Triángulo isóscele

Un triángulo isóscele.

En xeometría, un triángulo isóscele é un triángulo que ten polo menos dous lados de igual lonxitude. Máis precisamente, dise que un triángulo ABC é isóscele en A cando as lonxitudes AB e AC son iguais. A é entón o vértice principal do triángulo e [BC] a súa base.

Nun triángulo isósceles, os ángulos adxacentes á base son iguais.

Un triángulo equilátero é un caso particular de triángulo isóscele, que ten os seus tres lados da mesma lonxitude.

Etimoloxía

A palabra "isóscele" provén do grego Modelo:Lang que significa "mesmo" e Modelo:Lang, "pernas" (o debuxo dun triángulo isóscele pode traer á memoria as dúas patas dun debuxo dun "home").

Propiedades

• Os ángulos da base dun triángulo isóscele son iguais. E viceversa, calquera triángulo con dous ángulos iguais é isóscele.
• Nun triángulo isóscele ABC en A, combínanse a mediana, a altura e a mediatriz procedentes de A, así como a mediatriz da base [BC]. Esta liña é tamén un eixe de simetría do triángulo (e o único, a non ser que o triángulo sexa equilátero).
• O centro da círcunferencia circunscrita dun triángulo agudo descompono en tres triángulos isóscele. O dun triángulo rectángulo (que é o punto medio da hipotenusa) descompono en dous triángulos isósceles.

Fórmulas

Nun triángulo isóscele, se denotamos $a$ a lonxitude dos dous lados iguais e $b$ a lonxitude da base, daquela:

• a lonxitude da altura vén dada pola fórmula : $h=\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}$ .
• a área do triángulo é $𝒜=\frac{b}{2}\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$ .
• o perímetro do triángulo é $p=2a+b$ .

Casos particulares

• Dous triángulos planos poden considerarse isósceles cun ángulo principal de 0° ou 180°.
• O triángulo equilátero é un triángulo isóscele en cada un dos seus vértices, con ángulos de 60°.
• O triángulo rectángulo isósceles tamén se denomina medio cadrado cun ángulo principal de 90°.
• O triángulo áureo (a lonxitude do lado duplicado está na proporción do número áureo en relación á lonxitude do lado distinto), cun ángulo principal de 36° e o gnomon áureo (cun ángulo principal de 108°) aparecen na construción do pentágono regular e nos mosaicos de Penrose.
• O triángulo isóscele cun ángulo principal de 120° está asociado ao mosaico triakis, dobre do mosaico hexagonal truncado.

Caracterización polas lonxitudes de dúas medianas, dúas alturas ou dúas mediatrices

Un triángulo é isóscele se e só se ten dúas medianas (segmentos) ou dúas alturas (segmentos) ou dúas mediatrices (segmentos) da mesma lonxitude.

Os sentidos directos son obvios, e os recíprocos pódense demostrar mediante as expresións das lonxitudes das cevianas dadas polo teorema de Stewart.

Para a igualdade dos segmentos procedentes de A e B, obtemos, coas notacións clásicas do triángulo :

• $\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}$ pola igualdade das medianas
• $\frac{2}{b}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{2}{c}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ pola igualdade das alturas
• $\frac{4ac(p-b)p}{(a+c{)}^2}=\frac{4ab(p-c)p}{(a+b{)}^2}$ pola igualdade das mediatrices

que dan en cada caso $b=c$ .

Tamén atoparemos en Modelo:Cita Harvard sen parénteses , unha demostración xeométrica para as bisectrices.

Figuras en tres dimensións

Modelo:Multiple image Cinco sólidos de Catalan (triaquistetraedro, triaquisoctaedro, tetraquishexaedro, pentaquisdodecaedro e triaquisicosaedro), teñen caras que son triángulos isósceles.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Triángulo equilátero
• Triángulo rectángulo

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld.

Modelo:Control de autoridades