Distribución binomial

Modelo:Outros homónimos Modelo:Modelo de distribución de probabilidade A distribución binomial é unha distribución de probabilidade discreta que conta o número de éxitos nunha secuencia de n ensaios de Bernoulli independentes entre si, cunha probabilidade fixa p de que ocorra un éxito no ensaio.

Un experimento de Bernoulli caracterízase por ser dicotómico, é dicir, só ten dous posibles resultados. Un destes resultados denomínase éxito e ten unha probabilidade de que suceda p e o outro denomínase fracaso, cunha probabilidade q = 1 - p. Na distribución binomial o experimento repítese n veces, de forma independente, e trátase de calcular a probabilidade dun número determinado de éxitos. Para n = 1, a binomial convértese nunha distribución de Bernoulli.

Para representar que unha variable aleatoria X segue unha distribución binomial de parámetros n e p, escríbese:

$X\sim B(n,p)$

A distribución binomial é a base do test binomial de significación estatística.

Experimento binomial

Existen moitas situación nas que se presenta unha experiencia binomial. Cada un dos experimentos é independente dos demais (é dicir, a probabilidade do resultado dun experimento non depende do resultado do resto). O resultado de cada experimento só admite dúas categorías (“éxito” e “fracaso”) e as probabilidades deben de ser constantes en todos os experimentos (exprésanse como p e q ou p e 1-p).

Desígnase por X a variable que mide o número de éxitos que produciron nos n experimentos. Cando se dan estas circunstancias, dise que a variable X segue unha distribución de probabilidade binomial, e exprésase B(n,p).

Exemplos de experimentos que se poden modelizar con esta distribución son:

• Lánzase un dado dez veces e cóntase o número X de treses obtidos. Entón X ~ B(10, 1/6).
• Lánzase unha moeda dúas veces e cóntase o número X de caras obtidas. Entón X ~ B(2, 1/2)

Características analíticas

A súa función de probabilidade é

$f(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})p^x(1-p{)}^{n-x}$

onde $x=\{0,1,2,\dots ,n\},$

sendo $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})=\frac{n!}{x!(n-x)!}$ as combinacións de $n$ en $x$ ($n$ elementos tomados de $x$ en $x$)

Exemplo

Se se lanza un dado (con 6 caras) 51 veces e queremos coñecer a probabilidade de que o número 3 saia vinte veces temos que X ~ B(51, 1/6) e a probabilidade sería P(X=20):

$P(X=20)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{51}{20})(1/6{)}^{20}(1-1/6{)}^{51-20}=0.1898$

Propiedades

$𝔼[X]=np$

$𝕍\text{ar}[X]=np(1-p)$

Relación con outras variables aleatorias

Se $n$ tende a infinito e $p$ é tal que o produto entre ambos os parámetros tende a $\lambda$, entón a distribución da variable aleatoria binomial tende a unha distribución de Poisson de parámetro $\lambda$.

Cando $p$ =0.5 e n é moi grande (habitualmente esíxese que $n\ge 30$) a distribución binomial pode aproximarse mediante a distribución normal.

Propiedades reprodutivas

Dadas n variables binomiales independentes de parámetros n_i (i = 1,..., n) e $p$, a súa suma é tamén unha variable binomial, de parámetros n₁+... + n_n, e $p$, é dicir,

$Y=\sum _{i=1}^n{X}_i\sim B(\sum _{i=1}^n{n}_i,p)$

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Calculadora (distribución binomial)
• Cálculo da probabilidade dunha distribución binomial con linguaxe de programación R