Gramiano de controlabilidade

En control de procesos, o Gramiano de controlabilidade é un Gramiano que se usa para determinar se un sistema lineal é controlábel. Para un sistema lineal e constante:

$\dot{x}=Ax+Bu$

o Gramiano de controlabilidade defínese como:

$W_c(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{A\tau }B{B}^T{e}^{A^T\tau }d\tau =\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{A(t-\tau )}B{B}^T{e}^{A^T(t-\tau )}d\tau$

Se a matriz $W_c$ é non singular, é dicir $W_c$ ten rango n (sendo n menor de entre o número de columnas ou filas), para todo $t>0$, dise entón que o par $(A,B)$ é controlábel.

Sistemas lineais invariantes no tempo de forma

$\dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$,

$y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)$

son controlabeis no intervalo $[t_0,t_1]$ se as filas da matriz produto $\mathrm{\Phi }(t_0,\tau )B(\tau )$, onde $\mathrm{\Phi }$ é a matriz de transmisión de estado, son linealmente independentes. O Gramiano úsase para demostrar a independencia linear de $\mathrm{\Phi }(t_0,\tau )B(\tau )$. Para ser linealmente independente, a matriz Gramiana $W_c$ ten que ser invertíbel.

$W_c(t)=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\mathrm{\Phi }(t_0,\tau )B(\tau )B^T(\tau ){\mathrm{\Phi }}^T(t_0,\tau )d\tau$