Ideal principal

En matemáticas, especificamente na teoría de aneis, un ideal principal é un ideal $I$ nun anel $R$ que é xerado por un só elemento $a$ de $R$ mediante a multiplicación por cada elemento de $R.$ O termo tamén ten outro significado semellante en teoría da orde, onde se refire a un ideal (orde) nun poset $P$ xerado por un único elemento $x\in P,$ é dicir o conxunto de todos os elementos menores ou iguais a $x$ en $P.$

O resto deste artigo só aborda o concepto da teoría de aneis.

Definicións

• un ideal principal pola esquerda $R$ é un subconxunto de $R$ dado por $Ra=\{ra:r\in R\}$ para algún elemento $a,$
• un ideal principal pola dereita de $R$ é un subconxunto de $R$ dado por $aR=\{ar:r\in R\}$ para algún elemento $a,$
• un ideal principal bilateral $R$ é un subconxunto de $R$ dado por $RaR=\{r_{1}a{s}_1+\dots +r_{n}a{s}_n:r_1,s_1,\dots ,r_n,s_n\in R\}$ para algún elemento $a,$ é dicir, o conxunto de todas as sumas finitas de elementos da forma $ras.$

Se $R$ é un anel conmutativo con identidade, entón as tres nocións anteriores son todas iguais. Nese caso, é habitual escribir o ideal xerado por $a$ como $⟨a⟩$ ou $(a).$

Exemplos de ideal non principal

Non todos os ideais son principais. Por exemplo, considere o anel conmutativo $ℂ[x,y]$ de todos os polinomios en dúas variabeis $x$ e $y,$ con coeficientes complexos. O ideal $⟨x,y⟩$ xerado por $x$ e $y,$ que consta de todos os polinomios en $ℂ[x,y]$ que teñen cero como termo constante, non é principal. Para ver isto, supoña que $p$ foron un xerador de $⟨x,y⟩.$ Entón $x$ e $y$ ambos os dous serían divisíbeis por $p,$ que é imposíbel a non ser que $p$ sexa unha constante distinta de cero. Pero cero é a única constante en $⟨x,y⟩,$ así que temos unha contradición.

No anel $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]=\{a+b\sqrt{-3}:a,b\in \mathbb{Z}\},$ os números onde $a+b$ son pares é un ideal non principal. Este ideal forma unha retícula hexagonal regular no plano complexo. Considere $(a,b)=(2,0)$ e $(1,1).$ Estes números son elementos deste ideal coa mesma norma (dous), mais pola mor de seren $1$ e $-1$ as únicas unidades do anel, non son asociados.

Definicións relacionadas

Un anel no que cada ideal é principal chámase principal, ou un anel ideal principal. Un dominio de ideais principais (PID) é un dominio de integridade no que cada ideal é principal. Calquera PID é un dominio de factorización única; a demostración normal da factorización única nos números enteiros (o chamado teorema fundamental da aritmética) cúmprese en calquera PID.

Exemplos de ideal principal

Os ideais principais en $\mathbb{Z}$ son da forma $⟨n⟩=n\mathbb{Z}.$ De feito, $\mathbb{Z}$ é un dominio ideal principal, e pódese mostrar como segue. Supoñamos $I=⟨n_1,n_2,\dots ⟩$ onde $n_1\ne 0,$ e considere os homomorfismos sobrexectivos $\mathbb{Z}/⟨n_1⟩\to \mathbb{Z}/⟨n_1,n_2⟩\to \mathbb{Z}/⟨n_1,n_2,n_3⟩\to \cdots .$ Posto que$\mathbb{Z}/⟨n_1⟩$ é finito, para $k$ suficientemente grande temos $\mathbb{Z}/⟨n_1,n_2,\dots ,n_k⟩=\mathbb{Z}/⟨n_1,n_2,\dots ,n_{k+1}⟩=\cdots .$ Así $I=⟨n_1,n_2,\dots ,n_k⟩,$ o que implica que $I$ sempre se xera de forma finita. Posto que o ideal $⟨a,b⟩$ xerado por calquera número enteiro $a$ e $b$ é exactamente $⟨\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(a,b)⟩,$ por indución sobre o número de xeradores dedúcese que $I$ é principal.

No entanto, todos os aneis teñen ideais principais, calquera ideal xerado por exactamente un elemento. Por exemplo, o ideal $⟨x⟩$ é un ideal principal de $ℂ[x,y],$ e $⟨\sqrt{-3}⟩$ é un ideal principal de $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}].$ De feito, $\{0\}=⟨0⟩$ e $R=⟨1⟩$ son os ideais principais de calquera anel $R.$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Dominio de ideais principais.
• Ideal (teoría dos aneis)

Ligazóns externas

• Principal Ideals and Euclidean Domains (LibreTexts).

Modelo:Control de autoridades