Distribución binomial negativa

Modelo:Outros homónimos Modelo:Modelo de distribución de probabilidade En estatística a distribución binomial negativa é unha distribución de probabilidade discreta que inclúe a distribución de Pascal.

O número de experimentos de Bernoulli de parámetro $\theta$ independentes realizados ata conseguir o k-ésimo éxito é unha variable aleatoria que ten unha distribución binomial negativa con parámetros k e $\theta$.

A distribución xeométrica é o caso concreto da binomial negativa cando k = 1.

Propiedades

A súa función de probabilidade é

$b^{*}(x;k,\theta )=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{x-k}){\theta }^k(1-\theta {)}^{x-k}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{k-1}){\theta }^k(1-\theta {)}^{x-k}$

para enteiros x maiores o iguais que k, onde

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{k-1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{x-k})=\frac{(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!}$.

A súa media é

$\mu =\frac{k(1-\theta )}{\theta }$

se se considera unicamente o número de fracasos e

$\mu =\frac{k}{\theta }$

se se contan tamén os k-1 éxitos.

A súa varianza é

${\sigma }^2=\frac{k(1-\theta )}{{\theta }^2}$

en ambos os casos.

Exemplos

• Se a probabilidade de que un neno exposto a unha enfermidade contaxiosa a contraia é 0,40, cal é a probabilidade de que o décimo neno exposto sexa o terceiro en contraela? Neste caso, X é o número de nenos expostos á enfermidade e $x=10,k=3,\theta =0,40$. A solución é $b^{*}(10;3;0,4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{10-1}{3-1})0,4^3(1-0,4{)}^{10-3}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2})0,4^3(0,6{)}^7=0,0645$
• Nun proceso de manufactura sábese que unha media de 1 de cada 10 produtos é defectuoso. Cal é a probabilidade de que o quinto artigo examinado sexa o primeiro en ser defectuoso? Se X conta o número de artigos defectuosos, $p=1/10=0,1;q=1-0,1=0,9;x=5$ ensaios e $k=1$, entón a solución é $b*(5;1,0.1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5-1}{1-1})(0.1{)}^1(0.9{)}^{5-1}=6.6\mathrm{\%}$ de probabilidades.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Calculadora da distribución binomial negativa
• Cálculo da probabilidade dunha distribución binomial negativa con R (linguaxe de programación)