Regra do produto (cálculo)

Na análise matemática, a regra do produto ou regra de Leibniz para a derivación dun produto, establece como derivar o produto de funcións derivables.

Pode declararse informalmente como: "A derivada dun produto de funcións é a derivada da primeira pola segunda sen derivar máis a derivada da segundo pola primeira sen derivar". Matematicamente:

$(f\cdot g{)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }$

Ou usando a notación de Leibniz:

$\frac{d}{dx}(u\cdot v)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$

Na resolución final de suma de produtos, a orde é indiferente, o importante é non confundir f(x), g(x), f'(x) e g'(x).

Demostración

Pode chegarse á regra usando as características do límite e a definición da derivada como o límite do cociente da diferenza.

Entón, temos:

$f(x)=g(x)h(x)$

supoñendo que g e h son diferenciables na variable x. Logo

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)h(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)h(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

Como

$g(x+\mathrm{\Delta }x)h(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)h(x)=g(x)(h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x))+h(x+\mathrm{\Delta }x)(g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)),$

tense que

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)h(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)h(x)+g(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{g(x)(h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x))+h(x+\mathrm{\Delta }x)(g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x))}{\mathrm{\Delta }x}$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }[g(x)\left(\frac{(h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x))}{\mathrm{\Delta }x}\right)+h(x+\mathrm{\Delta }x)\left(\frac{(g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x))}{\mathrm{\Delta }x}\right)]$

Como h é continua en x, tense que

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }h(x+\mathrm{\Delta }x)=h(x)$

e pola definición de derivada, e a diferenciabilidade de h e g en x, tense tamén que

$\left[\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{(h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x))}{\mathrm{\Delta }x}\right]=h^{\prime }(x)$ e $\left[\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{(g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x))}{\mathrm{\Delta }x}\right]=g^{\prime }(x)$

Así, xustifícase a descomposición dos produtos dentro do límite, e reorganizando todo chégase á regra do produto.

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }[g(x)\left(\frac{(h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x))}{\mathrm{\Delta }x}\right)+h(x+\mathrm{\Delta }x)\left(\frac{(g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x))}{\mathrm{\Delta }x}\right)]$

$=[\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }g(x)]\left[\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{(h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x))}{\mathrm{\Delta }x}\right]+[\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }h(x+\mathrm{\Delta }x)]\left[\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{(g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x))}{\mathrm{\Delta }x}\right]$

$=g(x)h^{\prime }(x)+h(x)g^{\prime }(x)$

Exemplo

Supoñendo que se quere derivar:

$f(x)=x^2\sin (x)$

Usando a regra do produto, obtense a derivada:

$f^{\prime }(x)=2x\sin (x)+x^2\cos (x)$

xa que a derivada de $x^2$ é $2x$

e a derivada de $\sin (x)$ é $\cos (x)$.

Regra xeneralizada do produto

Esta regra pode ser xeneralizada para a obtención do termo dunha derivación sucesiva de produto. Sexan f e g funcións n-veces diferenciables. A derivada enésima do produto $f\cdot g$ vén dada por:

$(f\cdot g{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}{g}^{(n-k)}$

onde $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ é chamado coeficiente binomial.

Isto próbase a través da regra do produto e a indución.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Product Rule, en Math World Modelo:En