Teorema integral de Cauchy

Na matemática, o Teorema Integral de Cauchy (tamén coñecido como Teorema de Cauchy-Goursat) en análise complexa, nomeado logo de Augustin-Louis Cauchy, é unha igualdade notable acerca das integrais dun camiño para funcións holomorfas no plano complexo. De xeito sinxelo, a igualdade di que se dúas funcións son holomorfas en todo punto dos seus camiños de integración, e se estes camiños conectan dous puntos comúns, entón o resultado das integrais das funcións é o mesmo indo por calquera dos dous camiños.

Formulación

O teorema é polo común formulado para camiños pechados: Sexa $A$ un subconxunto aberto e simplemente conexo do plano complexo $ℂ$. Sexa $f:A\to ℂ$ unha función holomorfa e sexa $\gamma$ un camiño rectificable no subconxunto $A$ no que o punto inicial e final son coincidentes. Entón:

${\oint }_{\gamma }f(z)dz=0$

A condición de camiño rectificábel pódese expresar como, sexa $\gamma :[a,b]\to A$ unha curva pechada suave e $\gamma$ é homotópico a unha curva constante.

Tamén se poden expresar as condicións do seguinte xeito: Sexa $A\subseteq ℂ$ un conxunto aberto simplemente conexo, e sexa $f:A\to ℂ$ unha función holomorfa e sexa $\gamma :[a,b]\to A$ unha curva pechada suave.

Teorema fundamental para integrais de liña no plano complexo

Se Modelo:Math é unha función holomorfa nunha rexión Modelo:Mvar aberta e $gamma$ é unha curva en Modelo:Mvar de $z_0$ a $z_1$, entón,

$\underset{\gamma }{\int }{f}^{\prime }(z)dz=f(z_1)-f(z_0).$

A maiores, cando Modelo:Math ten unha antiderivada dun só valor nunha rexión aberta Modelo:Mvar, entón a integral de camiño $\underset{\gamma }{\int }{f}^{\prime }(z)dz$ é independente do camiño para tódolos camiños en Modelo:Mvar.

Unha consecuencia importante do teorema é que as integrais de camiño das funcións holomorfas en dominios simplemente conexos poden calcularse dun xeito igual ao do teorema fundamental do cálculo. Se temos na curva un punto inicial Modelo:Mvar e outro final Modelo:Mvar, sería a fórmula coñecida de integral definida consistente en calcular a antiderivada e restar os valores no punto inicial e no final:

$\underset{\gamma }{\int }f(z)dz=F(b)-F(a).$

Caso no que non aplica

Como demostrou Édouard Goursat, o teorema integral de Cauchy pódese probar asumindo só que a derivada complexa $f^{\prime }(z)$ existe en todas as partes en $A$. Isto é significativo porque entón pódese probar a fórmula integral de Cauchy para estas funcións, e a partir diso deducir que estas funcións son infinitamente diferenciábeis ou suaves.

A condición de que $A$ sexa simplemente conexo significa que $A$ non ten "buratos". A condición é crucial; consideremos

$\gamma (t)=e^{it}t\in [0,2\pi ]$

que traza o círculo unidade, e agora a integral de liña

${\oint }_{\gamma }\frac{1}{z}dz=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{1}{e^{it}}(i{e}^{it}dt)=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}idt=2\pi i$

é distinto de cero; o teorema integral de Cauchy non aplica aquí xa que $f(z)=1/z$ non está definida (e certamente non é holomorfa) en $z=0$.

O teorema integral de Cauchy é válido cunha hipótese máis feble que a dada anteriormente, por exemplo, dado $A$, un subconxunto aberto simplemente conexo de $ℂ$, podemos debilitar as suposicións de que $f$ é holomorfa en $A$ e continua en $\bar{A}$ para que $\gamma$ sexa un bucle sinxelo rectificábel en $\bar{A}$.

O teorema integral de Cauchy conduce á fórmula integral de Cauchy e ao teorema dos residuos.

Proba

Se se asume que as derivadas parciais dunha función holomorfa son continuas, o teorema integral de Cauchy pódese probar como consecuencia directa do teorema de Green e do feito de que as partes real e imaxinaria de $f=u+iv$ debe satisfacer as ecuacións de Cauchy-Riemann na rexión limitada por $\gamma$, e a maiores na veciñanza aberta Modelo:Mvar desta rexión. Cauchy proporcionou esta proba, pero máis tarde foi probada por Goursat sen requirir técnicas de cálculo vectorial ou a continuidade das derivadas parciais.

Podemos dividir o integrando Modelo:Nowrap así como o diferencial $dz$ nas súas compoñentes reais e imaxinarias:

$f=u+iv$.

$dz=dx+idy$.

Neste caso temos

${\oint }_{\gamma }f(z)dz={\oint }_{\gamma }(u+iv)(dx+idy)={\oint }_{\gamma }(udx-vdy)+i{\oint }_{\gamma }(vdx+udy)$.

Polo teorema de Green, podemos entón substituír as integrais arredor do contorno pechado $\gamma$ cunha área integral en todo o dominio $D$ que está choída por $\gamma$ do seguinte xeito:

${\oint }_{\gamma }(udx-vdy)=\underset{D}{\iint }(-\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y})dxdy$.

${\oint }_{\gamma }(vdx+udy)=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y})dxdy$.

Mais como as partes real e imaxinaria dunha función holomorfa no dominio Modelo:Nowrap $u$ e $v$ deben satisfacer as ecuacións de Cauchy-Riemann logo:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$.

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$.

Polo tanto, atopamos que ambos os integrandos (e, polo tanto, as súas integrais) son cero

$\underset{D}{\iint }(-\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y})dxdy=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial u}{\partial y})dxdy=0$.

$\underset{D}{\iint }(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y})dxdy=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial x})dxdy=0$.

Isto dá o resultado desexado

${\oint }_{\gamma }f(z)dz=0$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Teorema de Morera
• Métodos de integración de contorno

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• Modelo:MathWorld
• Jeremy Orloff, 18.04 Complex Variables with Applications Spring 2018 Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons.