Teorema do resto

En álxebra, o teorema do resto ou pequeno teorema de BézoutModelo:Sfn é un resultado que provén da división euclidiana de polinomios, que expón que o resto da división dun polinomio $f(x)$ polo polinomio linear $x-r$ é igual a $f(r)$. Deste xeito, pódese enunciar un resultado aínda máis en particular, $x-r$ é un divisor de $f(x)$ se e só se $f(r)=0$,Modelo:Sfn unha propiedade coñecida coma o teorema do factor.

Proba

Malia que é un resultado moi sinxelo, existen diferentes formas de probar a súa veracidade, entre as cales se atopan as seguintes.

Proba 1

O teorema do resto é deducido desde o teorema da división euclidiana, o cal, dados dous polinomios f(x) (o dividendo) e g(x) (o divisor), afirma a existencia e a unicidade dun cociente q(x) e un resto R(x) tal que:

$f(x)=q(x)g(x)+R(x)\text{ e }R(x)=0\text{ ou }\mathrm{deg}(R)<\mathrm{deg}(g)$

Escollendo o divisor como

$g(x)=x-r$

, o resto é

$R=0$

ou o seu grao é cero, mais en ámbolos dous casos,

$R$

é unha constante independente de

$x$

; isto é

$f(x)=q(x)(x-r)+R.$

Avaliando $x=r$ nesta fórmula, obtense:

$f(r)=R.$

Proba 2

Unha proba lixeiramente diferente, que pode semellar máis elemental, comeza coa observación de que

$f(x)-f(r)$

é unha combinación linear dos termos da forma

$x-r$

porque

$x^k-r^k=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +x{r}^{k-2}+r^{k-1})$

. Deste xeito, se

$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$

tense que:

$f(x)-f(r)=a_n(x^n-r^n)+a_{n-1}(x^{n-1}-r^{n-1})+\dots +a_1(x-r)=\sum _{k=1}^n{a}_k(x^k-r^k)$

Tódolos termos da dereita teñen factor común

$(x-r)$

, así que usando a propiedade distributiva:

$\begin{array}{cc}f(x)-f(r)& =(x-r)\sum _{k=1}^n{a}_k(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +x{r}^{k-2}+r^{k-1})\\ f(x)& =(x-r)\sum _{k=1}^n{a}_k(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +x{r}^{k-2}+r^{k-1})+f(r)\end{array}$

E substituíndo

$x=r$

, obtense

$f(r)=R.$

Proba 3

Esta proba baséase na idea de substituír a variábel

$x$

no polinomio inicial

$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0=\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k$

o binomio

$(x-r)+r$

, observando que

$f(x)=f((x-r)+r)$

. Entón, tense que

$\begin{array}{cc}f(x)& =f((x-r)+r)=a_0+\sum _{k=1}^n{a}_k((x-r)+r{)}^k=\\ & =a_0+\sum _{k=1}^n{a}_k(\sum _{i=0}^k(x-r{)}^i{r}^{k-i})=a_0+\sum _{k=1}^n{a}_k(r^k+\sum _{i=1}^k(x-r{)}^i{r}^{k-i})\\ & =a_0+\sum _{k=1}^n{a}_k{r}^k+\sum _{k=1}^n{a}_k(\sum _{i=1}^k(x-r{)}^i{r}^{k-i})=f(r)+\sum _{k=1}^n{a}_k(\sum _{i=1}^k(x-r{)}^i{r}^{k-i})\\ & =f(r)+\sum _{k=1}^n{a}_k(x-r)(\sum _{i=1}^k(x-r{)}^{i-1}{r}^{k-i})=f(r)+(x-r)\sum _{k=1}^n{a}_k(\sum _{j=0}^k(x-r{)}^j{r}^{k-j+1})\\ & =f(r)+(x-r)q(x)\end{array}$

onde o que se fixo foi aplicar a expansión do binomio de Newton, observando que tódolos termos da expansión malia un son divisíbeis por

$(x-r)$

, que é o termo da forma

$r^k$

. Ao xuntar todos estes termos, tense o resto ao dividir por

$(x-r)$

, e ao os sumar, tense que o resto é

$f(r)$

.

Exemplos

Exemplo 1

Sexa o polinomio $f(x)=x^3-12x^2-42$. División polinómica de $f(x)$ por $(x-3)$ ten como resultado o cociente $x^2-9x-27$ e o resto $-123$.

Por outro lado, $f(3)=(3{)}^3-12(3{)}^2-42=-123$, coincidindo co resto antes calculado.

Exemplo 2

Pódese observar que o teorema do resto é satisfeito para polinomios arbitrarios de segundo grado $f(x)=a{x}^2+bx+c$ usando manipulacións alxébricas semellantes ás da terceira proba, pero no caso particular de $n$, podendo ser así máis doada de entender.

$\begin{array}{cc}\frac{f(x)}{x-r}& =\frac{a{x}^2+bx+c}{x-r}\\ & =\frac{a{x}^2-arx+arx+bx+c}{x-r}\\ & =\frac{ax(x-r)+(b+ar)x+c}{x-r}\\ & =ax+\frac{(b+ar)(x-r)+c+r(b+ar)}{x-r}\\ & =ax+b+ar+\frac{c+r(b+ar)}{x-r}\\ & =ax+b+ar+\frac{a{r}^2+br+c}{x-r}\end{array}$

Multiplicando ámbolos dous lados por (x − r) resulta en

$f(x)=a{x}^2+bx+c=(ax+b+ar)(x-r)+a{r}^2+br+c$

Xa que $R=a{r}^2+br+c$ é o resto, demostrouse que $f(r)=R$.

Aplicacións

Ademais da aplicación directa de calcular o resto da división entre o polinomio linear e un polinomio $f(x)$, o teorema do resto ten outras aplicacións.

Teorema do factor

Unha consecuencia directa do teorema do resto provén da seguinte observación: tense un polinomio $f(x)$ e divídese polo polinomio linear $(x-r)$ e o resto é $0$, entón $f(r)=0$. Ademais, se $f(r)=0$, entón a división de $f(x)$ por $(x-r)$ ten o resto nulo. Este resultado é coñecido polo nome é o teorema do factor, que enuncia resumidamente que un polinomio $f(x)$ ten como factor $(x-r)$ se e só se $f(r)=0$, é dicir $r$ é unha raíz.Modelo:Sfn

Dous problemas nos que se emprega a miúdo este teorema son os de factorizar un polinomio e atopar as raíces dunha ecuación polinomial, que como unha consecuencia directa do teorema tense que ámbolos dous problemas son esencialmente equivalentes. Ademais, o teorema do factor tamén se usa para eliminar raíces coñecidas dun polinomio, deixando o resto de raíces sen cambios e producindo así un polinomio de grao inferior cuxas raíces poden ser máis doadas de atopar, facilitando a factorización do polinomio. Os pasos a seguir neste método son os seguintes:Modelo:Sfn

1. "Adiviñar" unha raíz $a$ do polinomio $f(x)$. En xeral, isto pode chegar a ser moi difícil, mais en certos casos pódense descubrir certas raíces. Por exemplo, se o polinomio só ten coeficientes enteiros, o resultado do teorema das raíces racionais sería de axuda.
2. Usar o teorema do factor para concluír que $(x-a)$ é un factor de $f(x)$.
3. Calcular o polinomio $g(x)=f(x)/(x-a)$, por exemplo, usando a regra de Ruffini.
4. Concluír que calquera raíz $x\ne a$ de $f(x)=0$ é raíz de $g(x)=0$. Xa que o grao polinomial de $g$ é un menor que o de $f$, suponse que é máis sinxelo atopar o resto de raíces de $g$.

Exemplo de atopar de raíces

Atopar os factores de

$x^3+7x^2+8x+2.$

Pódese actuar por proba e erro (ou co teorema das raíces racionais) para atopar o primeiro valor x que fai que a expresión sexa igual a cero. Para saber se $(x-1)$ é un factor, substitúese $x=1$ no polinomio anterior:

$\begin{array}{cc}{x}^3+7x^2+8x+2=& (1{)}^3+7(1{)}^2+8(1)+2\\ =& 1+7+8+2\\ =& 18\\ \end{array}$

Isto é igual a 18 e non é $0$ e, polo tanto $x-1$ non é un factor. Así, téntase ver se $x+1$ é factor e para iso, substitúese $x=-1$ no polinomio anterior:

$(-1{)}^3+7(-1{)}^2+8(-1)+2$

Isto é $0$. Por tanto $x-(-1)$, é dicir $x+1$, é un factor, e $-1$ é unha raíz de $x^3+7x^2+8x+2$.

As seguintes dúas raíces pódense atopar dividindo alxebricamente $x^3+7x^2+8x+2$ por $(x+1)$, para obter unha cadrática:

$\frac{x^3+7x^2+8x+2}{x+1}=x^2+6x+2,$

e, por tanto, $(x+1)$ e $x^2+6x+2$ son factores de $x^3+7x^2+8x+2$. Destes, o factor cadrático pode ser aínda factorizado resolvendo unha ecuación de segundo grado, que terá as raíces $-3\pm \sqrt{7}.$ Así, os tres factores irredutíbeis do polinomio orixinal son $x+1,$ $x-(-3+\sqrt{7}),$ e $x-(-3-\sqrt{7}).$

Cálculo de valores dun polinomio

O teorema do resto adóitase empregar para avaliar $f(r)$ calculando o resto $R$. Malia que a división longa de polinomios é máis difícil que avaliar a función, a división sintética é computacionalmente máis doada. A aplicación da división sintética, neste caso usando a regra de Ruffini, e o teorema do resto para avaliar un polinomio é equivalente á aplicación do algoritmo de Horner.

É salientábel que o algoritmo de Horner só precisa n sumas e n produtos cando o grao do polinomio é n, sendo este o número mínimo de operacións de cada tipo que se precisa para avaliar un polinomio. Deste xeito, en canto ao número de operacións, o algoritmo de Horner, e polo tanto o algoritmo equivalente de usar a regra de Ruffini e o teorema do resto, é óptimo. As minimalidades de cada unha das operacións foi demostrada por separado: o número de sumas foi probado por Alexander Ostrowski en 1954, e o número de produtos por Victor Pan en 1966.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita publicación periódica
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita publicación periódica
• Modelo:Cita libro