Espiral dourada

Espiral áurea construída a partir da evolución dun rectángulo dourado.

As espirais áureas son autosimilares. A forma repítese indefinidamente cando se amplía. (Fractais)

A espiral dourada (denominada tamén espiral áurea) é unha espiral logarítmica asociada ás propiedades xeométricas do rectángulo dourado. A razón de crecemento é Φ, é dicir a razón dourada ou número áureo. Aparece esta espiral representada en diversas figuras da natureza (plantas, galaxias espirais), así como na arte.

Desenvolvemento matemático

A ecuación polar que describe a espiral dourada é a mesma que calquera outra espiral logarítmica, pero co factor de crecemento ($b$) igual Φ, isto é:

$r=a{e}^{b\theta }$

ou, da mesma forma

$\theta =\frac{1}{b}\ln (r/a),$

Sendo e a base do logaritmo natural, $a$ é unha constante real positiva e $b$ é tal que cando o ángulo θ é un ángulo recto:

$e^{b{\theta }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}}}=\varphi$

Por tanto, $b$ atópase determinado por

$b=\frac{\ln \varphi }{{\theta }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}}}.$

O valor numérico de $b$ depende de se o ángulo θ é medido en graos ou radiáns; como $b$ pode tomar valores positivos ou negativos segundo o signo de θ o máis sinxelo é indicar o seu valor absoluto:

Unha espiral de Fibonacci aproxímase á espiral dourada cando se inscribe en cadrados cuxos lados responden á sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

$|b|=\frac{\ln \varphi }{90}=0.0053468$ para θ en graos

$|b|=\frac{\ln \varphi }{\pi /2}=0.306349$para θ en radiáns

Unha fórmula alternativa para a espiral dourada obtense en:

$r=a{c}^{\theta }$

onde a constante $c$ está determinada por:

$c=e^b$

para a espiral dourada os valores de $c$ son:

$c={\varphi }^{\frac{1}{90}}\doteq 1.0053611$

se θ se mide en graos sexaxesimais, e

$c={\varphi }^{\frac{2}{\pi }}\doteq 1.358456.$

se θ se mide en radiáns.

Espirais douradas verdadeiras e aproximadas: a espiral verde está formada por cuartos de circunferencias inscritas en cadrados; a espiral vermella é unha espiral dourada, un tipo particular de espiral logarítmica. Ao solaparse as dúas espirais, obtense a espiral amarela

Aproximacións á espiral dourada

Existen aproximacións á espiral dourada, que non son iguais. Este tipo de espirais, a miúdo confúndense coa espiral dourada. Un exemplo é a espiral de Fibonacci que resulta ser unha aproximación á espiral dourada.

Galería

• 
  Mediante convolución de rectas
• 
  Cuncha dun Nautilus
• 
  Espiral no triángulo e a súa serie de Fibonacci
• 
  A moeda de ouro máis pequena do mundo

Véxase tamén

Outros artigos

• Número áureo

Ligazóns externas

• Método de construción a partir dun cadrado
• Vídeo que apoia o uso da espiral áurea nas artes Modelo:Es
• Vídeo que critica a espiral áurea como un mito no deseño gráfico Modelo:Es