Ecuación de onda electromagnética

Modelo:Sen referencias Os campos electromagnéticos propáganse polo espazo en forma de ondas, que poden viaxar a través dun medio así como no baleiro. As ecuacións de onda electromagnéticas son necesarias para describir a propagación das ondas electromagnéticas, tanto en presenza de materia como no baleiro.

Ecuacións de onda e as ecuacións de Maxwell

Como se pode apreciar, temos ecuacións de onda tanto para o campo eléctrico $\overrightarrow{E}$ como para o fluxo magnético $\overrightarrow{B}$ , que se obteñen a partir das ecuacións de Maxwell, tendo que:

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}={\mu }_0(\overrightarrow{J}+{ϵ}_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t})$

Para obtermos as ecuacións é necesario aplicar o operador rotacional a ambas.

Ecuación de onda para E

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E})=-\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B})$

Substituíndo $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}$ e aplicando identidade de rotacional temos:

$-{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{E}+\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E})=-\frac{\partial }{\partial t}{\mu }_0(\overrightarrow{J}+{ϵ}_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t})$

Ora ben, sabemos que a segunda parte do lado esquerdo é cero e $\overrightarrow{J}$ é cero no baleiro, quedándonos só

$-{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{E}=-{\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}$

Agora, igualando a cero e sabendo que ${\mu }_0{ϵ}_0=\frac{1}{c^2}$, sendo c a velocidade da luz, temos a ecuación de onda para $\overrightarrow{E}$:

${\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{E}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=0$

Ecuación de onda para B

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B})=\mathrm{\nabla }\times ({\mu }_0(\overrightarrow{J}+{ϵ}_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}))$

Aplicando as mesmas identidades que con $\overrightarrow{E}$ e sabendo que $\overrightarrow{J}$, tamén é cero, quédanos:

$-{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{B}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E})$

Substituíndo $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}$ e igualando a cero, temos a ecuación de onda para $\overrightarrow{B}$.

${\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{B}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}=0$