Teorema de Green

En física e matemáticas, o teorema de Green dá a relación entre unha integral de liña sobre unha curva pechada simple C e unha integral dobre sobre a rexión plana D limitada por C. O teorema de Green chámase así polo científico británico George Green e é un caso especial do máis xeral teorema de Stokes. O teorema afirma:

Sexa C unha curva pechada simple positivamente orientada, diferenciable a cachos, no plano e sexa D a rexión limitada por C. Se L e M teñen derivadas parciais continuas nunha rexión aberta que contén D,

$\underset{C^{+}}{\int }(Ldx+Mdy)=\int \underset{D}{\int }(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y})dA$

Ás veces, a notación

${\oint }_{C^{+}}(Ldx+Mdy)$

utilízase para establecer que a integral de liña está calculada usando a orientación positiva (antihoraria) da curva pechada C.

Relación co teorema da diverxencia

O teorema de Green é equivalente á seguinte analoxía bidimensional do teorema de Stokes: Modelo:Ecuación Para ver isto, considere a unidade normal na parte dereita da ecuación. Como $d𝐫=⟨dx,dy⟩$ é un vector apuntando tanxencialmente a través dunha curva, e a curva C está orientada de maneira positiva (é dicir, en contra do sentido das agullas do reloxo) a través da fronteira, un vector normal saínte sería aquel que apunta en 90º cara a dereita, o cal podería ser $⟨dy,-dx⟩$. O módulo deste vector é $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=ds$. Polo tanto $\widehat{𝐧}ds=⟨dy,-dx⟩$.

Tomando as compoñentes de $𝐅=⟨P,Q⟩$, o lado dereito convértese en

$\underset{C}{\int }𝐅\cdot 𝐧ds=\underset{C}{\int }(Pdy-Qdx)$

que por medio do teorema de Green resulta:

$\underset{C}{\int }(-Qdx+Pdy)=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y})dA=\underset{D}{\iint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)dA$

Véxase tamén

Outros artigos

• Teorema de Stokes
• Teorema da diverxencia
• Planímetro

Ligazóns externas

• Teorema de Green en Mathworld en inglés.
• Unha demostración en flash do Teorema de Green en inglés.