Matriz transposta

A transposta A^T dunha matriz A pódese obter reflectindo os elementos ao longo da súa diagonal. Repetindo o proceso na matriz transposta devolve os elementos á súa posición orixinal. Así, a transposta da transposta é a matriz orixinal, (A^T)^T = A.

Sexa $A$ unha matriz con $m$ filas e $n$ columnas. A matriz transposta (ou matriz trasposta) denotada por $A^T$,

vén dada por:

$(A^T{)}_{ij}=A_{ji},1\le i\le n,1\le j\le m$,

onde o elemento

$a_{ji}$

da matriz orixinal

$A$

convértese no elemento

$a_{ij}$

da matriz transposta

$A^T$

.

Exemplos

${\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ e& f\end{array}\right]}^t=\left[\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right]$

${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]}^t=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$

Propiedades

Involutiva

• Para toda matriz $A$ ,

$(A^t{)}^t=A$

Distributiva

• Sexan A e B matrices con elementos nun anel $𝒜$ e sexa $c\in 𝒜$ :

$(A+B{)}^t=A^t+B^t$

Linear

$(cA{)}^t=c{A}^t$

Outras

• Para o produto usual de matrices $A$ e $B$, temos $(AB{)}^t=B^t{A}^t$

• Si $A$ é unha matriz cadrada cuxas entradas son números reais, daquela $A^{t}A$ é semidefinida positiva.

Definicións asociadas

Unha matriz cadrada $A$ é <b id="mwWw">simétrica</b> se coincide coa súa transposta:

$A^t=A$

unha matriz cadrada $A$ é <b id="mwYg">antisimétrica</b> se a súa transposta coincide coa súa inversa aditiva.

$A^t=-A$

Se os elementos da matriz $A$ son números complexos e a súa transposta coincide coa súa conxugada, dise que a matriz é hermitiana.

$A^t=\overline{A},A=(\overline{A}{)}^t=A^{†}$

e antihermítiana se

$A^t=-\overline{A}$

Cabe sinalar que se unha matriz é hermitiana (matriz simétrica no caso dunha matriz real), daquela é diagonalizábel e os seus valores propios son reais. (A recíproca é falsa).

Véxase tamén

Outros artigos

• Matriz (matemáticas).
• Matriz invertíbel.

Ligazóns externas

• Modelo:Springer