Álxebra multilinear

Modelo:Sen referencias Na matemática, a álxebra multilinear é unha área de estudo que xeneraliza os métodos da álxebra linear. Os obxectos de estudo son os produtos tensoriais de espazos vectoriais e as transformacións multilineares entre os espazos.

Notación

A álxebra multilinear fai un uso intensivo da notación multiíndice. Unha notación dese tipo representa as combinacións lineares por un conxunto de dous ou máis índices repetidos.

• No caso elemental (tensores de rango un contravariantes) tense, empregando a convención da suma de Einstein: $X=X^s{e}_s$. O que indica que o obxecto X, é a combinación linear:

sobre os vectores básicos $e_s$, e os $X^s$ chamados compoñentes de X. Aquí $n$ é a dimensión alxébrica do espazo ao que pertence X. Por convención chámaselles 1-contra-tensores.

• En rango un tamén están os 1-co tensores, é dicir aplicacións lineares dende o espazo escollido ata o corpo dos escalares. Escríbense como combinación linear dos funcionais lineares $e^s$, transformacións lineares $V\to 𝕂$ que satisfán: $e^s(e_{\sigma })={{\delta }^s}_{\sigma }$, onde se está empregando o delta de Kronecker. Deste xeito, calquera covector $f:V\to 𝕂$ se escribe como $f=f_s{e}^s$, notación que se abrevia como $f=f_1{e}^1+\cdots +f_n{e}^n$.
• Tensores de rango dous:
  • Un tensor de rango dous contravariante é $B=B^{st}{e}_s\otimes e_t$.
  • Un tensor de rango dous covariante é $C=C_{st}{e}^s\otimes e^t$.
  • E un tensor de rango dous mixto é $D={D^s}_t{e}_s\otimes e^t$. Isto indica unha combinación linear biindexada.

Por exemplo,

se a dimensión do espazo é dous.

• Xeneralizando o anterior escríbese ${A^{i_1{i}_2...i_p}}_{j_1{j}_2...j_q}$ para representar os compoñentes dun tensor mixto A, que é p-contravariante e q-covariante. Pero

representa unha combinación linear multiindexada.

Todo o anterior só foi considerando que o espazo vectorial é de dimensión finita igual a n.

Produto tensorial

Tendo dous espazos vectoriais V, W, con bases respectivas $\{b_1,...,b_n\}$, $\{c_1,...,c_m\}$ defínese o seu produto tensorial Modelo:Ecuación é dicir o espazo vectorial xerado polos novos símbolos Modelo:Ecuación

Polo tanto se un obxecto X que pertence a $V\otimes W$ pode representarse como unha combinación linear Modelo:Ecuación e que se abrevia como Modelo:Ecuación os índices repetidos s ou t, indican, cada un, a suma.

Esta definición é absolutamente abstracta, pero dende o punto de vista alxébrico non hai ningún problema en explorar todas as posibilidades do produto tensorial. Xorde unha gran cantidade de espazos simplemente ao considerar un espazo vectorial V e o seu dual $V^{*}$, obténdose os espazos: Modelo:Ecuación $V\otimes V^{*}=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V)$

$V^{*}={\mathrm{\Lambda }}^1(V)$

$V\wedge V$

${\mathrm{\Lambda }}^k(V)$

Todos eles de uso cotián en xeometría diferencial, xeometría alxébrica, relatividade e outros campos.

Tensores e formas

Sexa $V$ xerado polos $b_i$. Simbolizando con ${\beta }^{\mu }$ a base do dual $V^{*}$ calquera elemento de $V^{*}\otimes V^{*}$ escríbese da forma $B_{\mu \nu }{\beta }^{\mu }\otimes {\beta }^{\nu }$. Esta mesma expresión pode ser vista como unha función bilinear

$V\times V\stackrel{B_{\mu \nu }{\beta }^{\mu }\otimes {\beta }^{\nu }}{⟶}ℝ$

$(b_i,b_j)\mapsto B_{\mu \nu }{\beta }^{\mu }\otimes {\beta }^{\nu }(b_i,b_j)=B_{ij}$

sabiendo que ${\beta }^{\mu }\otimes {\beta }^{\nu }(b_i,b_j)={{\delta }^{\mu }}_i{{\delta }^{\nu }}_j$ - kronecker.

Outro de rango dous é $V\otimes V^{*}$. Os elementos de aquí vense como combinacións lineares biindexadas ${B^{\mu }}_{\nu }{b}_{\mu }\otimes {\beta }^{\nu }$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.