Ver o código fonte de «Teorema da norma de Hasse»

Na [[teoría dos números]], o '''teorema da norma de Hasse''' indica que se L/K é unha [[extensión cíclica]] de [[corpo numérico|corpos numéricos]], entón se un elemento distinto de cero de K é unha norma local en todas as partes, entón é unha norma global.<ref>{{Cita libro|title=The Hasse Norm Principle and Biquadratic Fields|first=Merlijn|last=Keuner|page=23|publisher=Radboud University Nijmegen|ano=2021|páxinas=2|url=https://www.math.ru.nl/~bosma/Students/MerlijnKeuneMSc.pdf}}</ref>
Aquí ser unha norma global significa ser un elemento ''k'' de K tal que hai un elemento ''l'' de L con <math>\mathbf{N}_{L/K}(l) = k</math>; noutras palabras ''k'' é unha norma relativa dalgún elemento do corpo de extensión L. Ser unha norma local significa que para algún primo '''p''' de K e algún primo '''P''' de L sobre K, entón ''k'' é unha norma de L<sub>'''P'''</sub>; aquí o "primo" '''p''' pode ser unha valoración arquimedeana, e o teorema é unha afirmación sobre os completamentos en todas as valoracións, arquimedeanas e non arquímedes.

O teorema non é certo en xeral se a extensión é abeliana mais non cíclica. Hasse deu o contraexemplo de que 3 é unha norma local en todas as partes para a extensión <math>{\mathbf Q}(\sqrt{-3},\sqrt{13})/{\mathbf Q}</math> mais non é unha norma global. Serre e Tate demostraron que outro contraexemplo vén dado polo corpo <math>{\mathbf Q}(\sqrt{13},\sqrt{17})/{\mathbf Q}</math> onde cada cadrado racional é unha norma local en todas as partes mais <math>5^2</math> non é unha norma global.

Este é un exemplo dun teorema que estabelece un [[principio local-global]].

O teorema completo débese a {{harvs|txt|authorlink=Helmut Hasse|last=Hasse|year=1931}}. O caso especial cando o grao ''n'' da extensión é 2 foi probado por {{harvtxt|Hilbert|1897}}, e o caso especial cando ''n'' é primo foi demostrado por Furtwangler en 1902.{{ cn|data=xuño de 2023}}

O teorema da norma de Hasse pódese deducir do teorema de que un elemento do grupo de [[cohomoloxía de Galois]] H<sup>2</sup>(''L''/''K'') é trivial se é trivial localmente en todas as partes, o que á súa vez é equivalente ao teorema profundo de que a primeira cohomoloxía do [[Grupo alxébrico adélico|grupo de clases ideles]] desaparece. Isto é certo para todas as extensións finitas de Galois de corpos numéricos, non só para as cíclicas. Para extensións cíclicas o grupo H<sup>2</sup>(''L''/''K'') é isomorfo ao [[grupo de cohomoloxía de Tate]] H<sup>0</sup>('' L''/''K'') que describe que elementos son normas, polo que para as extensións cíclicas convértese no teorema de Hasse de que un elemento é unha norma se é unha norma local en todas as partes.
== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
*{{cita libro|first=H. |last=Hasse|journal=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse|year=1931 |title=Beweis eines Satzes und Wiederlegung einer Vermutung über das allgemeine Normenrestsymbol|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002508397|pages=64–69}}
* H. Hasse, "A history of class field theory", in [[J.W.S. Cassels]] and [[A. Frohlich]] (edd), ''Algebraic number theory'', [[Academic Press]], 1973.  Chap.XI.
* G. Janusz, ''Algebraic number fields'', Academic Press, 1973.  Theorem V.4.5, p.&nbsp;156
*{{cita libro|last1=Hilbert |first1=David |author1-link=David Hilbert |title=Die Theorie der algebraischen Zahlkörper |url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002115344 |language=German |year=1897 |journal=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung |issn=0012-0456 |volume=4 |pages=175–546}}
=== Outros artigos ===
* [[Lema de Hensel]].
* [[Principio local-global]].


{{control de autoridades}}