Transformada de Laplace

En Matemática, e en particular na Análise funcional, a transformada de Laplace dunha función f(t) definida para todo número real t ≥ 0 é a función F(s), definida por:

$F(s)=ℒ\{f\}(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.$

As propiedades desta transformada tórnanna útil para a análise de sistemas dinámicos lineares. A vantaxe máis interesante desta transformada é que a integración e a derivación tórnanse multiplicacións e divisións, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicación en adición. Ela permite levar a resolución de ecuacións diferenciais á resolución de ecuacións polinomiais, que son moito máis simples de resolver.

A transformada de Laplace ten o seu nome en homenaxe ao matemático francés Pierre Simon Laplace.

Notación en Enxeñaría/Física

Un abuso ás veces conveniente de notación, que acontece principalmente entre enxeñeiros e físicos, espreme iso da forma seguinte:

$F(s)=ℒ\{f(t)\}=\underset{0^{-}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.$

Cando se fala de transformada de Laplace, reférese xeralmente á versión unilateral. Existe tamén a transformada de Laplace bilateral, que se define como segue:

$F_B(s)=\left\{ℒf\right\}(s)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.$

A transformada de Laplace F(s) existe tipicamente para todos os números reais s > a, onde a é unha constante que depende do comportamento de crecemento de f(t).

A transformada de Laplace tamén pode utilizarse na resolución de ecuacións diferenciais, e é extensamente utilizada en enxeñaría eléctrica.

Un aspecto interesante da transformada de Laplace é que os matemáticos, ata hoxe, non coñecen o seu dominio. En outras palabras, non existe ningún conxunto de regras co cal se pode verificar se a transformada de Laplace pode ou non se aplicar a unha función.

Propiedades

Linearidade

$ℒ\{af(t)+bg(t)\}=aℒ\{f(t)\}+bℒ\{g(t)\}$

Derivada

$ℒ\{f^{\prime }\}=sℒ\{f\}-f(0)$

$ℒ\{f^{″}\}=s^2ℒ\{f\}-sf(0)-f^{\prime }(0)$

$ℒ\left\{f^{(n)}\right\}=s^nℒ\{f\}-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)$

$ℒ\{tf(t)\}=-F^{\prime }(s)$

$ℒ\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}=\underset{s}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\sigma )d\sigma$

Integral

$ℒ\{\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau \}=\frac{1}{s}ℒ\{f\}$

Composición

$ℒ\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)$ Amortización

${ℒ}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{at}f(t)$

$ℒ\{f(ta)\}=e^{as}F(s)$ Atraso

$ℒ\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{as}F(s)$

${ℒ}^{-1}\{e^{as}F(s)\}=f(t-a)u(t-a)$

Nota: $u(t)$ é a función de etapa de Heaviside.

Valor Final

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)$

Convolución

$ℒ\{f\otimes g\}=ℒ\{f\}ℒ\{g\}$

Transformada de Laplace dunha función de período p

$ℒ\{f\}=\frac{1}{1-e^{-ps}}\underset{0}{\overset{p}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$

Algunhas transformadas usuais

Potencia n

$ℒ\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}}$

Exponencial

$ℒ\{e^{-at}\}=\frac{1}{s+a}$

Seno

$ℒ\{\sin (bt)\}=\frac{b}{s^2+b^2}$

Coseno

$ℒ\{\cos (bt)\}=\frac{s}{s^2+b^2}$

Seno hiperbólico

$ℒ\{\sinh (bt)\}=\frac{b}{s^2-b^2}$

Coseno hiperbólico

$ℒ\{\cosh (bt)\}=\frac{s}{s^2-b^2}$

Demostracción

$ℒ\{\cosh (bt)\}=\frac{1}{2}ℒ\{e^{bt}+e^{-bt}\}=\frac{1}{2}(ℒ\{e^{bt}\}+ℒ\{e^{-bt}\})=\frac{1}{2}(\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s+b})=\frac{1}{2}\left(\frac{s+b+s-b}{s^2-b^2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{2s}{s^2-b^2}\right)=\frac{s}{s^2-b^2}$

Logaritmo natural

$ℒ\{\ln (t)\}=-\frac{\ln (s)+\gamma }{s}$

Raíz n

$ℒ\{\sqrt[n]{t}\}=s^{-\frac{n+1}{n}}\cdot \mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{n})$

Función de Besel do primeiro tipo

$ℒ\{X_n(t)\}=\frac{{(s+\sqrt{1+s^2})}^{-n}}{\sqrt{1+s^2}}$

Función de Besel modificada do primeiro tipo

$ℒ\{I_n(t)\}=\frac{{(s+\sqrt{-1+s^2})}^{-n}}{\sqrt{-1+s^2}}$

Función erro

$ℒ\{\mathrm{erf}(t)\}=\frac{e^{s^2/4}\mathrm{erfc}(s/2)}{s}$

Outras transformadas comúns

Transformada de Laplace	Función no dominio Tempo	$1$	$\delta (t)$, impulso unitario
$\frac{1}{s}$	$u(t)$, paso unitario
$\frac{n!}{(s+a{)}^{n+1}}$	$e^{-at}{t}^n$
$\frac{1}{(s+a{)}^n}$	$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}{e}^{-at}$
$\frac{1}{s(s+a)}$	$1-e^{-at}$
$\frac{1}{(s+a)(s+b)}$	$\frac{1}{ba}(e^{-at}-e^{-bt})$
$\frac{s+c}{(s+a{)}^2+b^2}$	$e^{-at}(\cos (bt)+\left(\frac{ca}{b}\right)\sin (bt))$
$\frac{\sin \phi s+a\cos \phi }{s^2+a^2}$	$\sin (at+\phi )$