Hipótese do continuo

A hipótese do continuo é unha conxectura proposta por Georg Cantor. Esta conxectura consiste no seguinte:

Non existe ningún conxunto cun cardinalidade maior que a do conxunto dos números enteiros e menor que a do conxunto dos números reais.

Aquí máis elementos e menos elementos teñen un significado moi preciso (ver número cardinal). Esta hipótese foi o número un dos 23 problemas de Hilbert presentados na conferencia do Congreso Internacional de Matemáticas de 1900, o que levou a que fose estudada en profundidade durante o século XX.

Nin verdadeira nin falsa

Cantor achaba que a conxectura era certa. No entanto:

• En 1938, Kurt Gödel demostrou que a negación da hipótese do continuo non se podía probar a partir dos axiomas de Zermelo-Fraenkel máis a escolla, se son consistentes.
• en 1963, Paul Cohen demostrou que a hipótese do continuo tampouco non poderia ser probada a partir dos axiomas de Zermelo-Fraenkel, se son consistentes.

Polo tanto, a hipótese do continuo é independente dos axiomas de Zermelo-Fraenkel. Esta independencia leva a algúns matemáticos a considerar que os axiomas de Zermelo-Fraenkel xa non son suficientes para resolver problemas significativos na teoría de conxuntos e que deberían considerarse axiomas adicionais para facer verdadeira ou falsa esta hipótese. En particular, Gödel, malia de demostrar a súa coherencia, considerou a posibilidade de que novos axiomas permitisen refutar a Hipótese do Continuo.

Hipótese do continuo xeneralizada

Aleph (א) é unha letra que se usa para representar infinitos cardinais. A cardinalidade do conxunto de enteiros é ${\mathrm{\aleph }}_0$, o seguinte cardinal é ${\mathrm{\aleph }}_1$, etc. Usando os números cardinais $\mathrm{\aleph }$, a hipótese do continuo pódese escribir como:

${\mathrm{\aleph }}_1=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$

A xeneralización desta hipótese (que non se pode demostrar a partir dela) é que para calquera ordinal $\alpha$:

${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}=2^{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }}$

Debemos ter unha precaución na fórmula anterior: o tratamento de α + 1 usa aritmética ordinal mentres que o tratamento de $2^{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }}$ usa aritmética cardinal; todo número ordinal é, por definición, un número cardinal, mais a inversa non é verdade.

Cardinalidade do continuo

En ZFC, a teoría de conxuntos cos axiomas de Zermelo–Fraenkel máis o axioma de escolla, a cardinalidade do continuo é moi indeterminada. O primeiro resultado negativo foi demostrado por König, respecto dos valores que o continuo non pode tomar, como mostra o chamado teorema de König:

$𝐙𝐅𝐂⊢2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\ne {\mathrm{\aleph }}_{\omega }$

O mesmo sucede con outros cardonais da cofinalidade ${\omega }^{}$:

$𝐙𝐅𝐂⊢2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\ne {\mathrm{\aleph }}_{\omega +\omega }$

$𝐙𝐅𝐂⊢2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\ne {\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_{\omega }}$

Sexa $\text{Con}\left(T\right)$ a declaración "$T^{}$ é consistente". Como se dixo anteriormente, Gödel demostrou:

$\text{Con}\left(𝐙𝐅𝐂\right)\Rightarrow \text{Con}(𝐙𝐅𝐂+2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_1)$

Usando forzamento pódense demostrar os seguintes resultados :

$\text{Con}\left(𝐙𝐅𝐂\right)\Rightarrow \text{Con}(𝐙𝐅𝐂+2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_n)$

para calquera $n\ge 2$ . De forma máis xeral, o continuo pode ser calquera cardinal regular non contábel. Por exemplo:

$\text{Con}\left(𝐙𝐅𝐂\right)\Rightarrow \text{Con}(𝐙𝐅𝐂+2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_{\omega +42})$

$\text{Con}\left(𝐙𝐅𝐂\right)\Rightarrow \text{Con}(𝐙𝐅𝐂+2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_1})$

Se chamamos WI á afirmación "existe un cardinal debilmente inaccesíbel", entón vale:

$\text{Con}\left(𝐙𝐅𝐂\mathbf{+}𝐖𝐈\right)\Rightarrow \text{Con}(𝐙𝐅𝐂+\text{``}{2}^{{\mathrm{\aleph }}_0}\text{é feblemente inaccesíbel''})$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Ligazóns entre [[ ]].

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld