángulo dourado. Porén, de inmediato xurdiron críticas ao método do experimento. Fechner amosara a 347 persoas unha disposición de 10 rectángulos de igual área coa relación entre os lados en orde crecente (de 1:1 a 1:2,5), na que o rectángulo dourado ocupaba a 7ª posición, preguntando cal era máis agradábel. As críticas xurdiron en tres ordes de observación:

1. Ter desatendido a influencia da orientación vertical ou horizontal na elección das persoas.
2. A influencia da posición mediana. Os suxeitos puideron estar orientados a indicar o rectángulo dourado xa que representaba a figura coas proporcións medias entre os presentados.
3. Os suxeitos non foron escollidos ao azar e sobre todo eran conscientes das crenzas do científico, o que supón todos os posibles problemas para os que hoxe se adopta o procedemento de dobre cego.

Os experimentos, aínda que só un deu o resultado esperado, abriron unha liña de investigacións nas que a preferencia pola sección dourada resultou cada vez máis unha quimera, até que finalmente tivo unha conclusión negativa na última década do século XX.

Véxase tamén

Outros artigos

• Número áureo

Ligazóns externas

• The Golden Mean and the Physics of Aesthetics
• Golden rectangle demonstration With interactive animation
• From golden rectangle to golden quadrilaterals Explores some different possible golden quadrilaterals