Forzas xeneralizadas

En mecánica analítica (particularmente a mecánica lagranxiana), as forzas xeneralizadas son conxugadas das coordenadas xeneralizadas. Son obtidas das forzas aplicadas F_i; i = 1, ... , n, actuando sobre un sistema que ten a súa configuración definida en función de coordenadas xeneralizadas. Na formulación de traballo virtual, cada forza xeneralizada é o coeficiente da variación dunha coordenada xeneralizada.

Traballo virtual

As forzas xeneralizadas poden ser obtidas do cálculo do traballo virtual, δW, das forzas aplicadas.Modelo:Rp

O traballo virtual das forzas, F_i, actuando nas partículas Modelo:Math, vén dado por

$\delta W=\sum _{i=1}^n{𝐅}_i\cdot \delta {𝐫}_i$

Onde δr_i é o desprazamento virtual da partícula P_i.

Coordenadas xeneralizadas

Sendo os vectores de posición de cada unha das partículas, ri, unha función das coordenadas xeneralizadas, Modelo:Math, j = 1, ..., Entón os desprazamentos virtuais δr_i veñen dados por

$\delta {𝐫}_i=\sum _{j=1}^m\frac{\partial {𝐫}_i}{\partial q_j}\delta q_j,i=1,\dots ,n,$

Onde δq_j é o desprazamento virtual da coordenada xeneralizada q_j.

O traballo virtual para o sistema de partículas devén

$\delta W={𝐅}_1\cdot \sum _{j=1}^m\frac{\partial {𝐫}_1}{\partial q_j}\delta q_j+\dots +{𝐅}_n\cdot \sum _{j=1}^m\frac{\partial {𝐫}_n}{\partial q_j}\delta q_j.$

Lembrando os coeficientes de δq_j obtemos

$\delta W=\sum _{i=1}^n{𝐅}_i\cdot \frac{\partial {𝐫}_i}{\partial q_1}\delta q_1+\dots +\sum _{i=1}^n{𝐅}_i\cdot \frac{\partial {𝐫}_i}{\partial q_m}\delta q_m.$

Forzas xeneralizadas

O traballo virtual dun sistema de partículas pode ser escrito na forma

$\delta W=Q_1\delta q_1+\dots +Q_m\delta q_m,$

Onde

$Q_j=\sum _{i=1}^n{𝐅}_i\cdot \frac{\partial {𝐫}_i}{\partial q_j},j=1,\dots ,m,$

son chamadas forzas xeneralizadas asociadas coas coordenadas xeneralizadas Modelo:Math,

Formulación da velocidade

Na aplicación do principio de traballo virtual é a miúdo conveniente obter desprazamentos virtuais desde as velocidades do sistema. Para a partícula n do sistema, notando a velocidade de cada partícula Pi ser Vi, entón o desprazamento virtual δr_i tamén pode ser escrito na forma

$\delta {𝐫}_i=\sum _{j=1}^m\frac{\partial {𝐕}_i}{\partial {\dot{q}}_j}\delta q_j,i=1,\dots ,n.$

Isto significa que a forza xeneralizada, Qj, tamén pode ser determinado cando

$Q_j=\sum _{i=1}^n{𝐅}_i\cdot \frac{\partial {𝐕}_i}{\partial {\dot{q}}_j},j=1,\dots ,m.$

Principio de D'Alembert

D'Alembert formulou a dinámica dunha partícula como o equilibrio das forzas aplicadas cunha forza de inercia (forza aparente), o chamado Principio de D'Alembert. A forza de inercia dunha partícula, Pi, de masa mi é

${𝐅}_i^{*}=-m_i{𝐀}_i,i=1,\dots ,n,$

Onde A_i é a aceleración da partícula.

Se a configuración do sistema de partículas depende das coordenadas xeneralizadas Modelo:Math, entón a forza de inercia xeneralizada vén dada por

$Q_j^{*}=\sum _{i=1}^n{𝐅}_i^{*}\cdot \frac{\partial {𝐕}_i}{\partial {\dot{q}}_j},j=1,\dots ,m.$

Forma de D'Alembert do principio de observación de traballo virtual

$\delta W=(Q_1+Q_1^{*})\delta q_1+\dots +(Q_m+Q_m^{*})\delta q_m.$

Véxase tamén

Outros artigos

• Graos de liberdade (física e química)