Distribución de Bernoulli

Modelo:Outros homónimos Modelo:Modelo de distribución de probabilidade En teoría da probabilidade e estatística, a distribución de Bernoulli é unha distribución de probabilidade discreta, que toma valor 1 para a probabilidade de éxito ($p$) e valor 0 para a probabilidade de fracaso ($q=1-p$). Recibe o nome polo matemático e científico suízo Jakob Bernoulli.

Se $X$ é unha variable aleatoria que mide o "número de éxitos", e se realiza un único experimento con dous posibles resultados (éxito ou fracaso), dise que a variable aleatoria $X$ se distribúe como unha Bernoulli de parámetro $p$.

$X\sim Be(p)$

A súa función de probabilidade vén definida por:

$f(x)=p^x(1-p{)}^{1-x}\text{ con }x=\{0,1\}$

A fórmula é:

$f(x;p)=\{\begin{array}{cc}p& \text{si }x=1,\\ q& \text{si }x=0,\\ 0& \text{en calquera outro caso}\end{array}$

Un experimento ao que se aplica a distribución de Bernoulli coñécese como ensaio de Bernoulli, e a serie deses experimentos como ensaios repetidos.

Por exemplo, no experimento "Lanzar unha moeda", a variable aleatoria X que mide "número de cruces que saen nun lanzamento" seguirá unha distribución de Bernoulli ($X\sim Be(0,5)$)

Propiedades características

Jakob Bernoulli.

• Esperanza matemática:

$E\left[X\right]=p=u$

• Varianza:

$var\left[X\right]=p(1-p)=pq$

• Función xeratriz de momentos:

$(q+p{e}^t)$

• Función característica:

$(q+p{e}^{it})$

• Moda:

0 se q > p (hai máis fracasos que éxitos)

1 se q < p (hai máis éxitos que fracasos)

0 e 1 se q = p (os dous valores, pois hai igual número de fracasos que de éxitos)

• Asimetría:

${\gamma }_1=\frac{q-p}{\sqrt{qp}}$

• Curtose:

${\gamma }_2=\frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}$

A curtose tende a infinito para valores de $p$ próximos a 0 ou a 1, pero para $p=\frac{1}{2}$ a distribución de Bernoulli ten un valor de curtose menor que o de calquera outra distribución, igual a -2.

• Caracterización por a binomial:

$X\sim Be(p)⟺X\sim B(1,p)$ ; onde $B(1,p)$ é unha distribución binomial.

Distribucións relacionadas

• Se $X_1,X_2,X_3,\dots ,X_n$ son $n$ variables aleatorias identicamente distribuídas coa distribución de Bernoulli coa mesma probabilidade de éxito $p$ en todas, entón a variable aleatoria $X=X_1+X_2+\dots +X_n$ presenta unha distribución binomial de probabilidade.

$X\sim B(n,p)$

Véxase tamén

Outros artigos

• Distribución binomial
• Distribución xeométrica, a distribución de probabilidade do número de ensaios de Bernoulli necesarios para obter un éxito.