Ver o código fonte de «Terna pitagórica»


[[Ficheiro:Pythagorean_theorem_-_Ani.gif|miniatura| Animación que demostra a terna pitagórica máis pequena, {{Math|1=3{{sup|2}} + 4{{sup|2}} = 5{{sup|2}}}} .]]
Unha '''terna pitagórica''' consta de tres [[Número natural|números enteiros positivos]] {{Math|''a''}}, {{Math|''b''}} e {{Math|''c''}}, de tal forma que {{Math|1=''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} = ''c''{{sup|2}}}}. Tal terna escríbese habitualmente {{Math|(''a'', ''b'', ''c'')}}, un exemplo coñecido é {{Math|(3, 4, 5)}}. Se {{Math|(''a'', ''b'', ''c'')}} é unha terna pitagórica, entón tamén o é {{Math|(''ka'', ''kb'', ''kc'')}} para calquera número enteiro positivo {{Math|''k''}}. Un triángulo cuxos lados son unha terna pitagórica é un [[triángulo rectángulo]] e chámase '''triángulo pitagórico'''.

Unha '''terna pitagórica primitiva''' é aquela na que {{Math|''a''}}, {{Math|''b''}} e {{Math|''c''}} son [[Números primos entre si|coprimos]] (é dicir, non teñen un divisor común maior que 1).<ref>{{Harvtxt|Long|1972}}</ref> Por exemplo, {{Math|(3, 4, 5)}} é unha terna pitagórica primitiva mentres que {{Math|(6, 8, 10)}} non o é. 

Procurar solucións enteiras da [[ecuación]] {{Math|1=''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} = ''c''{{sup|2}}}} é unha [[ecuación diofantiana]]. Así, as ternas pitagóricas están entre as solucións máis antigas coñecidas dunha ecuación diofantiana [[Ecuación linear|non linear]].

== Exemplos ==
Hai 16 ternas pitagóricas primitivas de números por debaixo de 100:
{| cellpadding="0" cellspacing="0" style="margin:auto;"
| style="padding:0 1em" |(3, 4, 5)
| style="padding:0 1em" | (5, 12, 13)
| style="padding:0 1em" | (8, 15, 17)
| style="padding:0 1em" | (7, 24, 25)
|- style="text-align:right;"
| style="padding:0 1em" | (20, 21, 29)
| style="padding:0 1em" | (12, 35, 37)
| style="padding:0 1em" | (9, 40, 41)
| style="padding:0 1em" | (28, 45, 53)
|- style="text-align:right;"
| style="padding:0 1em" | (11, 60, 61)
| style="padding:0 1em" | (16, 63, 65)
| style="padding:0 1em" | (33, 56, 65)
| style="padding:0 1em" | (48, 55, 73)
|- style="text-align:right;"
| style="padding:0 1em" | (13, 84, 85)
| style="padding:0 1em" | (36, 77, 85)
| style="padding:0 1em" | (39, 80, 89)
| style="padding:0 1em" | (65, 72, 97)
|}

== Xerando unha terna ==
{{ap|Fórmulas para xerar ternas pitagóricas}}
[[Ficheiro:Pythagorean_Triples_from_Grapher.png|miniatura|300x300px| Unha gráfica de ternas xerada pola fórmula de Euclides traza parte do cono {{Math|1=''z''{{sup|2}} = ''x''{{sup|2}} + ''y''{{sup|2}}}} . Unha constante {{Math|''m''}} ou {{Math|''n''}} traza parte dunha [[Sección cónica|parábola]] no cono.]]
A '''fórmula de Euclides''' é unha fórmula fundamental para xerar ternas pitagóricas dado un par arbitrario de números enteiros {{Math|''m''}} e {{Math|''n''}} con {{Math|''m'' > ''n'' > 0}}. A fórmula indica que os números enteiros

: <math> a = m^2 - n^2 ,\ \, b = 2mn ,\ \, c = m^2 + n^2 </math>

forman unha terna pitagórica. Por exemplo, dado

: <math> m = 9 ,\ \, n = 2 </math>

xera a terna primitiva (36,77,85):

: <math> b = 9^2 - 2^2 = 77 ,\ \, a = 2 \times 9 \times 2 = 36 ,\ \, c = 9^2 + 2^2 = 85. </math>

A terna xerada pola fórmula de [[Euclides]] é primitiva se e só se {{Math|''m''}} e {{Math|''n''}} son [[Números primos entre si|coprimos]] e exactamente un deles é par.<ref>{{cita libro |first=Douglas W. |last=Mitchell |title=An Alternative Characterisation of All Primitive Pythagorean Triples |journal=The Mathematical Gazette |volume=85 |issue=503 |pages=273–5 |date=July 2001 |jstor=3622017 |doi=10.2307/3622017 }}</ref>

Malia xerar todas as ternas primitivas, a fórmula de Euclides non produce todas as ternas; por exemplo, (9, 12, 15) non se pode xerar usando os números enteiros {{Math|''m''}} e {{Math|''n''}}.  Pódense conseguir todas incluíndo un parámetro:

: <math> a = k\cdot(m^2 - n^2)  ,\ \, b = k\cdot(2mn) ,\ \, c = k\cdot(m^2 + n^2)</math>

Escoller {{Math|''m''}} e {{Math|''n''}} entre certas secuencias enteiras dá resultados interesantes. Por exemplo, se {{Math|''m''}} e {{Math|''n''}} son [[Número de Pell|números de Pell]] consecutivos, {{Math|''a''}} e {{Math|''b''}} diferirán en 1. 

: <math>x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\quad y=\frac{2t}{1+t^2}.</math>

: <math>
P = \left(
 \frac{2\left(\frac{m}{n}\right)}{\left(\frac{m}{n}\right)^2+1},
 \frac{\left(\frac{m}{n}\right)^2-1}{\left(\frac{m}{n}\right)^2+1}
\right) =
\left(
 \frac{2mn}{m^2+n^2},
 \frac{m^2-n^2}{m^2+n^2}
\right).</math>

== Propiedades elementais das ternas pitagóricas primitivas ==
As propiedades dunha terna pitagórica primitiva {{Math|(''a'', ''b'', ''c'')}} con {{Math|''a'' < ''b'' < ''c''}} (sen especificar cal de {{Math|''a''}} ou {{Math|''b''}} é par e cal é impar) inclúen:

* <math>\tfrac{(c-a)(c-b)}{2}</math> é  sempre un cadrado perfecto.<ref>{{Cita libro|title=The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty|first=Alfred S.|last=Posamentier|author-link=Alfred S. Posamentier|publisher=Prometheus Books|year=2010|isbn=9781616141813|page=[https://archive.org/details/pythagoreantheor0000posa/page/156 156]|url=https://archive.org/details/pythagoreantheor0000posa/page/156}}.</ref> 

* Como moito un entre {{Math|''a''}}, {{Math|''b''}} e {{Math|''c''}} é un cadrado.<ref>Para a non existencia de solucións cando {{Math|''a''}} and {{Math|''b''}} son ambos os dous cadrados, orixinalmente probado por Fermat, ver {{cita libro|title=Elementary Number Theory with Applications|first=Thomas|last=Koshy|publisher=Academic Press|year=2002|isbn=9780124211711|page=545|url=https://books.google.com/books?id=-9pg-4Pa19IC&pg=PA545}}. </ref>
* A area dun triángulo pitagórico non pode ser un cadrado nen dúas veces un cadrado dun enteiro<ref name="Carmichael1">{{cita libro|last=Carmichael|first=Robert D.|author-link=Robert Daniel Carmichael|publisher=John Wiley & Sons|title=Diophantine Analysis|url=https://archive.org/details/diophantineanaly00carm|year=1915}}</ref>{{Rp|p. 17}}  <ref name="Carmichael1"/>{{Rp|p. 21}}.
* Exactamente un de {{Math|''a''}} ou {{Math|''b''}} é [[Divisor|divisible]] por 2 (é par), e a hipotenusa {{Math|''c''}} é sempre impar.<ref name="Sierpinski"></ref>
* Exactamente un de {{Math|''a''}} ou {{Math|''b''}} é divisible por 3, mais nunca {{Math|''c''}}.<ref>{{cita libro|title=Proceedings of the Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing, Volume 20|publisher=Utilitas Mathematica Pub|year=1990|isbn=9780919628700|page=141|url=https://books.google.com/books?id=G3U_AQAAIAAJ}}</ref><ref name="Sierpinski">{{cita libro|author-link=Waclaw Sierpinski|first=Wacław|last=Sierpiński|title=Pythagorean Triangles|year=2003|publisher=Dover|isbn=978-0-486-43278-6}}</ref>{{Rp|23–25}}
* Exactamente un de {{Math|''a''}} ou {{Math|''b''}} é divisible por 4, mais nunca {{Math|''c''}}.<ref name="Sierpinski"></ref>
* Exactamente un de {{Math|''a''}}, {{Math|''b''}} ou {{Math|''c''}} é divisible por 5.<ref name="Sierpinski" />
* Calquera número impar da forma {{Math|2''m''+1}}, onde {{Math|''m''}} é un número enteiro e {{Math|''m''>1}} , pode ser a pata impar dunha terna pitagórica primitiva. Porén, só os números pares divisibles por 4 poden ser o cateto par dunha terna pitagórica primitiva. Isto débese a que a fórmula de Euclides para o cateto par dada enriba é {{Math|2''mn''}} e unha de entre {{Math|''m''}} ou {{Math|''n''}} debe ser igual.
* A hipotenusa {{Math|''c''}} (que é sempre impar) é a suma de dous cadrados. Isto require que os seus factores sexan todos da forma <math>4k+1</math>. Por tanto, c é da forma {{Math|4''k'' + 1}}. A secuencia de números posibles da hipotenusa pode verse en {{OEIS|id=A008846|}}.
* A área {{Math|1=(''K'' = ''ab''/2)}} é un número divisible por 6.

* Non hai triángulos pitagóricos nos que a hipotenusa e un cateto sexan catetos doutro triángulo pitagórico; esta é unha das formas equivalentes do teorema do triángulo rectángulo de Fermat.<ref name="Carmichael1"></ref>{{Rp|p.14}}
* Cada triángulo pitagórico primitivo ten unha proporción de área, {{Math|''K''}}, a semiperímetro cadrado, {{Math|''s''}}, que é única para si e vén dada por<ref>{{cita libro |last1=Rosenberg |first1=Steven |last2=Spillane |first2=Michael |last3=Wulf |first3=Daniel B. |title=Heron triangles and moduli spaces |journal=Mathematics Teacher |volume=101 |pages=656–663 |date=May 2008 |doi=10.5951/MT.101.9.0656 |url=http://www.nctm.org/publications/article.aspx?id=19484}}</ref>
:: <math>\frac{K}{s^2} = \frac{n(m-n)}{m(m+n)} = 1-\frac{c}{s}.</math>
* Ningún triángulo pitagórico primitivo ten unha altitude enteira a partir da hipotenusa. <ref name=Yiu>{{cita libro |first=Paul |last=Yiu |title=Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles |url=http://math.fau.edu/yiu/Southern080216.pdf |year=2008 |publisher=41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America |page=17 |data-acceso=20 de abril de 2024 |data-arquivo=02 de maio de 2013 |url-arquivo=https://web.archive.org/web/20130502124013/http://math.fau.edu/Yiu/Southern080216.pdf |url-morta=yes }}</ref>
*Ningún dos [[ángulo|ángulos agudos]] dun triángulo pitagórico pode ser un [[número racional]] en graos<ref>{{mathworld|title=Rational Triangle|id=RationalTriangle|mode=cs2}}</ref>,(isto ven dado polo [[teorema de Niven]].)

== Xeometría da fórmula de Euclides ==

=== Puntos racionais na circunferencia unitaria ===
[[Ficheiro:Pythagorean_triple_and_rational_point_on_unit_triangle_1.svg|dereita|miniatura| 3,4,5 mapea no punto x,y (4/5,3/5) na círcunferencia unitaria]]
A fórmula de Euclides para unha terna pitagórica 
:<math>a = m^2-n^2,\quad b=2mn,\quad c=m^2+n^2</math>
pódese entender en termos da xeometría dos puntos racionais na [[Circunferencia goniométrica|círcunferencia unitaria]] {{Cita Harvard|Trautman|1998}}.

De feito, un punto do [[plano cartesiano]] con coordenadas {{math|(''x'', ''y'')}} pertence á circunferencia unitaria se {{math|''x''{{sup|2}} + ''y''{{sup|2}} {{=}} 1}}. O punto é ''racional'' se {{math|''x''}} e {{math|''y''}} son [[números racionais]], é dicir, se hai [[coprimo|coprimos enteiros]] {{math|''a'', ''b'', ''c''}} tal que
:<math>\biggl(\frac{a}{c}\biggr)^2 + \biggl(\frac{b}{c}\biggr)^2=1.</math>

Ao multiplicar os dous membros por {{math|''c''{{sup|2}}}}, pódese ver que os puntos racionais da circunferencia están en correspondencia un a un coas ternas pitagóricas primitivas.

O circunferencia unitaria tamén se pode definir mediante unha [[ecuación paramétrica]]
:<math>x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\quad y=\frac{2t}{1+t^2}.</math>
A fórmula de Euclides para as ternas pitagóricas e a relación inversa {{math|1=''t'' = ''y'' / (''x'' + 1)}} significan que, agás para {{math|(−1 , 0)}}, un punto {{math|(''x'', ''y'')}} na circunferencia é racional se e só se o valor correspondente de {{math|''t''}} é un número racional. Teña en conta que {{math|1=''t'' = ''y'' / (''x'' + 1) = ''b'' / (''a'' + ''c'') = ''n'' / ''m''}} tamén é a [[tanxente de ángulo metade|tanxente da metade do ángulo]] que está oposto ao lado do triángulo de lonxitude {{mvar|b}}.

=== Aproximación estereográfica ===
[[Ficheiro:Stereoprojzero.svg|dereita|miniatura| Proxección estereográfica da circunferencia unitaria sobre o eixo {{Math|''x''}}. Dado un punto {{Math|''P''}} na circunferencia unitaria, traza unha recta dende {{Math|''P''}} ata o punto {{Math|''N'' {{=}} (0, 1)}} (''polo norte''). O punto {{Math|''P''}}′ onde a recta corta co eixo {{Math|''x''}} é a proxección estereográfica de {{Math|''P''}}. Inversamente, comezando cun punto {{Math|''P''}}′ no eixo {{Math|''x''}}, e trazando unha liña de {{Math|''P''}}′ a {{Math|''N''}}, a proxección estereográfica inversa é o punto {{Math|''P''}} onde a recta corta a circunferencia unitaria.]]
Hai unha correspondencia entre os puntos da circunferencia unitaria con coordenadas racionais e as ternas pitagóricas primitivas. Neste punto, as fórmulas de Euclides pódense derivar mediante métodos de [[trigonometría]] ou de forma equivalente usando a [[proxección estereográfica]].

Para o enfoque estereográfico, supoña que {{Math|''P''}}′ é un punto no eixo {{Math|''x''}} con coordenadas racionais

<math>P' = \left(\frac{m}{n},0\right).</math>

Daquela, pódese demostrar mediante álxebra básica que o punto {{Math|''P''}} ten coordenadas

: <math>\left(\frac{x}{1-y},0\right)</math>

que é racional.

En termos de [[xeometría alxébrica]], a [[variedade alxébrica]] de puntos racionais na circunferencia unitaria é [[biracional]] á [[espazo afín|recta afín]] sobre os números racionais. A circunferencia unitaria chámase así unha [[curva racional]], e é este feito o que permite unha parametrización explícita dos puntos (número racional) sobre ela por medio de funcións racionais.

== Espinors e o grupo modular ==
As ternas pitagóricas tamén se poden codificar nunha [[matriz cadrada]] da forma

: <math>X = \begin{bmatrix}
c+b & a\\
a & c-b
\end{bmatrix}.
</math>

Unha matriz desta forma é [[Matriz simétrica|simétrica]] con [[Determinante (matemáticas)|determinante]] 

: <math>\det X = c^2 - a^2 - b^2\,</math>

que é cero precisamente cando {{Math|(''a'',''b'',''c'')}} é unha terna pitagórica. Se {{Math|''X''}} corresponde a unha terna pitagórica, entón como matriz debe ter [[Rango dunha matriz|rango]] 1.

Dado que {{Math|''X''}} é simétrico, dun resultado en [[Álxebra lineal|álxebra linear]] dedúcese que hai un vector columna {{Math|''ξ'' {{=}} [''m'' ''n'']<sup>T</sup>}} tal que o [[produto vectorial|produto externo]]{{Bloque numerado|:|<math>X = 2\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}[m\ n] = 2\xi\xi^T\,</math>|{{EquationRef|1}}}}cúmprese. Dado que ξ e -ξ producen a mesma terna pitagórica, o vector ξ pódese considerar un [[Spinor|espinor]] (para o [[Grupo Lorentz|grupo de Lorentz]] SO(1, 2)). En termos abstractos, a fórmula de Euclides significa que cada terna pitagórica primitiva pode escribirse como o produto exterior consigo mesmo dun espinor con entradas enteiras, como en (1).

O [[grupo modular]] Γ é o conxunto de matrices 2×2 con coeficientes enteiros

: <math>A = \begin{bmatrix}\alpha&\beta\\ \gamma&\delta\end{bmatrix}</math>

con determinante igual a un: {{Math|''αδ'' − ''βγ'' {{=}} 1}}. O grupo modular [[Acción de grupo|actúa]] sobre a colección de todos os espinors enteiros. Ademais, o grupo é transitivo na colección de espinors enteiros con entradas coprimas. Pois se {{Math|[''m'' ''n'']<sup>T</sup>}} ten coeficientes coprimos, entón

: <math>\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}</math>

onde se seleccionan {{Math|''u''}} e {{Math|''v''}} (mediante o [[algoritmo de Euclides]]) para que cumpran {{Math|''mu'' + ''nv'' {{=}} 1}}.

Ao actuar sobre o espinor ξ en (1), a acción de Γ pasa a ser unha acción sobre as ternas pitagóricas, sempre que se permitan ternas con compoñentes posiblemente negativas. Así, se {{Math|''A''}} é unha matriz en {{Math|Γ}}, entón{{Bloque numerado|:|<math>2(A\xi)(A\xi)^T = A X A^T\,</math>|{{EquationRef|2}}}}dá lugar a unha acción sobre a matriz {{Math|''X''}} en (1). 

Alternativamente, podemos restrinxir a acción a aqueles valores de {{Math|''m''}} e {{Math|''n''}} para os que {{Math|''m''}} é impar e {{Math|''n''}} é par. Sexa o subgrupo Γ(2) de Γ o [[Kernel (álxebra)|kernel]] do [[homomorfismo de grupos]]

: <math>\Gamma=\mathrm{SL}(2,\mathbf{Z})\to \mathrm{SL}(2,\mathbf{Z}_2)</math>

onde {{Math|SL(2,'''Z'''<sub>2</sub>)}} é o [[Grupo lineal especial|grupo linear especial]] sobre o [[corpo finito]] {{Math|'''Z'''<sub>2</sub>}} de [[Aritmética modular|enteiros módulo 2]]. Entón Γ(2) é o grupo de transformacións unimodulares que conservan a paridade de cada entrada. Así, se a primeira entrada de ξ é impar e a segunda é par, entón o mesmo ocorre con {{Math|''A''ξ}} para todo {{Math|''A'' ∈ Γ(2)}}. De feito, baixo a acción (2), o grupo Γ(2) actúa transitivamente sobre a colección das ternas pitagóricas primitivas {{Cita Harvard|Alperin|2005}}.

Así temos que o grupo Γ(2) é o [[grupo libre]] cuxos xeradores son as matrices

: <math>U=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix},\qquad L=\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}.</math>

En consecuencia, cada terna pitagórica primitiva pode obterse dun xeito único como produto das copias das matrices {{Math|''U''}} e&nbsp;{{Math|''L''}}.

== Relación cos enteiros gaussianos ==
Se consideramos o cadrado dun número enteiro gaussiano, obtemos a seguinte interpretación directa da fórmula de Euclides como a representación dun cadrado perfecto dun enteiro gaussiano.

:<math>(m+ni)^2 = (m^2-n^2)+2mni.</math>

Usando os feitos de que os enteiros gaussianos son un dominio euclidiano e que para un enteiro gaussiano p,  <math>|p|^2</math> é sempre un cadrado, é posible demostrar que unha terna pitagórica corresponde ao cadrado dun primo enteiro gaussiano se a hipotenusa é un número primo.

Se o número enteiro gaussiano non é primo, entón é o produto de dous enteiros gaussianos p e q con <math>|p|^2</math> e <math>|q|^2</math> enteiros. Dado que as magnitudes se multiplican nos enteiros gaussianos, o produto debe ser <math>|p||q|</math>, que cando se eleva ao cadrado para atopar unha terna pitagórica debe ser composto. O [[proba por contrapositivo|contrapositivo]] completa a proba.

== Ecuacións relacionadas ==
===Ecuación de Jacobi–Madden===

:<math>a^4+b^4+c^4+d^4 = (a+b+c+d)^4</math>

é equivalente á terna especial Pitagórica,

:<math>(a^2+ab+b^2)^2+(c^2+cd+d^2)^2 = ((a+b)^2+(a+b)(c+d)+(c+d)^2)^2</math>

Hai un número infinito de solucións a esta ecuación xa que a resolución das variables implica unha [[curva elíptica]]. Algunhas solucións pequenas,

:<math>a, b, c, d = -2634, 955, 1770, 5400</math>

:<math>a, b, c, d = -31764, 7590, 27385, 48150</math>

===Sumas iguais de dous cadrados===

Un xeito de xerar solucións a <math>a^2+b^2=c^2+d^2</math> é parametrizar ''a, b, c, d'' en termos de enteiros ''m, n, p, q'' como segue:<ref>{{cita libro
 | last = Nahin | first = Paul J. | author-link = Paul J. Nahin
 | isbn = 0-691-02795-1
 | location = Princeton, New Jersey
 | mr = 1645703
 | pages = 25–26
 | publisher = Princeton University Press
 | title = An Imaginary Tale: The Story of sqrt{-1}
 | year = 1998}}</ref>

:<math>(m^2+n^2)(p^2+q^2)=(mp-nq)^2+(np+mq)^2=(mp+nq)^2+(np-mq)^2.</math>

===Teorema do círculo de Descartes===

Para o caso do [[Teorema de Descartes|Teorema do círculo de Descartes]] onde todas as variables son cadrados,

:<math>2(a^4+b^4+c^4+d^4) = (a^2+b^2+c^2+d^2)^2</math>

Euler demostrou que isto é equivalente a tres ternas pitagóricas simultáneas,

:<math>(2ab)^2+(2cd)^2 = (a^2+b^2-c^2-d^2)^2</math>

:<math>(2ac)^2+(2bd)^2 = (a^2-b^2+c^2-d^2)^2</math>

:<math>(2ad)^2+(2bc)^2 = (a^2-b^2-c^2+d^2)^2</math>

Tamén hai un número infinito de solucións, e para o caso especial cando <math>a+b=c</math>, a ecuación simplifícase a:

:<math>4(a^2+a b+b^2) = d^2</math>

con solucións pequenas como <math>a, b, c, d = 3, 5, 8, 14</math> e pódense resolver como [[formas cadráticas|formas cadráticas binarias]].

===Ternas do triángulo de Herón===
{{principal|triángulo de Herón}}

Un '''triángulo de Herón''' defínese habitualmente como aquel con lados enteiros cuxa área tamén é un número enteiro. As lonxitudes dos lados deste triángulo forman unha '''terna de Herón''' {{math|(''a, b, c'')}} con {{math|''a'' ≤ ''b'' ≤ ''c''}}.
Toda terna pitagórica é unha terna de Herón, porque na terna pitagórica polo menos un dos catetos {{math|''a''}}, {{math|''b''}} debe ser par, polo que a área ''ab''/2 é un número enteiro. Non toda terna de Herón é unha terna pitagórica, como mostra o exemplo {{math|(4, 13, 15)}} de área 24.

Se {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} é unha terna de Herón, tamén o é {{math|(''ka'', ''kb'', ''kc'')}} onde {{math|''k''}} é calquera número enteiro positivo; a súa área será o número enteiro que é {{math|''k''{{sup|2}}}} veces a área enteira do triángulo {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}}.
A terna de Herón {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} é '''primitiva''' cando ''a'', ''b'', ''c'' son [[números primos entre si|coprimos en conxunto]],(non é necesario que sexan coprimos por parellas). Aquí vemos algunhas das ternas de Herón primitivas máis simples que non son ternas pitagóricas:

: (4, 13, 15) con área 24
: (3, 25, 26) con área 36
: (7, 15, 20) con área 42
: (6, 25, 29) con área 60
: (11, 13, 20) con área 66

Pola [[fórmula de Herón]], a condición adicional para que unha terna de números enteiros positivos {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} con {{math|''a '' < ''b'' < ''c''}} sexa terna de Herón é que

: {{math|(''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} + ''c''{{sup|2}}){{sup|2}} − 2(''a''{{sup|4}} + ''b''{{sup|4}} + ''c''{{sup|4}})}}
ou equivalentemente
: {{math|2(''a''{{sup|2}}''b''{{sup|2}} + ''a''{{sup|2}}''c''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}}''c''{{sup|2}}) − (''a''{{sup|4}} + ''b ''{{sup|4}} + ''c''{{sup|4}})}}

sexa un cadrado perfecto distinto de cero divisíbel por 16.

== Notas ==
{{reflist|30em}} 
{{Reflist|group=groupname}}
== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
*{{cita libro|last=Alperin|first=Roger C.|author-link=Roger C. Alperin|title=The modular tree of Pythagoras|journal=American Mathematical Monthly|volume= 112|year=2005|pages=807–816|url=http://www.math.sjsu.edu/~alperin/pt.pdf |jstor=30037602|issue=9|mr=2179860 |doi=10.2307/30037602|}}
*{{cita libro|last=Berggren|first=B.|title=Pytagoreiska trianglar| journal=Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi|volume=17|year=1934|pages=129–139|language=sv}}
*{{cita libro|first=F.J.M.|last=Barning|title=Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices|journal=Math. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk.|volume=ZW-011|year=1963|page=37|url=https://ir.cwi.nl/pub/7151/7151D.pdf
|language=nl }}
*{{cita libro|last=Eckert|first=Ernest|title=Primitive Pythagorean triples|journal=The College Mathematics Journal|volume=23|year=1992|pages=413–417 |issue=5|jstor=2686417|doi=10.2307/2686417}}
*{{cita libro|first=Noam|last=Elkies|author-link=Noam Elkies|title=Pythagorean triples and Hilbert's theorem 90|url=http://www.math.harvard.edu/~elkies/Misc/hilbert.pdf }}
*{{cita libro|first=Thomas|last=Heath|author-link=T. L. Heath|title=The Thirteen Books of Euclid's Elements Vol. 1 (Books I and II)|publisher=Dover Publications|edition=2nd|year=1956|isbn=978-0-486-60088-8|url=https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl}}
* {{ cita libro| first1 = Calvin T. | last1 = Long | year = 1972 | title = Elementary Introduction to Number Theory | edition = 2nd | publisher = [[D. C. Heath and Company]] | location = Lexington | lccn = 77171950 }}
*{{cita libro| last = Martin|first=Artemas |author-link=Artemas Martin|title = Rational right angled triangles nearly isosceles |journal = [[Annals of Mathematics|The Analyst]] |volume= 3 |issue= 2 |pages = 47–50 |year=1875 |doi= 10.2307/2635906 |jstor= 2635906 }}
*{{cita libro|first=Darryl |last= McCullough |title= Height and excess of Pythagorean triples |journal= Mathematics Magazine |volume=78 |year=2005 |url= http://www.math.ou.edu/~dmccullough/teaching/pythagoras2.pdf |issue=1 |pages= 26–44 |doi= 10.1080/0025570X.2005.11953298 }}
*{{cita libro|first=Dan |last= Romik |title= The dynamics of Pythagorean triples |url= https://www.ams.org/journals/tran/2008-360-11/S0002-9947-08-04467-X/S0002-9947-08-04467-X.pdf |journal= Trans. Amer. Math. Soc. |volume=360 |issue=11 |year=2008 |pages= 6045–6064  |arxiv= math.DS/0406512 |doi= 10.1090/S0002-9947-08-04467-X |mr= 2425702}}
*{{cita libro|title=On Generating Pythagorean Triples |first1=M.G. |last1=Teigen |first2= D.W. |last2= Hadwin |journal= The American Mathematical Monthly |volume=78 |year=1971 |pages= 378–379 |issue=4 |jstor= 2316903 |doi= 10.2307/2316903 }}
*{{cita libro|first=Andrzej |last=Trautman |author-link= Andrzej Trautman |chapter= Pythagorean spinors and Penrose twistors |chapter-url= http://www.fuw.edu.pl/~amt/oxford.ps |title= Geometric universe |editor1= S.A. Hugget |editor2=L.J. Mason |editor3=K.P. Tod |editor4=S.T. Tsou |editor5=N.M.J. Woodhouse |year=1998 |type= Postscript}}

=== Outros artigos ===
* [[Terna de Eisenstein]]
* [[Triángulo de Herón]]
* [[Primo Pitagórico]]
=== Ligazóns externas ===
* [https://web.archive.org/web/20100613033436/http://www.math.siu.edu/kocik/pracki/44Cliffpdf.pdf Clifford Algebras and Euclid's Parameterization of Pythagorean triples]
* [https://web.archive.org/web/20060917145537/http://learn.sdstate.edu/vestald/publications/Curious%20Consequences.pdf Curious Consequences of a Miscopied Quadratic]
* [https://web.archive.org/web/20051129025352/http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Pythag/pythag.html Discussion of Properties of Pythagorean triples, Interactive Calculators, Puzzles and Problems]
* [https://web.archive.org/web/20160304023524/http://people.wcsu.edu/sandifere/Academics/2007Spring/Mat342/PythagTrip02.pdf Generating Pythagorean Triples Using Arithmetic Progressions]
* {{springer|title=Pythagorean numbers|id=p/p075950}}
* [http://www.hbmeyer.de/pythagen.htm Interactive Calculator for Pythagorean Triples]
* [http://www.numbertheory.org/php/negative_pell.html The negative Pell equation and Pythagorean triples]
* [http://blah.math.tu-graz.ac.at/~frisch/wwwpdf/pytha.pdf Parameterization of Pythagorean Triples by a single triple of polynomials]
* {{cita libro|first=H. Lee|last=Price|title=The Pythagorean Tree: A New Species |year=2008|arxiv=0809.4324|mode=cs2}}
* [http://www.math.brown.edu/johsilve/frintch1ch6.pdf Pythagorean Triples and the Unit Circle], chap. 2–3, in "[http://www.math.brown.edu/~jhs/frint.html A Friendly Introduction to Number Theory]" by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, {{isbn|0-13-186137-9}}
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/pythTriple.shtml Pythagorean Triples] at [[cut-the-knot]] Interactive Applet showing unit circle relationships to Pythagorean Triples
* [http://www.friesian.com/pythag.htm Pythagorean Triplets]
* [https://web.archive.org/web/20110525231240/http://www.rowan.edu/colleges/las/departments/math/facultystaff/osler/InCircle.pdf The Remarkable Incircle of a Triangle]
* [http://mathcentral.uregina.ca/mp/previous2005/feb06sol.php Solutions to Quadratic Compatible Pairs in relation to Pythagorean Triples]
* [https://web.archive.org/web/20081223140307/http://www.math.rutgers.edu/~erowland/pythagoreantriples.html Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry]
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PT_matrix.shtml The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples] at [[cut-the-knot]]
* {{MathWorld |urlname=PythagoreanTriple |title=Pythagorean Triple|mode=cs2}}

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de números]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]