Regresión (xeometría diferencial)

Sexa $\varphi :M\to N$ un mapa suave entre variedades suaves $M$ e $N$. Daquela hai unha aplicación linear asociada a partir do espazo das 1-formas $N$ (o espazo linear das seccións do fibrado cotanxente) no espazo das 1-formas en $M$. Este mapa linear coñécese como regresión ou pullback (mediante $\varphi$), e denótase frecuentemente por ${\varphi }^{*}$. De forma máis xeral, calquera campo tensor covariante, en particular calquera forma diferencial, en $N$ pode ser retrocedido a $M$ usando $\varphi$ .

Regresións de funcións suaves e mapas suaves

Sexa $\varphi :M\to N$ un mapa suave entre variedades (suaves), $M$ e $N$, e supoñamos que $f:N\to ℝ$ é unha función suave en $N$. Daquela a regresión de $f$ por $\varphi$ é a función suave ${\varphi }^{*}f$ en $M$ definida por $({\varphi }^{*}f)(x)=f(\varphi (x))$. Do mesmo xeito, se $f$ é unha función suave nun conxunto aberto $U$ en $N$, entón a mesma fórmula define unha función suave no conxunto aberto ${\varphi }^{-1}(U)$. (Na linguaxe de feixes, unha regresión define un morfismo a partir do feixe de funcións suaves $N$ na imaxe directa por $\varphi$ do feixe de funcións suaves sobre $M$.)

De xeito máis xeral, se $f:N\to A$ é un mapa suave de $N$ en calquera outra variedade $A$, daquela $({\varphi }^{*}f)(x)=f(\varphi (x))$ é un mapa suave de $M$ en $A$.

Regresión de fibrados e seccións

Se $E$ é un fibrado vectorial (ou realmente calquera fibrado) sobre $N$ e $\varphi :M\to N$ é un mapa suave, daquela o fibrado de regresión ${\varphi }^{*}E$ é un fibrado vectorial (ou fibrado) sobre $M$ cuxa fibra sobre $x$ en $M$ está dada por $({\varphi }^{*}E{)}_x=E_{\varphi (x)}$.

Regresión de formas multilineares

Sexa Modelo:Nowrap unha aplicación linear entre espazos vectoriais V e W (é dicir, Φ é un elemento de Modelo:Nowrap, tamén denotado Modelo:Nowrap), e sexa

$F:W\times W\times \cdots \times W\to 𝐑$

unha forma multilinear en W (tamén coñecida como tensor, que non debe confundirse cun campo tensor, de rango Modelo:Nowrap, onde s é o número de factores de W no produto). Entón a regresión Φ^∗F de F por Φ é unha forma multilinear en V definida precompoñendo F con Φ. Máis precisamente, dados os vectores v₁, v₂, ..., v_s en V, Φ^∗F defínese pola fórmula

$({\mathrm{\Phi }}^{*}F)(v_1,v_2,\dots ,v_s)=F(\mathrm{\Phi }(v_1),\mathrm{\Phi }(v_2),\dots ,\mathrm{\Phi }(v_s)),$

que é unha forma multilinear en V. Polo tanto, Φ^∗ é un operador (linear) desde formas multilineares en W ata formas multilineares en V. Como caso especial, teña en conta que se F é unha forma linear (ou (0,1)-tensor) en W, de xeito que F é un elemento de W ^∗, o espazo dual de W, entón Φ^∗F é un elemento de V^∗, polo que a regresión por Φ define un mapa linear entre espazos duais que actúa na dirección oposta ao propio mapa linear Φ:

$\mathrm{\Phi }:V\to W,{\mathrm{\Phi }}^{*}:W^{*}\to V^{*}.$

Desde o punto de vista tensorial, é natural tentar estender a noción de regresión a tensores de rango arbitrario, é dicir, a mapas multilineares en W tomando valores nun produto tensorial de r copias de W, é dicir, Modelo:Nowrap. Porén, os elementos deste produto tensor non regresan de forma natural. Mais hai unha operación de pulo de Modelo:Nowrap a Modelo:Nowrap dado por

${\mathrm{\Phi }}_{*}(v_1\otimes v_2\otimes \cdots \otimes v_r)=\mathrm{\Phi }(v_1)\otimes \mathrm{\Phi }(v_2)\otimes \cdots \otimes \mathrm{\Phi }(v_r).$

No entanto, disto dedúcese que se Φ é invertíbel, a regresión pódese definir usando un pulo mediante a función inversa Φ⁻¹. A combinación destas dúas construcións produce unha operación de pulo, ao longo dun mapa linear invertíbel, para tensores de calquera rango Modelo:Nowrap.

Regresión de vectores cotanxentes e 1-formas

Sexa $\varphi :M\to N$ un mapa suave entre variedades suaves. Entón o diferencial de $\varphi$, escrito ${\varphi }_{*}$, $d\varphi$ ou $D\varphi$, é un morfismo de fibrado vectorial (sobre $M$) do fibrado tanxente $TM$ de $M$ na regresión do fibrado ${\varphi }^{*}TN$. A transposición de ${\varphi }_{*}$ é polo tanto un mapa de fibrados de ${\varphi }^{*}{T}^{*}N$ en $T^{*}M$, o fibrado cotanxente de $M$.

Supoña agora que $\alpha$ é unha sección de $T^{*}N$ (unha 1-forma en $N$), e precompón $\alpha$ con $\varphi$ para obter unha sección de regresión de ${\varphi }^{*}{T}^{*}N$. Ao aplicar o mapa do fibrado anterior (por puntos) a esta sección obtemos a regresión de $\alpha$ por $\varphi$, que é a 1-forma ${\varphi }^{*}\alpha$ en $M$ definida por $$({\varphi }^{*}\alpha {)}_x(X)={\alpha }_{\varphi (x)}(d{\varphi }_x(X))$$ para $x$ en $M$ e $X$ en $T_{x}M$.

Regresión de campos tensoriais (covariantes).

A construción da sección anterior xeneralízase inmediatamente para un fibrado de tensores de rango $(0,s)$, para calquera número natural $s$: a $(0,s)$ campo tensorial nunha variedade $N$ é unha sección do fibrado tensor en $N$ cuxa fibra en $y$ en $N$ é o espazo das $s$-formas multilineares

$F:T_{y}N\times \cdots \times T_{y}N\to ℝ.$

Tomando $\varphi$ igual ao diferencial dun mapa suave $\varphi$ de $M$ en $N$, a regresión de formas multilineares pódese combinar coa regresión de seccións para producir un campo tensorial $(0,s)$ en $M$. Máis precisamente, se $S$ é un campo tensorial $(0,s)$ en $N$, daquela o pullback de $S$ mediante $\varphi$ é o $(0,s)$-campo tensorial ${\varphi }^{*}S$ en $M$ definido por

$({\varphi }^{*}S{)}_x(X_1,\dots ,X_s)=S_{\varphi (x)}(d{\varphi }_x(X_1),\dots ,d{\varphi }_x(X_s))$

para $x$ en $M$ e $X_j$ en $T_{x}M$.

Regresión de formas diferenciais

Un caso particular e importante da regresión de campos tensoriais covariantes é a regresión de formas diferenciais. Se $\alpha$ é unha $k$-forma diferencial, é dicir, unha sección do fibrado exterior ${\mathrm{\Lambda }}^k(T^{*}N)$ de formas $k$ alternadas (en fibras) en $TN$, entón o retroceso de $\alpha$ é a $k$-forma diferencial en $M$ definida pola mesma fórmula que na sección anterior:

$({\varphi }^{*}\alpha {)}_x(X_1,\dots ,X_k)={\alpha }_{\varphi (x)}(d{\varphi }_x(X_1),\dots ,d{\varphi }_x(X_k))$

para $x$ en $M$ e $X_j$ en $T_{x}M$.

A regresión das formas diferenciais ten dúas propiedades que a fan moi útil.

1. É compatíbel co produto exterior no sentido de que para as formas diferenciais $\alpha$ e $\beta$ en $N$,

${\varphi }^{*}(\alpha \wedge \beta )={\varphi }^{*}\alpha \wedge {\varphi }^{*}\beta ,$

1. É compatible coa derivada exterior $d$: se $\alpha$ é unha forma diferencial en $N$ entón

${\varphi }^{*}(d\alpha )=d({\varphi }^{*}\alpha ).$

Regresión por difeomorfismos

Cando o mapa $\varphi$ entre variedades é un difeomorfismo, é dicir, ten unha inversa suave, entón pódese definir a regresión para os campos vectoriais así como para 1-formas, e así, por extensión, para un campo tensor mixto arbitrario na variedade. O mapa linear

$\mathrm{\Phi }=d{\varphi }_x\in \mathrm{GL}(T_{x}M,T_{\varphi (x)}N)$

pódese inverter para dar

${\mathrm{\Phi }}^{-1}={\left(d{\varphi }_x\right)}^{-1}\in \mathrm{GL}(T_{\varphi (x)}N,T_{x}M).$

Un campo tensor mixto xeral transformarase usando $\mathrm{\Phi }$ e ${\mathrm{\Phi }}^{-1}$ segundo o produto tensorial descomposición do fibrado tensor en copias de $TN$ e $T^{*}N$. Cando $M=N$, entón o pullback e o pushforward describen as propiedades de transformación dun tensor na variedade $M$. En termos tradicionais, a regresión describe as propiedades de transformación dos índices covariantes dun tensor; pola contra, a transformación dos índices contravariantes vén dada por un pulo.

Regresión por automorfismos

A construción da sección anterior ten unha interpretación teórica da representación cando $\varphi$ é un difeomorfismo dunha variedade $M$ en si mesma. Nese caso, a derivada $d\varphi$ é unha sección de $\mathrm{GM}(TM,{\varphi }^{*}TM)$. Isto induce unha acción de regresión en seccións de calquera fibrado asociado ao fibrado de marcas $\mathrm{GM}(m)$ de $M$ mediante unha representación do grupo linear xeral $\mathrm{GM}(m)$ (onde $m=\dim M$).

Regresión e derivada de Lie

Ver derivada de Lie. Aplicando as ideas anteriores ao grupo local difeomorfismos de 1-parámetro definido por un campo vectorial en Modelo:Mvar, e diferenciando con respecto ao parámetro, obtense unha noción de derivada de Lie en calquera feixe asociado.

Regresión de conexións (derivadas covariantes)

Se $\mathrm{\nabla }$ é unha conexión (ou derivada covariante) nun fibrado vectorial $E$ sobre $N$ e $\varphi$ é un mapa suave de $M$ en $N$, daquela hai unha conexión de regresión ${\varphi }^{*}\mathrm{\nabla }$ en ${\varphi }^{*}E$ sobre $M$, determinado exclusivamente pola condición de que

${\left({\varphi }^{*}\mathrm{\nabla }\right)}_X\left({\varphi }^{*}s\right)={\varphi }^{*}\left({\mathrm{\nabla }}_{d\varphi (X)}s\right).$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro See sections 1.5 and 1.6.
• Modelo:Cita libro See section 1.7 and 2.3.

Outros artigos

• Pulo (diferencial)
• Pulo de fibrado
• Regresión (teoría das categorías)

Modelo:Control de autoridades