Desviación típica

Imaxe dunha distribución normal onde cada faixa ten unha largura de 1 desviación típica.

En probabilidade e estatística, a desviación típica ou desvío padrón (tamén desvío ou desviación estándar) é a medida máis común de dispersión. De xeito sinxelo, mide como están de dispersos os valores nunha colección de datos.

A desviación estándar está definida como a raíz cadrada da varianza. Defínese desta maneira para dar unha medida da dispersión que é un número non negativo que ten as mesmas unidades que os datos.

O termo desviación estándar foi introducido en estatística por Karl Pearson en 1894.

Interpretación e aplicación

A desviación estándar é unha medida do grao de dispersión dos datos do valor medio. Dito doutra maneira, a desviación estándar é simplemente a "media" ou variación esperada con respecto da media aritmética.

Unha desviación estándar grande indica que os puntos están lonxe da media e unha desviación pequeno indica que os datos están agrupados cerca da media.

Por exemplo, as tres mostras (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) e (6, 6, 8, 8) cada unha teñen unha media de 7. As súas desviacións estándar son 7, 5 e 1, respectivamente. A terceira mostra ten unha desviación moito menor que as outras dúas porque os seus valores están máis próximos a 7.

A desviación estándar pode ser interpretado como unha medida de incerteza. A desviación estándar dun grupo repetido de medidas dá a precisión destas. Cando se vai determinar se un grupo de medidas está de acordo co modelo teórico, a desviación estándar desas medidas é de vital importancia: se a media das medidas está demasiado afastada da predición (coa distancia medida en desviacións estándar), entón considérase que as medidas contradín a teoría. Isto é de esperarse xa que as medicións caen fóra do rango de valores dos cales sería razoable esperar que ocorresen se o modelo teórico fose correcto.

Formulación

A desviación estándar (DS/DE) é unha medida de dispersión usada en estatística que indica canto tenden a afastarse os valores puntuais da media nunha distribución. De feito, especificamente a desviación estándar é "a media da distancia de cada punto respecto do valor medio". Adóitase representar por un S ou coa letra sigma, ${\sigma }_{}^{}$. Esta medida é máis estable que o percorrido e toma en consideración o valor de cada dato.

É posible calcular a desviación estándar como a raíz cadrada da integral

${\sigma }^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{(x-\mu )}^{2}f(x)dx$

onde

$\mu =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx$

• O DS é a raíz cadrada da varianza da distribución

${\sigma }^2=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2$

Así a varianza é a media dos cadrados das diferenzas entre cada valor da variable e a media aritmética da distribución.

Aínda que esta fórmula é correcta, na práctica interesa realizar inferencias de poboación, polo que no denominador en vez de n, úsase n-1 (Corrección de Bessel)

$s^2=\frac{\sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2}{n-1}$

Tamén temos outra función máis sinxela de realizar e con menos risco de ter equivocacións:

$s^2=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}{n-1}-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}$

Exemplo

Aquí móstrase como calcular a desviación estándar dun conxunto de datos. Os datos representan a idade dos membros dun grupo de nenos. { 5, 6, 8, 9 }

1. Calcular a media $\bar{x}$.

$\bar{x}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i$.

Neste caso, N = 4 porque hai catro datos:

$x_1=5$

$x_2=6$

$x_3=8$

$x_4=9$

$\bar{x}=\frac{1}{4}\sum _{i=1}^4{x}_i$       Substituíndo N por 4

$\bar{x}=\frac{1}{4}(x_1+x_2+x_3+x_4)$

$\bar{x}=\frac{1}{4}(5+6+8+9)$

$\bar{x}=7$   Esta é a media.

2. Calcular a desviación estándar $\sigma$

$\sigma =\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2}$

$\sigma =\sqrt{\frac{1}{4}\sum _{i=1}^4(x_i-\bar{x}{)}^2}$       Substituíndo N por 4

$\sigma =\sqrt{\frac{1}{4}\sum _{i=1}^4(x_i-7{)}^2}$       Substituíndo $\bar{x}$ por 7

$\sigma =\sqrt{\frac{1}{4}[(5-7{)}^2+(6-7{)}^2+(8-7{)}^2+(9-7{)}^2]}$

$\sigma =\sqrt{\frac{1}{4}((-2{)}^2+(-1{)}^2+1^2+2^2)}$

$\sigma =\sqrt{\frac{1}{4}(4+1+1+4)}$

$\sigma =\sqrt{\frac{10}{4}}$

$\sigma =1.5811$   Esta é a desviación estándar.

Véxase tamén

Outros artigos

• Estatística
• Varianza
• Valor esperado