Cosecante

A función cosecante é a razón trigonométrica recíproca da función seno:

$\csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha }=\frac{c}{a}$

Forma xeométrica

Trazando unha recta horizontal que pasa por F que curta a recta r en G. Á vista da figura, podemos ver que o ángulo de G é igual ao ángulo de A, dado o triángulo GAF rectángulo en F:

$\csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha }=\frac{\overline{AB}}{\overline{CB}}=\frac{\overline{AG}}{\overline{AF}}=\frac{\overline{AG}}{1}=\overline{AG}.$

(Tendo en conta que na proba usamos a circunferencia de raio unidade).

Representación gráfica

Partindo da definición de cosecante como a recíproca do seno, vemos a representación conxunta de ambas as dúas funcións (en vermello escuro a cosecante):

E coñecendo a función seno, podemos ver que para os valores nos que o seno vale cero, a cosecante faise infinito, se a función seno tende a cero desde valores negativos a cosecante tende a: $-\mathrm{\infty }$.

$\underset{\alpha \to 0^{-}}{\lim }\sin (\alpha )=0^{-}$

$\underset{\alpha \to 0^{-}}{\lim }\csc (\alpha )=\frac{1}{\underset{\alpha \to 0^{-}}{\lim }\sin (\alpha )}=\frac{1}{0^{-}}=-\mathrm{\infty }$

mentres que cando o seno tende a cero desde valores positivos a cosecante tende a: $+\mathrm{\infty }$.

$\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }\sin (\alpha )=0^{+}$

$\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }\csc (\alpha )=\frac{1}{\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }\sin (\alpha )}=\frac{1}{0^{+}}=+\mathrm{\infty }$

Cando o seno do ángulo vale un, a súa cosecante tamén vale un, como se pode ver na gráfica.

Características

Período

A cosecante é unha función periódica con período $2\pi$, formalmente:

$\csc x=\csc (x+2k\pi ),k\in \mathbb{Z}$.

Valores significativos

Pódese obter facilmente unha táboa con algúns valores significativos lembrando que $\csc x=\frac{1}{\sin x}$:

$x$ en radiáns	0	$\frac{\pi }{12}$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{5}{12}\pi$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
$x$ en graos	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°	180°	270°	360°
$\csc (x)$	$\nexists$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$	$2$	$\sqrt{2}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{6}-\sqrt{2}$	$1$	$\nexists$	$-1$	$\nexists$

Derivada

Obtemos a derivada aplicando a regra do cociente:

$\frac{d}{dx}\csc x=\frac{d}{dx}\frac{1}{\sin x}=-\frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}=-\csc x\cdot \cot x$

Véxase tamén

Bibliografía

1. Modelo:Cita libro

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld
• Matemática - Trigonometría Modelo:Webarchive

Modelo:Control de autoridades