Continuidade uniforme

Modelo:Sen referencias Dados dous espazos métricos $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$, e $M\subseteq X$ entón unha función $f:M\to Y$ dise uniformemente continua en M se para calquera número real $ϵ>0$ existe ${\delta }_{ϵ}>0$ tal que para todo $x_1,x_2\in M$ con $d_X(x_1,x_2)<\delta$, tense que $d_Y(f(x_1),f(x_2))<ϵ$.

No espazo euclidiano $ℝ$, unha función $f:ℝ\to ℝ$ é uniformemente continua nun intervalo $A$ se para calquera $ϵ>0$ existe algún ${\delta }_{ϵ}>0$ tal que para todo $x,y\in A$ se cumpre que se $|x-y|<\delta$, entón $|f(x)-f(y)|<ϵ$

Unha función uniformemente continua difire dunha función continua na dependencia de $\delta$, pois no primeiro caso só depende de $ϵ$, mentres que no segundo tamén depende do punto considerado. De aí a denominación de "uniforme".

Exemplos

• A función 1/x con x>0 é continua pero non é uniformemente continua
• A función x é uniformemente continua en calquera intervalo compacto (i.e. pechado e limitado).