Ver o código fonte de «Vector»

{{1000 artigos icona título|materia=Matemáticas}}
{{Outroshomónimos|Vector (homónimos)}}
[[Ficheiro:3D Vector.svg|dereita|250px]]
Un '''vector ''' en [[física]] e mais no [[cálculo vectorial]] é un concepto caracterizado por un valor, é dicir, un escalar (magnitude numérica), e por un sentido (que pode ser definido nun espazo 3-dimensional, ou en xeral p-dimensional). Os vectores utilízanse para describir [[Magnitude física|magnitudes]] vectoriais tales como [[velocidade]]s, [[aceleración]]s ou [[forza]]s, nas cales é importante considerar non só o valor senón tamén a dirección e máis o sentido.

Aínda que frecuentemente se describa a un vector por un número de "compoñentes", cada un deles dependente do [[sistema de coordenadas]] particular que se use, as propiedades dun vector non dependen do sistema de coordenadas usado para o describir.

Un exemplo común dun vector é a [[forza]]. Ten un valor e unha orientación en tres [[dimensión]]s (a diferenza de moitas dimensións espaciais, que teñen dúas), e a suma múltipla das forzas de acordo coa lei do paralelogramo.

En [[matemáticas]], un '''vector''' é un elemento dunha estrutura alxébrica chamada [[espazo vectorial]], que esencialmente é un conxunto de elementos cun conxunto de [[axioma]]s que debe satisfacer cada un deles.

Matematicamente un vector pode ser tamén un conxunto de elementos ordenados entre si mais, a diferenza dun conxunto normal como o dos números naturais, neste caso o conxunto está ordenado.

Represéntase por un segmento orientado para denotar o seu sentido (o da frecha), a súa magnitude (a lonxitude da frecha) e mais o punto de onde parte. Para este tipo de vectores (xeralmente bi ou tridimensionais) defínense '''[[módulo (vector)|módulo]]''', '''dirección''' e '''sentido'''.

== Notación ==
[[Ficheiro:Vector1.png|miniatura|250px|Compoñentes dun vector nun sistema tridimensional.]]
Os eixos do sistema de coordenadas descríbense xeralmente empregando as letras x, y e z, xeramente o eixo z representa o perpendicular ao plano. Os vectores pódense representar con letras, cunha frecha enriba (<math>\vec{a}</math>), ou simplemente en letra grosa (<math>\mathbf{a}</math>). As coordenadas ou compoñentes dun vector nun [[sistema de referencia]] poden escribirse entre parénteses e separadas con comas:
{{ecuación|
<math> \vec{a} = (a_1, a_2, a_3, ..., a_n) </math>.
||left}}

No espazo vectorial de tres dimensións empréganse tres compoñentes:

{{ecuación|
<math> \vec{a} = (a_x, a_y, a_z) </math>.
||left}}

Outro xeito típico de anotar un vector nas tres dimensións é definilo como a combinación dos vectores unitarios cartesianos i, j e k:

{{ecuación|<math> \vec{a} = a_x \, \vec{i}+ a_y \, \vec{j} + a_z \, \vec{k} </math>||left}}

=== {{Áncora|Compoñentes dun vector|Compoñentes dun vector}} Compoñentes dun vector===
{{Ver tamén|Base (álxebra linear)}}
Como se comentou anteriormente, un vector descríbese a miúdo por un conxunto de compoñentes vectoriais que suman para formar o vector dado. Normalmente, estes compoñentes son as [[Proxección vectorial|proxeccións]] do vector nun conxunto de eixos de referencia mutuamente perpendiculares (vectores base). Dise que o vector pode ''descompoñerse'' en relación a eses vectores base.

[[Image:Surface normal tangent.svg|right|thumb|Ilustración das compoñentes tanxencial e normal dun vector a unha superficie.]]

A descomposición<ref>[[Josiah Willard Gibbs|Gibbs, J.W.]] (1901). ''Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, Founded upon the Lectures of J. Willard Gibbs'', by E.B. Wilson, Chares Scribner's Sons, New York, p. 15</ref> dun vector en compoñentes non é único, porque depende da escolla dos eixos sobre os que se proxecta o vector.

Alén diso, non é obrigatorio o uso de vectores unitarios cartesianos como <math>\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}}</math> como [[Base (álxebra linear)|base]] no que representar un vector. Os vectores tamén se poden expresar en termos de outra base arbitraria, incluíndo os vectores unitarios dun [[sistema de coordenadas cilíndrico]] (<math>\boldsymbol{\hat{\rho}}, \boldsymbol{\hat{\phi}}, \mathbf{\hat{z}}</math>) ou un sistema de coordenadas esféricas (<math>\mathbf{\hat{r}}, \boldsymbol{\hat{\theta}}, \boldsymbol{\hat{\phi}}</math>). As dúas últimas opcións son máis convenientes para resolver problemas que posúen simetría cilíndrica ou esférica, respectivamente.

A escolla dunha base non afecta ás propiedades dun vector nin ao seu comportamento baixo transformacións.

Un vector tamén se pode dividir en relación a vectores de base "non fixos" que mudan a súa [[orientación (xeometría)|orientación]] en función do tempo ou do espazo. Por exemplo, un vector no espazo tridimensional pódese descompoñer en relación a dous eixos, respectivamente ''normal'' e ''tanxente'' a unha superficie (ver figura). 

Outra descomposición pode ser nunha compoñente ''radial'' e outra ''[[compoñente tanxencial]]'' que están relacionadas co ''[[raio (xeometría)|raio]] de [[rotación]]'' dun obxecto. A primeira é [[Paralelismo (xeometría)|paralela]] ao raio e a segunda é [[Perpendicular|ortogonal]] a el.<ref>{{Cite web |url=http://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/torque/Q.torque.intro.angacc.html |title=U. Departamento de Física de Guelph, "Torque and Angular Acceleration" |access-date=2007-01-05 |archive-date=2007-01-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20070122155954/http://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/torque/Q.torque.intro.angacc.html  }}</ref>

Nestes casos, cada un dos compoñentes pode descompoñerse á súa vez en relación a un sistema de coordenadas fixo ou conxunto de bases (por exemplo, un sistema de coordenadas ''global'' ou [[sistema de referencia inercial]]).

=== Exemplo 1 ===
Nun plano, usualmente, temos a base cos vectores unitarios do eixo {{Mvar|x}}, <math>\vec{x} = (1, 0)</math>, e do eixo {{Mvar|y}}, <math>\vec{y} = (0, 1)</math>.

O vector <math>\vec{v} = (4, 3)</math> pódese descompoñer como 
<math>\vec{v} = 4\vec{x} + 3\vec{y}</math>.

=== Exemplo 2 ===
Sexa <math>P_3</math> o espazo de todos os [[polinomios]] alxébricos de grao como máixmo 3 (isto é, o expoñente máis alto de ''x'' só pode ser 3). este espazo é linear e xerado polos seguintes polinomios:
:<math>B_P = \left\{  1,  x,  x^2,  x^3 \right\}</math>

que forman a seguinte base
:<math>
    1 := \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} ; \quad
    x := \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} ; \quad
  x^2 := \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} ; \quad
  x^3 := \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
</math>

así o vector de coordenadas correspondente ao polinomio sería
:<math>p \left( x \right) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3</math>

como vector columna
:<math>\begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}.</math>

Segundo esa representación, o [[derivada|operador de diferenciación]] ''d''/''dx'' que denotamos como ''D'' estará representado pola seguinte [[matriz (matemáticas)|matriz]]:
:<math>Dp(x) = P'(x) ; \quad [D] = 
  \begin{bmatrix}
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 2 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 3 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
  \end{bmatrix} 
</math>

Usando ese método é fácil explorar as propiedades do operador, como: [[matriz invertíbel|invertibilidade]], [[hermitiano|hermitiano ou anti-hermitiano ou ningún dos dous]], espectro e [[eigenvalor|eigenvalores]], etc.

== Propiedades ==

Un vector ten as seguintes propiedades:

- '''Punto de aplicación''', é a orixe do vector.

- '''Módulo''', expresa o valor numérico da magnitude vectorial. Represéntase pola lonxitude do segmento, sempre en valor absoluto. Por exemplo, se se quere expresar que o módulo de <math>\vec{a}</math> vale 5 unidades, faise así: <math>|\vec{a}|=5u</math>. Expresado con fórmulas, dado un vector <math>\vec{a}</math> de coordenadas <math> (a_x, a_y, a_z) </math> o seu módulo é <math>|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}</math>.

- '''Dirección''', que é a da recta soporte, que se expresa matematicamente cunha ecuación de [[recta]], que se lle chama ''liña de acción''.

- '''Sentido''', distinguíndose dous sentidos sobre a recta de aplicación do vector, graficamente, a punta da frechiña.

=== Clasificación dos vectores ===
:Segundo o seu punto de aplicación:

- '''Vector fixo''', que ten un punto de aplicación definitorio, do que non se despraza.

- '''Vectores deslizantes''', o seu punto de aplicación pode estar en calquera punto dunha recta soporte definida.

- '''Vector libre''', non ten relevancia o seu punto de aplicación.

:Outros vectores significantes:

- '''[[Vector unitario]]''', un vector cuxo módulo é unha unidade, que se calcula:
<math>\vec{u_a} = \frac{(a_x , a_y , a_z)}{|\vec{a}|}</math>. Os vectores unitarios correspondentes a (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) denomínanse <math>\hat{\imath}</math>, <math>\hat{\jmath}</math> e <math>\hat{k}</math>, sendo <math> \hat{\imath} </math> o vector unitario do eixe do x, <math> \hat{\jmath} </math> o vector unitario do eixo y, e <math> \hat{k} </math> o do z.

- '''Vector oposto''' a outro é o que ten o mesmo punto de aplicación, módulo e dirección mais sentido contrario. Así o vector oposto a <math>\vec{a}</math> é <math>-\vec{a}</math>.

- '''Vectores equipolentes''', vectores con igual módulo e sentido, e rectas soporte paralelas e, entón, tamén distintos puntos de aplicación.

- '''Vectores paralelos''', que teñen coordenadas proporcionais entre si (equipolentes con distinto módulo, por exemplo).

- '''Vectores concorrentes''', cando teñen o mesmo punto de aplicación, no caso de vectores fixos, ou cando simplemente teñen un punto en común (punto de concorrencia).

- '''Vectores coplanares''', todos os vectores están contidos no mesmo [[plano]].

- '''Vectores colineares''', que comparten unha mesma recta de acción

== Suma e resta de vectores ==
[[Ficheiro:Vector addition.svg|miniatura|250px|Suma de vectores]]
[[Ficheiro:Vector subtraction.svg|miniatura|250px|Resta de vectores]]

=== Método gráfico ===
A suma e resta de vectores ten en conta, ademais da magnitude escalar ou módulo, o sentido das magnitudes intervenientes. Nas figuras achegadas nesta páxina esquematízase o método gráfico para buscar o resultado.

==== Método do paralelogramo ====
Consiste en pór graficamente os dous vectores de xeito que as respectivas orixes coincidan nun punto, completando o resto do paralelogramo por paralelas. O resultado da suma é a diagonal de dito paralelogramo.

==== Método do triángulo ====
Consiste en poñer graficamente un vector a continuación doutro, facendo coincidir o extremo inicial dun vector co extremo final do outro vector. O vector suma resultante forma un triángulo canda estes dous vectores, que corresponde ao lado oposto ao vértice dos vectores colocados correctamente, ou dito doutro xeito, vai dende a orixe dun vector até a fin do outro ('''a''' e '''b''' respectivamente no debuxo adxacente)

=== Método analítico ===
* A suma
Con dous vectores de coordenadas,

: <math> \vec{a} = (a_x , a_y , a_z) </math>

: <math> \vec{b} = (b_x , b_y , b_z ) </math>

o resultado da suma é:
: <math>
   \vec{a}+ \vec{b} =
   [(a_x + b_x) , (a_y + b_y) , (a_z + b_z)] 
</math>

* A resta
Para restar dous vectores libres <math> \vec{a} </math> e <math> \vec{b} </math> súmase <math> \vec{a} </math> co oposto de <math> \vec{b} </math>:
: <math>
   \vec{a} - \vec{b} =
   \vec{a} + ( - \vec{b})
</math>

O resultado da resta é:
: <math>
   \vec{a} - \vec{b} =
   [(a_x - b_x) , (a_y - b_y) , (a_z - b_z)]
</math>

==== Módulo resultante ====
Dados dous vectores <math>\vec{a}</math> e <math>\vec{b}</math>, de módulos coñecidos e que forman o ángulo <math>\theta</math> entre si, pódese obter o módulo <math>\left|\vec{a}+\vec{b}\right|</math> coa seguinte fórmula:

<math>\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} \right|^2 + \left| \vec{b}
\right|^2 + 2| \vec{a} | \left| \vec{b} \right| \cos \theta }</math>

===== Dedución da expresión =====

Sexan dous vectores <math>\vec{a}</math> e <math>\vec{b}</math> que forman un ángulo <math>\theta</math> entre
si:

[[Ficheiro:Sumavectores.png|centro|Imaxe de vectores colocados]]

A fórmula para calcular <math>\left| \vec{a} + \vec{b} \right|</math> dedúcese observando os triángulos rectángulos que se forman, OCB e ACB, e aplicando o [[Teorema de Pitágoras]]. No triángulo OCB:

<math>OB^2 = OC^2 + CB^2</math>

<math>OB = | \vec{a} + \vec{b} |</math>

<math>OC = \left| \vec{a} \left| + AC \right. \right.</math>

Resultando:

<math>\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left( | \vec{a} | + AC \right)^2
+ CB^2</math>

No triángulo ACB :

<math>\frac{AC}{| \vec{b} |} = \cos \theta</math>

<math>AC = | \vec{b} | \cos \theta </math>

<math>\frac{CB}{| \vec{b} |} = sen \theta</math>

<math>CB = | \vec{b} | sen \theta</math>

Substituíndo isto na igualdade de antes resulta:

<math>\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left( | \vec{a} | + | \vec{b} | \cos
\theta \right)^2 + \left( \left| \vec{b} | sen \theta \right)^2 \right.</math>

<math>\left. \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | |
\vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2 \cos^2 \theta + \left|
\vec{b} \right|^2 sen^2 \theta</math>

<math>\left. \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | |
\vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2 \left( \cos^2 \theta +
sen^2 \theta \right)</math>

<math>\left. \cos^2 \theta + sen^2 \theta = 1 \rightarrow \left| \vec{a} +
\vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta
+ \left| \vec{b} \right|^2</math>

<math>\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | |
\vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2}</math>

<math>\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} |^2 + \left| \vec{b}
\right|^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta}</math>

===== Obtención da Dirección =====
Para obter os ángulos <math>\alpha, \beta</math> directores no anterior exemplo temos que coñecer o ángulo <math>\theta</math> e ter calculado <math>\left|\vec{a}+\vec{b}\right|</math> .

Podemos usar esta fórmula:

<math>\frac{|\vec{b}|}{sen \alpha }=\frac{|\vec{a}|}{sen \beta }=\frac{\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}{sen \theta }</math>

Coa fórmula obteremos os seos, despois para achar o ángulo a partir do seo temos que ter en conta que:

<math>\alpha + \beta = \theta</math>

== Produto dun vector por un escalar ==
[[Ficheiro:Scalar multiplication of vectors.svg|miniatura|250px|Produto por un escalar]]
O produto dun vector cun escalar é outro vector que conserva a dirección orixinal, o seu módulo é o produto do escalar polo módulo do vector e o sentido é o mesmo ou oposto segundo o escalar sexa positivo ou negativo respectivamente.

Graficamente sería poñer, sobre a mesma [[recta]] da dirección, o módulo tantas veces como marque o escalar, e de ser negativo, viralo sentido do vector (mire o debuxo).

Analiticamente, un número <math> n \,</math> e un vector <math>\vec a</math>, o produto <math> n \, \vec a</math> realízase multiplicando cada unha das compoñentes do vector polo escalar. Dado o vector de tres compoñente

:<math> \vec a = ( a_x , a_y , a_z )</math>

o seu produto polo escalar é

:<math> n \, \mathbf{a} = ( na_x, na_y, na_z )</math>

é dicir, multiplícase por <math>n \,</math> cada unha das compoñentes do vector.

== Ángulo entre dous vectores ==
Dados os vectores <math> \vec{a} = (a_x , a_y , a_z) </math> e <math> \vec{b} = (b_x , b_y , b_z ) </math>, o ángulo <math> \theta </math> calcúlase polo seu [[coseno]]:

: <math> cos \theta = \frac{a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z}{|\vec{a}||\vec{b}|} </math>

Isto deriva do produto escalar.

== Produto escalar ==
* {{Artigo principal|Produto escalar}}

[[Ficheiro:Dot Product.svg|miniatura|300px|dereita|'''A''' • '''B''' = <nowiki>|</nowiki>'''A'''<nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki>'''B'''<nowiki>|</nowiki> cos(θ). <br /><nowiki>|</nowiki>'''A'''<nowiki>|</nowiki> cos(θ) é a proxección escalar de '''A''' sobre '''B'''.]]

{{Ecuación|<math>
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=
|\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos \theta =
A \,B \,\cos \theta
</math>||}}

== Produto vectorial ==
{{Artigo principal|Produto vectorial}}

{{Ecuación|<math>
|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|=
|\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \sin \theta =
A \,B \,\sin \theta
</math>||}}

== Véxase tamén ==
=== Outros artigos ===
* [[Escalar]]
* [[Espazo vectorial]]
* [[Cálculo vectorial]]

=== Ligazóns externas ===
* [https://web.archive.org/web/20051001062338/http://www.frontiernet.net/~imaging/vector_calculator.html Xoga con vectores]
* [http://www.vitutor.com/geo/vec/a_6.html Suma e resta de vectores] {{es}}

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Física]]
[[Categoría:Matemáticas]]