Logaritmo natural de 2

O valor decimal do logaritmo natural de 2 Modelo:OEIS é aproximadamente

$\ln 2\approx 0.693147180559945309417232121458.$

O logaritmo decimal é Modelo:OEIS

${\log }_{10}2\approx 0.301029995663981195.$

Segundo o teorema de Lindemann-Weierstrass, o logaritmo natural de calquera número natural que non sexa 0 e 1 (máis xeralmente, de calquera número alxébrico positivo que non sexa 1) é un número transcendental.

Representacións en serie

Factorial alternativo ascendente

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots .$ Esta é a coñecida "serie harmónica alterna".

$\ln 2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)}.$

$\ln 2=\frac{5}{8}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}.$

$\ln 2=\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}.$

$\ln 2=\frac{131}{192}+\frac{3}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}.$

$\ln 2=\frac{661}{960}+\frac{15}{4}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}.$

$\ln 2=\frac{2}{3}.(1+\frac{2}{4^3-4}+\frac{2}{8^3-8}+\frac{2}{12^3-12}+.........).$

Factorial constante ascendente binario

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n}.$

$\ln 2=1-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)}.$

$\ln 2=\frac{1}{2}+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)}.$

$\ln 2=\frac{5}{6}-6\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)}.$

$\ln 2=\frac{7}{12}+24\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}.$

$\ln 2=\frac{47}{60}-120\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}.$

Outras representacións en serie

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}=\ln 2.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(4n^2-1)}=2\ln 2-1.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n(4n^2-1)}=\ln 2-1.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n(9n^2-1)}=2\ln 2-\frac{3}{2}.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4n^2-2n}=\ln 2.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(-1{)}^{n+1}(2n-1)+1}{8n^2-4n}=\ln 2.$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{3n+1}=\frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi }{3\sqrt{3}}.$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{3n+2}=-\frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi }{3\sqrt{3}}.$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(3n+1)(3n+2)}=\frac{2\ln 2}{3}.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sum _{k=1}^n{k}^2}=18-24\ln 2$ usando $\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=N}^{2N}\frac{1}{n}=\ln 2$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4n^2-3n}=\ln 2+\frac{\pi }{6}$ (sumas dos recíprocos dos números decagonais)

Implicando a función Zeta de Riemann

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}[\zeta (2n)-1]=\ln 2.$

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}[\zeta (n)-1]=\ln 2-\frac{1}{2}.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n+1}[\zeta (2n+1)-1]=1-\gamma -\frac{\ln 2}{2}.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{2n-1}(2n+1)}\zeta (2n)=1-\ln 2.$

(Modelo:Math é a constante de Euler-Mascheroni e Modelo:Math a función zeta de Riemann).

Representacións tipo BBP

$\ln 2=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2k}+\frac{1}{4k+1}+\frac{1}{8k+4}+\frac{1}{16k+12})\frac{1}{16^k}.$

(Consulte máis información sobre as representacións de tipo Bailey–Borwein–Plouffe (BBP).)

Aplicando as tres series xerais para o logaritmo natural a 2 directamente dá:

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}.$

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n}.$

$\ln 2=\frac{2}{3}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{9^k(2k+1)}.$

Representación como integrais

O logaritmo natural de 2 ocorre con frecuencia como resultado da integración. Algunhas fórmulas explícitas para iso inclúen:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{1+x}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{dx}{x}=\ln 2$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}\frac{1-e^{-x}}{x}dx=\ln 2$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{2}^{-x}dx=\frac{1}{\ln 2}$

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\tan xdx=2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\tan xdx=\ln 2$

$-\frac{1}{\pi i}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln x\ln \ln x}{(x+1{)}^2}dx=\ln 2$

Outras representacións

A expansión de Pierce é Modelo:OEIS

$\ln 2=1-\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 12}-\cdots .$

A expansión de Engel é Modelo:OEIS

$\ln 2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 7}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}+\cdots .$

A expansión cotanxente é Modelo:OEIS

$\ln 2=\cot (\mathrm{arccot}(0)-\mathrm{arccot}(1)+\mathrm{arccot}(5)-\mathrm{arccot}(55)+\mathrm{arccot}(14187)-\cdots ).$

A expansión como fracción continua simple é Modelo:OEIS

$\ln 2=[0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2,1,1,1,1,3,2,3,1,...]$ ,

que produce aproximacións racionais, as primeiras das cales son 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 e 61/88.

Esta fracción continua xeneralizada :

$\ln 2=[0;1,2,3,1,5,\frac{2}{3},7,\frac{1}{2},9,\frac{2}{5},...,2k-1,\frac{2}{k},...]$,

tamén expresábel como

$\ln 2=\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{2}{2+\frac{2}{5+\frac{3}{2+\frac{3}{7+\frac{4}{2+\ddots }}}}}}}}=\frac{2}{3-\frac{1^2}{9-\frac{2^2}{15-\frac{3^2}{21-\ddots }}}}$

Díxitos coñecidos

Esta é unha táboa de rexistros recentes no cálculo de díxitos de Modelo:Math. Desde decembro de 2018, calculáronse máis díxitos que os de calquera outro logaritmo neperiano dun número natural, agás o de 1.

Data	Nome	Número de díxitos
7 de xaneiro de 2009	A.Yee e R.Chan	15.500.000.000
4 de febreiro de 2009	A.Yee e R.Chan	31.026.000.000
21 de febreiro de 2011	Alexander Yee	50.000.000.050
14 de maio de 2011	Shigeru Kondo	100.000.000.000
28 de febreiro de 2014	Shigeru Kondo	200.000.000.050
12 de xullo de 2015	Ron Watkins	250.000.000.000
30 de xaneiro de 2016	Ron Watkins	350.000.000.000
18 de abril de 2016	Ron Watkins	500.000.000.000
10 de decembro de 2018	Michael Kwok	600.000.000.000
26 de abril de 2019	Jacob Riffee	1.000.000.000.000
19 de agosto de 2020	Seungmin Kim	1.200.000.000.100
9 de setembro de 2021	William Echols	1.500.000.000.000

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita publicación periódica
• Modelo:Cita publicación periódica
• Modelo:Cita publicación periódica
• Modelo:Cita publicación periódica
• Modelo:Cita publicación periódica

Outros artigos

• Ecuación de Erdős–Moser: tódalas solucións deben vir dos converxentes de Modelo:Math.

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld
• Modelo:Cita web

Modelo:Control de autoridades