Matriz triangular

En álxebra linear, unha matriz triangular é unha clase especial de matriz cadrada. Unha matriz cadrada é chamada triangular inferior se todas as entradas por riba da diagonal principal son nulos. De xeito semellante, unha matriz cadrada é chamada triangular superior se todas as entradas por debaixo da diagonal principal son nulos. Unha matriz triangular é unha matriz dun dos dous tipos, ou é triangular superior ou triangular inferior. Unha matriz que é de ámbolos tipos coñécese como matriz diagonal.

Como as ecuacións matriciais con matrices triangulares son doadas de resolver, estas matrices teñen moita importancia na análise numérica. Polo algoritmo de descomposición LU, unha matriz invertíbel pode ser escrita como o produto dunha matriz triangular inferior L e unha matriz triangular superior U, se e só se todos os seus menores principais son non nulos.

Descrición

Unha matriz da forma

$L=\left[\begin{array}{ccccc}{\ell }_{1,1}& & & & 0\\ {\ell }_{2,1}& {\ell }_{2,2}& & & \\ {\ell }_{3,1}& {\ell }_{3,2}& \ddots & & \\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \\ {\ell }_{n,1}& {\ell }_{n,2}& \dots & {\ell }_{n,n-1}& {\ell }_{n,n}\end{array}\right]$

é chamada un matriz triangular inferior ou matriz triangular esquerda. Do mesmo xeito, unha matriz da forma

$U=\left[\begin{array}{ccccc}{u}_{1,1}& u_{1,2}& u_{1,3}& \dots & u_{1,n}\\ & u_{2,2}& u_{2,3}& \dots & u_{2,n}\\ & & \ddots & \ddots & ⋮\\ & & & \ddots & u_{n-1,n}\\ 0& & & & u_{n,n}\end{array}\right]$

é chamada unha matriz triangular superior ou matriz triangular dereita. Adóitase empregar a variábel L para denotar unha matriz triangular inferior, e as variábeis U ou R para denotar unha matriz triangular superior.

Unha matriz que é triangular superior e inferior dise que é diagonal. As matrices que son semellantes (A e B son semellantes se A=M^-1BM para algunha matriz M) a unha matriz triangular chámanse triangularizábeis.

A triangularidade superior é preservada por moitas operacións:

• A suma de dúas matrices triangulares superior é triangular superior.
• O produto de dúas matrices triangulares superior é triangular superior.
• O inversa dunha triangular superior, de existir, é triangular superior.
• O produto dunha triangulares superior e un escalar é triangular superior.

Xunto estes feitos significan que as matrices triangulares superiores forman unha subálxebra da álxebra asociativa das matrices cadradas de certa orde.

Todos estes resultados seguen a cumprise ao substituír triangular superior por triangular inferior. Con todo, as operacións que mesturan superior e triangular inferior as matrices en xeral non producen matrices triangulares. Para o caso, a suma dunha matriz triangular superior e unha triangular inferior pode ser calquera matriz, e o produto tampouco é necesariamente triangular.

Exemplos

Esta matriz

$\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 1\\ 0& 6& 4\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

é triangular superior, e estoutra

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 8& 0\\ 4& 9& 7\end{array}\right]$

é triangular inferior.

Substitución cara adiante e cara atrás

Unha ecuación matricial da forma $L𝐱=𝐛$ ou $U𝐱=𝐛$ é moi fácil de resolver mediante un proceso iterativo chamado substitución cara adiante para matrices triangulares inferiores e análogamente substitución cara atrás para matrices triangulares superiores. O proceso chámase así porque para as matrices triangulares inferiores, primeiro se calcula $x_1$, despois substitímos esa variábel na ecuación "seguinte" para resolver $x_2$, e repítese ata $x_n$. Nunha matriz triangular superior, trabállase cara atrás, primeiro calculando $x_n$, despois substituíndo esa variábel na ecuación anterior para resolver $x_{n-1}$, e repetimos ata $x_1$.

Teña en conta que isto non require a inversión da matriz.

Substitución cara adiante

A ecuación matricial $Lx=b$ pódese escribir como un sistema de ecuacións lineares

$\begin{array}{ccccccccc}{\ell }_{1,1}{x}_1& & & & & & & =& b_1\\ {\ell }_{2,1}{x}_1& +& {\ell }_{2,2}{x}_2& & & & & =& b_2\\ ⋮& & ⋮& & \ddots & & & & ⋮\\ {\ell }_{m,1}{x}_1& +& {\ell }_{m,2}{x}_2& +& \cdots & +& {\ell }_{m,m}{x}_m& =& b_m\end{array}$

Observe que a primeira ecuación (${\ell }_{1,1}{x}_1=b_1$) só implica a $x_1$, polo que se pode resolver directamente para $x_1$. A segunda ecuación só implica $x_1$ e $x_2$, polo que se pode resolver unha vez que se substitúa o valor xa resolvido de $x_1$. Continuando deste xeito, a $k$-ésima ecuación só implica $x_1,\dots ,x_k$, e pódese resolver para $x_k$ usando o resolvido previamente cos valores para $x_1,\dots ,x_{k-1}$. As fórmulas resultantes son:

$\begin{array}{cc}{x}_1& =\frac{b_1}{{\ell }_{1,1}},\\ x_2& =\frac{b_2-{\ell }_{2,1}{x}_1}{{\ell }_{2,2}},\\ & ⋮\\ x_m& =\frac{b_m-\sum _{i=1}^{m-1}{\ell }_{m,i}{x}_i}{{\ell }_{m,m}}.\end{array}$

Unha ecuación matricial cunha matriz triangular superior U pódese resolver dun xeito análogo, só funcionando cara atrás.

Véxase tamén

Outros artigos

• Factorización de Cholesky.
• Descomposición LU.