Lei de Biot–Savart

Ilustración da ecuación de Biot-Savart.

Modelo:Electromagnetismo A lei de Biot-Savart indica o campo magnético creado por correntes eléctricas estacionarias.

No caso das correntes que circulan por circuítos filiformes (ou pechados), a contribución dun elemento infinitesimal de lonxitude $d\overrightarrow{l}$ do circuíto percorrido por unha corrente $I$ crea unha contribución elemental de campo magnético, $d\overrightarrow{B}$, no punto situado na posición que apunta o vector $\overrightarrow{U}r$ a unha distancia $r$ respecto de $d\overrightarrow{l}$, que apunta en dirección á corrente I:

$d\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\overrightarrow{l}\times \hat{r}}{r^2}$

onde ${\mu }_0$ é a permeabilidade magnética do baleiro, e $\hat{r}$ é un vector unitario.

No caso de correntes distribuídas en volumes, a contribución de cada elemento de volume da distribución vén dado por:

$d\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\overrightarrow{J}\times \overrightarrow{R}}{r^3}dv$

onde $\overrightarrow{J}$ é a densidade de corrente no elemento de volume $dv$ e $\overrightarrow{R}$ é a posición relativa do punto no que queremos calcular o campo, respecto do elemento de volume en cuestión.

En ambos casos, o campo final resulta de aplicar o principio de superposición a través da expresión

$\overrightarrow{B}=\int d\overrightarrow{B}$

Na que a integral se estende a todo o recinto que contén as fontes do campo.

A lei de Biot-Savart é fundamental en magnetostática tanto como a lei de Coulomb o é en electrostática.

Lei de Biot-Savart xeneralizada

Nunha aproximación magnetostática, o campo magnético pode ser determinado se se coñece a densidade de corrente j:

$𝐁=K_m\int \frac{𝐣\times \widehat{𝐫}}{r^2}dV$

onde:

$dV$ é o elemento diferencial de volume.

$K_m=\frac{{\mu }_0}{4\pi }$ é a constante magnética.

Diverxencia e rotacional de $\overrightarrow{B}$ a partir da lei de Biot e Savart

A diverxencia e rotacional dun campo magnético estacionario pode calcularse por simple aplicación de tales operadores á lei de Biot e Savart.

Diverxencia

Aplicando o operador gradiente á expresión temos:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{J}\times \frac{\hat{r}}{r^2})d{V}^{\prime }$

Dado que a diverxencia se aplica nun punto de avaliación do campo independente da integración de $\overrightarrow{J}$ en todo o volume, o operador non afecta a $\overrightarrow{J}$. Aplicando a correspondente identidade vectorial:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{B}=-\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{V}{\int }\overrightarrow{J}\cdot (\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\cdot \frac{1}{r}))d{V}^{\prime }$

Dado que:

$(\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\cdot \frac{1}{r}))=0$

Temos:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{B}=0$

Rotacional

Aplicando o operador rotacional temos:

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }\times (\overrightarrow{J}\times \frac{\hat{r}}{r^2})d{V}^{\prime }$

Ao igual que ocorría na diverxencia, o operador non afecta a $\overrightarrow{J}$ xa que as súas coordenadas son as do dominio de integración e non as do punto de avaliación do rotacional. Aplicando a correspondente identidade vectorial e coñecendo que $\mathrm{\nabla }\cdot \frac{\hat{r}}{r^2}=4\pi \cdot \delta (r)$

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{V}{\int }\overrightarrow{J}\cdot (\mathrm{\nabla }\cdot \frac{\hat{r}}{r^2})d{V}^{\prime }={\mu }_0\underset{V}{\int }\overrightarrow{J}\cdot \delta (r)\cdot d{V}^{\prime }$

Realizando a integración obtemos finalmente:

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}={\mu }_0\cdot \overrightarrow{J}$

Nótese que o resultado anterior só é válido para campos magnéticos estacionarios. Se o campo magnético non fose estacionario aparecería á parte o termo debido á corrente de desprazamento.

Motivación histórica

Ilustración esquemática do experimento de Oersted.

Xa no século XVII había, dentro da comunidade científica, a sospeita de que fenómenos eléctricos e magnéticos puidesen estar relacionados. Iso motivou o físico Hans Christian Oersted a facer experimentos para observar o efecto da electricidade nunha agulla magnética. Entre 1819 e 1820, Oersted observou que ao pór un fío condutor dun circuíto eléctrico fechado paralelamente a unha agulla, esta sufría unha deflexión significativa en relación á súa dirección inicial. Oersted publicou os resultados do seu experimento en xullo de 1820, limitándose a unha descrición cualitativa do fenómeno.

O descubrimento de Oersted foi divulgado en setembro de 1820 na Academia Francesa, o que motivou diversos estudosos de Francia a repetir e estender os seus experimentos. A primeira análise precisa do fenómeno foi publicada polos físicos Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, os cales conseguiron formular unha lei que describía matematicamente o campo magnético producido por unha distribución de corrente eléctrica.