Ver o código fonte de «Teorema da función inversa»

Na rama da [[matemática]] denominada [[análise matemática]], o '''teorema da función inversa''' proporciona as condicións suficientes para que unha aplicación sexa invertíbel localmente no contorno dun punto p en termos da súa derivada no punto. O teorema pódese enunciar para aplicacións en '''R'''<sup>n</sup> ou xeneralizar a variedades diferenciábeis ou espazos de Banach.

O teorema estabelece que se o [[campo vectorial]] está definido entre dous conxuntos da mesma [[dimensión topolóxica]], o campo ten as súas primeiras [[derivada]]s continuas e a xacobiana nun punto do dominio é invertíbel, entón o campo tamén é invertible localmente. Máis aínda, o xacobiano da inversa no punto imaxe é igual á inversa do xacobiano no punto.

::<math>(F^{-1}(p))'=(F'(p))^{-1}\,</math>

== Enunciado ==
A versión en <math>\mathbb{R}^n</math> do teorema é a seguinte:

Sexa <math>f:A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> unha función [[Continuamente diferenciable|'''C<sup>1</sup>''']]. Supoñendo que para <math>a \in A</math>, a diferencial <math>Df(a)\,</math> é invertible e que <math>f(a)=b\,</math>, entón existen abertos <math>U,V \subset \mathbb{R}^n</math> de modo que <math>a\in U</math>, <math>b\in V</math> e <math>f:U\rightarrow V</math> é unha [[bixectiva|función bixectiva]], polo que a inversa <math>f^{-1}:V\rightarrow U</math> de <math>f\,</math> é '''C<sup>1</sup>''' e polo tanto <math>Df^{-1}(b)=[Df(a)]^{-1}\,</math>.

== Exemplo ==
Considerando a función '''F''' de '''R'''<sup>2</sup> en '''R'''<sup>2</sup> definida por
:<math>
\mathbf{F}(x,y)=
\begin{bmatrix}
 {e^x \cos y}\\
 {e^x \sin y}\\
\end{bmatrix}
</math>

O seu [[matriz jacobiana|xacobiano]] é

:<math>
J_F(x,y)=
\begin{bmatrix}
 {e^x \cos y} & {-e^x \sin y}\\
 {e^x \sin y} & {e^x \cos y}\\
\end{bmatrix}
</math>

e o seu [[Determinante (matemáticas)|determinante]]

:<math>
\det J_F(x,y)=
e^{2x} \cos^2 y + e^{2x} \sin^2 y=
e^{2x}.
\,\!</math>

Coma o determinante e<sup>2x</sup> é non nulo en todo punto, aplicando o teorema, para cada punto ''p'' de '''R'''<sup>2</sup>, existe unha contorna de ''p'' na que ''F'' é invertible.

== Variedades diferenzables ==

Neste contexto, o teorema afirma que dada unha aplicación ''F'' : ''M'' → ''N'' entre dúas variedades diferenzables, se aa diferencial de ''F'',

:(d''F'')<sub>''p''</sub> : T<sub>''p''</sub>''M'' → T<sub>''F''(''p'')</sub>''N''

é un [[Isomorfismo|isomorfismo linear]] (é dicir, isomorfismo entre [[espazo vectorial|espazos vectoriais]]) nun punto ''p'' de ''M'', entón existe unha contorna aberta ''U'' de ''p'' tal que

:''F''|<sub>''U''</sub> : ''U'' → ''F''(''U'')

é un [[difeomorfismo]].

Expresado doutra maneira, se a diferencial de ''F'' é un isomorfismo en tódolos puntos ''p'' de ''M'', entón a aplicación ''F'' é un [[difeomorfismo local]].

== Inversa global ==
O teorema da función inversa só garante localmente a existencia dunha función inversa. Os requirimentos para a existencia dunha inversa global son algo máis complexos e non están garantidos polo cumprimento das condicións do teorema da función inversa.

Dada unha función diferenciable:
{{ecuación|
<math>f:\Omega \subset \R^n \to \R^m,\quad m \ge n, \quad f\in C^1(\Omega,\R^m)</math>
||left}}
Pode demostrarse que existe unha constante <math>\scriptstyle c(\Omega)</math> se cumpre:
{{ecuación|
<math>\max_{x\in \bar{\Omega}} \|Du_f(x)\| =
\sup_{x\in \Omega} \|Du_f(x)\| < c(\Omega)\le 1 </math>
||left}}
De maneira que a función ''f'' admite inversa global, onde ''u<sub>f</sub>'' é o  [[vector de desprazamento]] asociado á función definido como a [[resta vectorial]] entre a imaxe dun punto e a súa posición inicial:
{{ecuación|
<math>u_f(x)= f(x)-x \in \R^n</math>
||left}}
Pode demostrarse que <math>\scriptstyle c(\Omega) = 1 </math> se o dominio <math>\scriptstyle \Omega</math> é [[conxunto convexo|convexo]], mentres que un dominio non convexo require <math>\scriptstyle c(\Omega) < 1 </math>.

== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
* Bombal, Marin & Vera: ''Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial'', 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6. {{Es}}
=== Outros artigos ===
* [[Teorema da función implícita]]
=== Ligazóns externas ===
* [https://web.archive.org/web/20160304131751/http://www-old.dim.uchile.cl/~docencia/calculo_vv/material/apunte_cvv_felmer-jofre.pdf Alejandro Jofré, Patricio Felmer, Paul Bosch, Matías Bulnes, Arturo Prat, Luis Rademacher, José Zamora, y Mauricio Vargas. "''Cálculo en Varias Variables - Apunte Completo''" (2010)] {{Es}}


{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Teoremas|Funcion inversa]]

[[de:Satz von der impliziten Funktion#Satz von der Umkehrabbildung]]