Ecuacións da caída libre

Caída libre

A caída libre dos corpos é un dos principais tipos de experimentos realizados por Galileo para estudar a gravidade terrestre e o movemento dos corpos. Constitúe unha das etapas que levaron ao nacemento da ciencia moderna.

Lei da aceleración

Ficheiro:Isocronismo.webm Galileo Galilei demostrou que todos os corpos materiais caen no baleiro (excluíndo así calquera efecto de fricción do aire) coa mesma aceleración, independentemente da súa masa; este fenómeno é unha consecuencia directa da equivalencia entre masa gravitatoria e masa inercial. Del deduciuse que todo corpo, preto da superficie terrestre, sofre unha aceleración igual a aproximadamente:

$g\approx 9,81\frac{m}{s^2}$

A fórmula exacta para a aceleración pódese atopar a través da lei da forza gravitatoria:

$𝐅(𝐫)=-\frac{G{m}_{g}M}{r^2}\widehat{𝐫}$

onde

• M é a masa da Terra;
• G é a constante gravitacional ;
• m _g é a masa (gravitatoria) do obxecto suxeito á forza gravitatoria;
• r é a distancia do corpo ao centro da Terra.

Dado que a distancia entre a posición inicial da caída libre e o centro da Terra é aproximadamente igual ao radio terrestre R, esta ecuación aproxímase a

$𝐅\approx -\frac{GM{m}_g}{R^2}\widehat{𝐫}=-m_{g}g\widehat{𝐫}=m_g𝐠$

onde $g:=\frac{GM}{R^2}$

Substituíndo na segunda lei da dinámica temos

$𝐅=m_i𝐚=m_g𝐠$

Dado que as masas gravitatoria e inercial son proporcionais, escóllese a mesma unidade de medida para que, simplificando, obteñamos para a aceleración

$𝐚=𝐠$

independentemente da masa do corpo sometido á forza da gravidade. A relación, proxectada ao longo da vertical, pasa a ser:

$a_r\approx -9,81\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}$

Ecuación do movemento

A ecuación que describe a caída dos corpos é a típica do movemento uniformemente acelerado:

$x(t)=x_o+v_{o}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

onde x (t) é a distancia percorrida polo corpo (expresada en función do tempo), $x_o$ a posición do corpo no instante inicial $t_o=0$, o tempo necesario, $v_o$ a velocidade e aceleración inicial á que está sometido o corpo. No caso que se analiza, considerando un corpo que está sometido á acción da gravidade con velocidade inicial $V_o$ igual a cero, nun sistema de referencia que ten unha dirección positiva que se afasta do chan, a lei horaria escrita arriba pasa a ser:

$x(t)=-\frac{1}{2}g{t}^2$

onde o signo negativo débese a que o corpo se move en contra da dirección escollida como positiva no sistema de referencia.Porén, a notación usada anteriormente é útil no caso en que se estuda un movemento que se produce en máis dunha dirección (ou posiblemente dirección), como o movemento do proxectil ; se o movemento do corpo ocorre só nunha dirección e só nunha dirección, é conveniente asignarlle un valor positivo á aceleración da gravidade. Se imaxinamos deixar caer dous obxectos de diferente masa desde a mesma altura e coa mesma velocidade inicial en ausencia de rozamento $v_o$, da ecuación despréndese directamente que o tempo de caída será idéntico (nótese que a masa non aparece en ningunha das ecuacións anteriores).

Espazo percorrido durante un segundo enésimo

Para un corpo en caída libre cunha velocidade inicial igual a cero, sometido só á forza do peso, a distancia percorrida (expresada en metros) durante Modelo:' segundo enésimo é igual a:

$g(n-\frac{1}{2})$

De feito, calcular este espazo significa calcular a diferenza entre o espazo percorrido despois $n$ segundos e o espazo percorrido despois $(n-1)$ segundos, é dicir:

$x(n)-x(n-1)=\frac{1}{2}g{n}^2-[\frac{1}{2}g(n-1{)}^2]$

do que se segue desenvolvendo os cadrados e simplificando o resultado. O signo positivo na aceleración $g$ suponse que determina un espazo positivo, independentemente de calquera sistema de referencia. Teña en conta que, dada a xeneralidade da fórmula, o resultado obtido é o mesmo para todos os intervalos de 1 segundo de ancho.

Velocidade de impacto

Para un corpo en caída libre, a máxima velocidade $v_f$ impacto co chan é igual a:

$v_f=\sqrt{2gh}$

onde h é a altura inicial (expresada en metros) do corpo desde o chan. As ecuacións necesarias para o cálculo de $v_f$ son as da velocidade v (t) e a lei horaria que caracterizan o movemento uniformemente acelerado, é dicir (nas respectivas formas compactas):

$\{\begin{array}{c}x(t)=\frac{1}{2}g{t}^2\\ v(t)=gt\end{array}$

Ao introducir os datos do problema, o sistema pasa a ser:

$\{\begin{array}{c}h=\frac{1}{2}g{t}_f^2\\ v_f=g{t}_f\end{array}$

onde está $t_f$ é o instante no que o corpo impacta co chan. Da primeira ecuación obtemos:

$t_f=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

polo tanto, substituíndo na ecuación da velocidade:

$v_f=g\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{g^2\frac{2h}{g}}=\sqrt{2gh}$

O mesmo resultado poderíase conseguir usando a lei de conservación da enerxía mecánica; de feito, se chamamos $E_0$ a enerxía inicial e $E_1$ a final terá:

$\{\begin{array}{c}{E}_0=U=mgh\\ E_1=T=\frac{1}{2}m{v}_f^2\end{array}$

onde está $v_f$ é a velocidade final. Da lei de conservación da enerxía dedúcese que:

$mgh=\frac{1}{2}m{v}_f^2$

polo tanto:

$gh=\frac{1}{2}{v}_f^2$ ; $2gh=v_f^2$ ; $v_f=\sqrt{2gh}$

A relación que vincula a velocidade co tempo é: $v_f=v_0+gt$

onde está $v_0$ é a velocidade inicial coa que cae o corpo.

Velocidade límite

Se examinamos o caso dun corpo en caída libre sometido á resistencia viscosa dun fluído (p. ex. aire), a partir da segunda lei de Newton é posible expresar a velocidade deste corpo en función do tempo.

$v(t)=\frac{mg}{\beta }(1-e^{-\frac{\beta }{m}t})$

onde β é un coeficiente que varía segundo a forma do corpo e o fluído no que se move; dimensionalmente :

$[M][L{T}^{-2}]=[\beta ][L{T}^{-1}]⟺[\beta ]=[M{T}^{-1}]=[\frac{Kg}{s}]$

resultado obtido da ecuación que expresa a forza de resistencia do medio :

$f=-\beta v$

Para identificar a función de velocidade indicada anteriormente, é necesario partir da segunda lei da dinámica newtoniana :

$f=ma=m\frac{dv}{dt}$

que é unha ecuación diferencial con variables separables:

$mg-\beta v=m\frac{dv}{dt}\Rightarrow \frac{dv}{dt}=g-\frac{\beta }{m}v\Rightarrow \frac{dv}{g-\frac{\beta }{m}v}=dt$

Ao integrar cada membro:

$\underset{v(0)}{\overset{v(t)}{\int }}\frac{dv}{g-\frac{\beta }{m}v}=\underset{0}{\overset{t}{\int }}dt$

obtense:

${[\ln (g-\frac{\beta v}{m})]}_{v_0}^v=-\frac{\beta }{m}t\Rightarrow \ln \left(\frac{\beta v-mg}{\beta v_0-mg}\right)=-\frac{\beta }{m}t\Rightarrow \frac{\beta v-mg}{\beta v_0-mg}=e^{-\frac{\beta }{m}t}\Rightarrow v\left(t\right)=\frac{mg}{\beta }+\left(v_0-\frac{mg}{\beta }\right)e^{-\frac{\beta }{m}t}$

A fórmula anterior describe o caso particular $v_0=0$

$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }[\frac{mg}{\beta }+\left(v_0-\frac{mg}{\beta }\right)e^{-\frac{\beta }{m}t}]=\frac{mg}{\beta }$

que é o valor constante cara ao que tende a velocidade do corpo en caída, a medida que aumenta o tempo (velocidade límite). Este resultado mostra como a velocidade límite depende, ademais de g, da relación entre a masa do corpo e o coeficiente β: m fixo, a velocidade límite diminúe a medida que aumenta β, é dicir, a medida que se dirixe o obxecto. aumenta á dirección do movemento. Tamén hai que ter en conta outra característica, se o corpo comeza verticalmente cunha velocidade $v_{y_0}$ podes escribir:

$v(t)=v_{y_0}{𝑒}^{-\frac{\beta }{m}t}+\frac{mg}{\beta }(1-{𝑒}^{-\frac{\beta }{m}t})$

Aplicando o límite para $m\to \mathrm{\infty }$ temos:

$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }[v_{y_0}{𝑒}^{-\frac{\beta }{m}t}+\frac{mg}{\beta }(1-{𝑒}^{-\frac{\beta }{m}t})]=v_{y_0}+gt$

É dicir, a velocidade é a mesma que sería sen resistencia do aire, isto significa que canto maior sexa a masa, máis semella a súa traxectoria a unha parábola e o movemento é parabólico. En particular isto infórmanos de que se tomamos dous corpos cun coeficiente $\beta$ igual pero con masa diferente, o de maior masa terá maior alcance que o de menor masa. De feito, a propia resistencia do aire permite reducir o rango en comparación co parabólico.

Ecuacións do movemento coa resistencia do aire

Coa resistencia do aire o movemento do corpo en caída é diferente do parabólico ideal, isto débese a que durante a fase de voo o corpo sofre un rozamento que ralentiza o seu camiño, polo tanto hai unha forza que se opón ao movemento que é a resistencia do aire. De feito, o corpo móvese dentro dun fluído que é o aire e, polo tanto, está sometido a fricción viscosa. A forza de rozamento que se opón ao movemento pódese expresar como:

$𝐃=b𝐯$

Onde b é unha constante que depende estritamente das características do corpo. Así que a forza total que actúa sobre o corpo será

$𝐅=𝐏-𝐃$

Descompoñendo en compoñentes cartesianos e considerando a forza gravitatoria constante (polo tanto a aceleración gravitatoria será igual a g ), recollendo pódese escribir

$m{a}_x\widehat{u_x}+m{a}_y\widehat{u_y}=-b{v}_x\widehat{u_x}-(mg+b{v}_y)\widehat{u_y}$

Obtense o sistema

$\{\begin{array}{c}m{a}_x=-b{v}_x\\ m{a}_y=-mg-b{v}_y\end{array}$

Levamos todo ao primeiro membro e dividimos todo pola masa do corpo m, neste punto podemos substituír a aceleración pola segunda derivada do espazo con respecto ao tempo e a velocidade pola primeira derivada con respecto ao tempo, obtemos

$\{\begin{array}{c}\ddot{x}+\frac{b}{m}\dot{x}=0\\ \ddot{y}+\frac{b}{m}\dot{y}+g=0\end{array}$

Por simplicidade substituímos $\epsilon =\frac{b}{m}$ obtemos así:

$\{\begin{array}{c}\ddot{x}+\epsilon \dot{x}=0\\ \ddot{y}+\epsilon \dot{y}+g=0\\ \epsilon =\frac{b}{m}\end{array}$

Estas son dúas ecuacións diferenciais, unha solución da segunda do sistema é

$u(x)=-\frac{gt}{\epsilon }$

Ademais tamén consideramos as condicións iniciais $x(0)=x_0,\dot{x(0)}=v_{x_0}$ e $y(0)=y_0,\dot{y(0)}=v_{y_0}$ . Todos estes datos permítennos resolver as ecuacións diferenciais obtendo as ecuacións do movemento en forma paramétrica

$\{\begin{array}{c}x(t)=x_0+\frac{v_{x_0}}{\epsilon }\cdot (1-{𝑒}^{-\epsilon t})\\ y(t)=y_0-\frac{gt}{\epsilon }+\frac{v_{y_0}\epsilon +g}{{\epsilon }^2}\cdot (1-{𝑒}^{-\epsilon t})\\ \epsilon =\frac{b}{m}\end{array}$

E, mediante substitucións, a ecuación explícita de y en función de x:

$y=y_0+\frac{\ln (1-\frac{\epsilon }{v_{x_0}}\cdot (x-x_0))}{{\epsilon }^2}g+\frac{v_{y_0}\epsilon +g}{v_{x_0}\epsilon }\cdot (x-x_0)$

Fondo

A teoría anterior trata só de corpos que caen verticalmente. Ademais, suponse que o campo gravitatorio é constante, o que na Terra en condicións normais é unha excelente aproximación, (de feito dá erros incomparablemente máis baixos que os dados por descoidar a resistencia do aire).

Newton é o responsable da teoría gravitacional exacta e completa (non relativista), e de ter demostrado que un corpo (unha mazá ou unha pedra) que cae segue exactamente as mesmas ecuacións que fan que a Terra xire arredor do Sol. Unha pedra lanzada ao aire percorre unha elipse, caendo cara ao chan (descoidando sempre a resistencia do aire). A traxectoria que vemos é unha parte moi pequena desta elipse, tan pequena que non se pode distinguir dun segmento dunha parábola (que sería a traxectoria seguida se a gravidade fose constante).

Véxase tamén

Bibliografía

• Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Física, Vol. 1. Edises, 2000, ISBN 88-7959-137-1

Outros artigos

• Lei da gravitación universal
• Leis de Kepler
• Forza da gravidade
• Peso