Ver o código fonte de «Subgrupo normal»

En [[álxebra abstracta]], un '''subgrupo normal''' (tamén coñecido como '''subgrupo invariante''' ou '''subgrupo autoconxugado'''){{Sfn|Bradley|2010|p=12}} é un [[subgrupo]] que é [[invariante]] baixo a [[clase de conxugación|conxugación]] de membros do [[Grupo (matemáticas)|grupo]] do que forma parte. Noutras palabras, un subgrupo <math>N</math> do grupo <math>G</math> é normal en <math>G</math> se e só se <math>gng^{-1} \in N</math> para todos os <math>g \in G</math> e <math>n \in N</math>. A notación habitual para esta relación é <math>N \triangleleft G</math>.

Os subgrupos normais son importantes porque eles (e só eles) poden usarse para construír [[Grupo cociente|grupos cocientes]] do grupo dado. Alén diso, os subgrupos normais de <math>G</math> son precisamente os [[Kernel (álxebra)|kernel]] dos [[Homomorfismo de grupos|homomorfismos de grupos]] con [[Dominio de definición|dominio]] <math>G</math>, o que significa que poden usarse para clasificar internamente eses homomorfismos.

[[Évariste Galois]] foi o primeiro en decatarse da importancia da existencia de subgrupos normais.{{Sfn|Cantrell|2000|p=160}}

== Definicións ==
Un [[subgrupo]] <math>N</math> dun grupo <math>G</math> chámase '''subgrupo normal''' de <math>G</math> se é invariante baixo a [[Clase de conxugación|conxugación]]; é dicir, a conxugación dun elemento de <math>N</math> por un elemento de <math>G</math> sempre está dentro de <math>N</math>.{{Sfn|Dummit|Foote|2004}} A notación habitual para esta relación é <math>N \triangleleft G</math> .

=== Condicións equivalentes ===
Para calquera subgrupo <math>N</math> de <math>G</math>, as seguintes condicións son equivalentes para <math>N</math> ser un subgrupo normal de <math>G</math>. Polo tanto, calquera delas pode tomarse como definición.

* A imaxe da conxugación de <math>N</math> por calquera elemento de <math>G</math> é igual a <math>N,</math>{{Sfn|Hungerford|2003|p=41}} é dicir, <math>gNg^{-1}= N</math> para todos os <math>g \in G</math>.
* A imaxe da conxugación de <math>N</math> por calquera elemento de <math>G</math> é un subconxunto de <math>N</math>. Evidente polo punto anterior, así nas deducións é máis simple probar <math>gNg^{-1}\subseteq N</math> para todos os <math>g \in G</math>.
* Para todos os <math>g \in G</math>, as [[Coclase|coclases]] esquerda e dereita <math>gN</math> e <math>Ng</math> son iguais.{{Sfn|Hungerford|2003|p= 41}}
* Os conxuntos de [[Coclase|coclases]] esquerdas e dereitas de <math>N</math> en <math>G</math> coinciden.{{Sfn|Hungerford|2003|p=41}}
* A multiplicación en <math>G</math> conserva a relación de equivalencia "está na mesma coclase esquerda que". É dicir, para cada <math>g,g',h,h' \in G</math> que satisfaga <math>g N = g' N</math> e <math>h N = h' N</math>, temos <math>(g h) N = (g' h') N</math>.
* Existe un grupo no conxunto de coclases esquerdas de <math>N</math> onde a multiplicación de dúas coclases esquerdas calquera <math>gN</math> e <math>hN</math> dá a coclase esquerda <math>(gh)N</math> (este grupo chámase ''grupo cociente'' de <math>G</math> ''módulo'' <math>N</math>, denotado <math>G/ N</math>).
* <math>N</math> é unha [[Unión (conxuntos)|unión]] de [[clase de conxugación|clases de conxugación]] de <math>G</math>.{{Sfn|Cantrell|2000|p=160}}
* <math>N</math> presérvase polos [[automorfismo interno|automorfismos internos]] de <math>G</math>.{{Sfn|Fraleigh|2003|p=141}}
* Existe algún homomorfismo de grupo <math>G \to H</math> cuxo kernel é <math>N</math>.{{Sfn|Cantrell|2000|p=160}}
* Existe un homomorfismo de grupo <math>\phi:G \to H</math> cuxas fibras forman un grupo onde o elemento identidade é <math>N</math> e a multiplicación de dúas fibras calquera <math>\phi^ {-1}(h_1)</math> e <math>\phi^{-1}(h_2)</math> producen a fibra <math>\phi^{-1}(h_1 h_2)</math> (este grupo é o mesmo grupo <math>G/N</math> mencionado anteriormente).
* Hai algunha relación de congruencia en <math>G</math> para a cal a [[Clase de equivalencia|clase de equivalencia]] do [[Elemento neutro|elemento identidade]] é <math>N</math>.
* Para todos os <math>n\in N</math> e <math>g \in G</math>. o conmutador <math>[n,g] = n^{-1} g^{-1} n g</math> está en <math>N</math>.{{Cómpre referencia}}<sup class=" noprint Inline-Template Template-Fact" style="white-space:nowrap;">&#x5B;''[[wikipedia:Cómpre referencia|<span title="Esta afirmación necesita referencias a fontes fiables (marzo de 2019)" >Cita necesaria</span>]]''&#x5D;</sup>
* Dous elementos calquera conmutan módulo a relación normal de pertenza ao subgrupo. É dicir, para todo <math>g, h \in G</math>, <math>g h \in N</math> se e só se <math>h g \in N</math>.{{Cómpre referencia }}<sup class="noprint Inline-Template Template-Fact" style="white-space:nowrap;">&#x5B;''[[wikipedia:Cómpre referencia|<span title="Esta afirmación necesita referencias fiables fontes (outubro de 2020)">cita necesaria</span>]]''&#x5D;</sup>

== Exemplos ==

Para calquera grupo <math>G</math>, o subgrupo trivial <math>\{ e \}</math> composto só polo elemento identidade de <math>G</math> é sempre un subgrupo normal de <math>G</math>. Así mesmo, <math>G</math> en si é sempre un subgrupo normal de <math>G</math> (se estes son os únicos subgrupos normais, entón <math>G</math> dise que é simple).{{Sfn|Robinson|1996|p=16}} 

Outros subgrupos normais dun grupo arbitrario con nome característico inclúen o [[Centro (teoría de grupos)|centro do grupo]] (o conxunto de elementos que conmutan con todos os demais elementos) e o [[Subgrupo conmutador|subgrupo conmutador.]] <math>[G,G]</math>. {{Sfn|Hungerford|2003|p=45}} {{Sfn|Hall|1999|p=138}} Máis xeralmente, dado que a conxugación é un isomorfismo, calquera [[subgrupo característico]] é un subgrupo normal.{{Sfn|Hall|1999|p=32}}

Se <math>G</math> é un [[Grupo abeliano|grupo abeliano,]] daquela cada subgrupo <math>N</math> de <math>G</math> é normal, porque <math>gN = \{gn\}_{n\in N} = \{ng\}_{n\in N} = Ng</math>. En xeral, para calquera grupo <math>G</math>, cada subgrupo do ''centro'' <math>Z(G)</math> de <math>G</math> é normal en <math>G</math> (no caso especial de <math>G</math> ser abeliano, o centro é todo <math>G</math>, daí o feito de que todos os subgrupos dun grupo abeliano son normais). Un grupo que non é abeliano mais para o que todos os subgrupos son normais chámase [[grupo hamiltoniano]]. {{Sfn|Hall|1999|p=190}}

Un exemplo concreto de subgrupo normal é o subgrupo <math>N = \{(1), (123), (132)\}</math> do [[grupo simétrico]] <math>S_3</math>, composto pola identidade e ambos os tres ciclos. En particular, pódese comprobar que cada clase de <math>N</math> é igual ao propio <math>N</math> ou é igual a <math>(12)N = \{ (12), (23), (13)\}</math>. Por outra banda, o subgrupo <math>H = \{(1), (12)\}</math> non é normal en <math>S_3</math> xa que <math>(123)H = \{(123), (13) \} \neq \{(123), (23) \} = H(123)</math>.{{Sfn|Judson|2020}} Isto ilustra o feito xeral de que calquera subgrupo <math>H \leq G</math> de índice dous é normal.

Como exemplo dun subgrupo normal dentro dun [[grupo linear]], considere o [[grupo linear xeral]] <math>\mathrm{GL}_n(\mathbf{R})</math> de todas as matrices  <math>n\times n</math> invertíveis con entradas reais baixo a operación de multiplicación matricial e o seu subgrupo <math>\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})</math> de todas as matrices <math>n\times n</math> de [[Determinante (matemáticas)|determinante]] 1 (o [[grupo linear especial]]). Para ver por que o subgrupo <math>\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})</math> é normal en <math>\mathrm{GL}_n(\mathbf{R})</math>, considere calquera matriz <math>X</math> en <math>\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})</math> e calquera matriz invertíbel <math>A</math>. Agora empregando as dúas identidades importantes <math>\det(AB)=\det(A)\det(B)</math> e <math>\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}</math>, temos que<math>\det(AXA^{-1}) = \det(A) \det(X) \det(A)^{-1} = \det(X) = 1</math>, e daquela <math>AXA^{-1} \in \mathrm{SL}_n(\mathbf{R})</math> tamén. Isto significa que <math>\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})</math> é pechado baixo a conxugación en <math>\mathrm{GL}_n(\mathbf{R})</math>, polo que é un subgrupo normal. {{Efn|Noutras palabras: <math>\det</math> é un homomorfismo de <math>\mathrm{GL}_n(\mathbf{R})</math> cara ao subgrupo multiplicativo  <math> \mathbf{R}^\times</math>, e<math>\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})</math> é o kernel. Ambos os argumentos tamén funcionan sobre os [[números complexos]], ou de feito sobre un [[corpo (matemáticas)|corpo]] arbitrario.}}

O [[Translación (xeometría)|grupo de translación]] é un subgrupo normal do [[grupo euclidiano]] en calquera dimensión.{{Sfn|Thurston|1997|p=218}} Isto significa que aplicando unha transformación ríxida, seguida dunha translación e despois a transformación ríxida inversa, ten o mesmo efecto que unha única translación. Pola contra, o subgrupo de todas as [[Rotación|rotacións]] sobre a orixe ''non'' é un subgrupo normal do grupo euclidiano, sempre que a dimensión sexa polo menos 2: primeiro trasladar, despois xirar sobre a orixe e despois trasladar de volta normalmente non fixará a orixe, e polo tanto, non terá o mesmo efecto que unha única rotación sobre a orixe.

== Propiedades ==

* Se <math>H</math> é un subgrupo normal de <math>G</math>, e <math>K</math> é un subgrupo de <math>G</math> que contén <math>H </math>, entón <math>H</math> é un subgrupo normal de <math>K</math>.{{Sfn|Hungerford|2003|p=42}}
* Un subgrupo normal dun subgrupo normal dun grupo non ten por que ser normal no grupo. É dicir, a normalidade non é unha [[Relación transitiva|relación transitiva]]. O grupo máis pequeno que presenta este fenómeno é o grupo diédrico de orde 8.{{Sfn|Robinson|1996|p=17}} Non obstante, un subgrupo característico dun subgrupo normal é normal.{{Sfn|Robinson|1996|p=28 }} Un grupo no que a normalidade é transitiva chámase [[grupo T]].{{Sfn|Robinson|1996|p=402}}
* Os dous grupos <math>G</math> e <math>H</math> son subgrupos normais do seu produto directo <math>G \times H</math>.
* Se o grupo <math>G</math> é un produto semidirecto <math>G = N \rtimes H</math>, entón <math>N</math> é normal en <math>G</math>, aínda que <math>H</math> non ten por que ser normal en <math>G</math>.
* Se <math>M</math> e <math>N</math> son subgrupos normais dun grupo aditivo <math>G</math> tal que <math>G = M + N</math> e <math>M \cap N = \{0\}</math>, daquela <math>G = M \oplus N</math>.{{Sfn|Hungerford|2013|p=290}}
* A normalidade consérvase baixo homomorfismos sobrexectivos;{{Sfn|Hall|1999|p=29}} é dicir, se <math>G \to H</math> é un homomorfismo sobrexectivo de grupo e <math>N</math> é normal en <math>G</math>, daquela a imaxe <math>f(N)</math> é normal en <math>H</math>.
* A normalidade consérvase tomando [[Imaxe (matemáticas)|imaxes inversas]];{{Sfn|Hall|1999|p=29}} é dicir, se <math>G \to H</math> é un homomorfismo de grupo e <math>N</math> é normal en <math>H</math>, daquela a imaxe inversa <math>f^{-1}(N)</math> é normal en <math>G</math>.
* Consérvase a normalidade ao tomar produtos directos;{{Sfn|Hungerford|2003|p=46}} é dicir, se <math>N_1 \triangleleft G_1</math> e <math>N_2 \triangleleft G_2</math>, daquel <math>N_1 \times N_2\; \triangleleft \;G_1 \times G_2</math>.
* Cada subgrupo de [[Índice dun subgrupo|índice]] 2 é normal. De forma máis xeral, un subgrupo, <math>H</math>, de índice finito, <math>n</math>, en <math>G</math> contén un subgrupo, <math>K,</math> normal en <math>G</math> e de índice que divide <math>n!</math> chamado corazón normal. En particular, se <math>p</math> é o primo máis pequeno que divide a orde de <math>G</math>, daquela todos os subgrupos do índice <math>p</math> son normais.{{Sfn|Robinson |1996|p=36}}
* O feito de que os subgrupos normais de <math>G</math> sexan precisamente os kernels dos homomorfismos de grupo definidos en <math>G</math> explica parte da importancia dos subgrupos normais; son unha forma de clasificar internamente todos os homomorfismos definidos nun grupo. Por exemplo, un grupo finito non identitario é simple se e só se é isomorfo a todas as súas imaxes homomorfas non identitarias,{{Sfn|Dõmõsi|Nehaniv|2004|p=7}} un grupo finito é perfecto se e só se non ten subgrupos normais de [[Índice dun subgrupo|índice]] primo, e un grupo é imperfecto se e só se o subgrupo derivado non se complementa con ningún subgrupo normal propio.

=== Retícula de subgrupos normais ===
Dados dous subgrupos normais, <math>N</math> e <math>M</math>, de <math>G</math>, a súa intersección <math>N\cap M</math> e o seu produto <math>N M = \{n m : n \in N\; \text{ e }\; m \in M \}</math> tamén son subgrupos normais de <math>G</math>.

Os subgrupos normais de <math>G</math> forman unha retícula baixo a  [[Subconxunto|inclusión de subconxuntos]] co [[Elemento maior e menor|mínimo elemento]], <math>\{ e \}</math>, e [[Elemento maior e menor|o maior elemento]], <math>G</math>. O "[[join e meet|meet]]" de dous subgrupos normais, <math>N</math> e <math>M</math>, nesta retícula é a súa intersección e o "[[join e meet|join]]" é o seu produto.

== Subgrupos normais, grupos cocientes e homomorfismos ==
Se <math>N</math> é un subgrupo normal, podemos definir unha multiplicación en coclases secundarias do seguinte xeito:  
:<math>\left(a_1 N\right) \left(a_2 N\right) := \left(a_1 a_2\right) N.</math>
Esta relación define un mapa <math>G/N\times G/N \to G/N</math>. Para mostrar que esta mapeo está ben definido, hai que demostrar que a elección dos elementos representativos <math>a_1, a_2</math> non afecta o resultado. Para iso, considere algúns outros elementos representativos <math>a_1'\in a_1 N, a_2' \in a_2 N</math>. Daquela existen <math>n_1, n_2\in N</math> tal que <math>a_1' = a_1 n_1, a_2' = a_2 n_2</math>. Dedúcese que 
:<math>a_1' a_2' N = a_1 n_1 a_2 n_2 N =a_1 a_2 n_1' n_2 N=a_1 a_2 N</math>
onde tamén utilizamos o feito de que <math>N</math> é un subgrupo {{Em|normal}} e, polo tanto, existe <math>n_1'\in N</math> tal que <math>n_1 a_2 = a_2 n_1'</math>. Isto demostra que este produto é un mapeo ben definido entre coclases.

Con esta operación, o conxunto de coclases secundarias é en si un grupo, chamado [[grupo cociente]] e denotado <math>G/N.</math> Existe un [[homomorfismo]] natural, <math>f : G \to G/N</math>, dado por <math>f(a) = a N</math>. Este homomorfismo mapea <math>N</math> no [[elemento identidade]] (ou elemento neutro) de <math>G/N</math>, que é a coclase <math>e N = N</math>, {{Sfn|Hungerford|2003}} é dicir, <math>\ker(f) = N</math>.

En xeral, un homomorfismo de grupo, <math>f : G \to H</math> envía subgrupos de <math>G</math> a subgrupos de <math>H</math>. A maiores, a preimaxe de calquera subgrupo de <math>H</math> é un subgrupo de <math>G</math>. Chamamos á preimaxe do grupo trivial <math>\{ e \}</math> en <math>H</math> ao '''[[Kernel (álxebra)|kernel]]''' do homomorfismo e denotámolo como <math>\ker f</math>. Como se ve, o kernel (ou núcleo) sempre é normal e a imaxe de <math>G, f(G)</math>, é sempre [[Isomorfismo|isomorfa]] a <math>G / \ker f</math> (o [[primeiro teorema de isomorfismo]]).{{Sfn|Hungerford|2003|p=44}}

De feito, esta correspondencia é unha bixección entre o conxunto de todos os grupos cocientes de <math>G</math>, <math>G/N</math>, e o conxunto de todas as imaxes homomorfas de <math>G</math> ([[ata (matemáticas)|até isomorfismo]]).{{Sfn|Robinson|1996|p=20}} Tamén é doado ver que o kernel do mapa cociente, <math>f : G \to G/N</math>, é o propio <math>N</math>, polo que os subgrupos normais son precisamente os kernels dos homomorfismos con [[Dominio de definición|dominio]] <math>G</math>.{{Sfn|Hall|1999|p=27}}

== Notas ==
{{reflist|30em}}
{{Reflist|group=lower-alpha}}

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
*{{cita web|last1=Bergvall|first1=Olof|last2=Hynning|first2=Elin|last3=Hedberg|first3=Mikael|last4=Mickelin|first4=Joel|last5=Masawe|first5=Patrick|title=On Rubik's Cube|date=16 May 2010|publisher=[[KTH Royal Institute of Technology|KTH]]|url=https://people.kth.se/~boij/kandexjobbVT11/Material/rubikscube.pdf}}
*{{cita libro|last=Cantrell|first=C.D.|title=Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers|url=https://archive.org/details/modernmathematic0000cant|publisher=Cambridge University Press|year=2000|isbn=978-0-521-59180-5}}
*{{cita libro|last1=Dõmõsi|first1=Pál|last2=Nehaniv|first2=Chrystopher L.|title=Algebraic Theory of Automata Networks|series=SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications|publisher=SIAM|year=2004}}
*{{cita libro|last1=Dummit|first1=David S.|last2=Foote|first2=Richard M.|title=Abstract Algebra|publisher=John Wiley & Sons|year=2004|edition=3rd|isbn=0-471-43334-9}}
*{{cita libro|last=Fraleigh|first=John B.|title=A First Course in Abstract Algebra|url=https://archive.org/details/firstcourseinabs07edfral|publisher=Addison-Wesley|year=2003|edition=7th|isbn=978-0-321-15608-2}}
*{{cita libro|last=Hall|first=Marshall|title=The Theory of Groups|publisher=Chelsea Publishing|location=Providence|year=1999|isbn=978-0-8218-1967-8}}
*{{cita libro|last=Hungerford|first=Thomas|title=Algebra|series=Graduate Texts in Mathematics|publisher=Springer|year=2003}}
*{{cita libro|last=Hungerford|first=Thomas|title=Abstract Algebra: An Introduction|url=https://archive.org/details/abstractalgebrai0003hung|publisher=Brooks/Cole Cengage Learning|year=2013}}
*{{cita libro|last=Judson|first=Thomas W.|title=Abstract Algebra: Theory and Applications|year=2020|url=http://abstract.ups.edu/aata/aata.html}}
*{{cita libro|last=Robinson|first=Derek J. S.|title=A Course in the Theory of Groups|volume=80|series=Graduate Texts in Mathematics|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1996|isbn=978-1-4612-6443-9|zbl=0836.20001|edition=2nd}}
*{{cita libro|last=Thurston|first=William|author-link=William Thurston|title=Three-dimensional geometry and topology, Vol. 1|url=https://archive.org/details/threedimensional0001thur|editor-last=Levy|editor-first=Silvio|series=Princeton Mathematical Series|publisher=Princeton University Press|year=1997|isbn=978-0-691-08304-9}}
*{{cita libro|last=Bradley|first=C. J.|title=The mathematical theory of symmetry in solids : representation theory for point groups and space groups|publisher=Clarendon Press|location=Oxford New York|year=2010|isbn=978-0-19-958258-7|oclc=859155300}}

=== Outros artigos ===
* [[Grupo cociente]]
* [[Coclase]]
{{div col}}

====Operacións levando subgrupos a subgrupos====
*[[Centralizador e normalizador]]
*[[Pechamento conxugado]]
*[[Corazón dun subgrupo]]

====Propiedades do subgrupo complementarias (ou opostas) á normalidade====
*[[Subgrupo malnormal]]
*[[Subgrupo contranormal]]
*[[Subgrupo anormal]]
*[[Centralizador e normalizador|Subgrupo de autonormalización]]

====Propiedades do subgrupo máis fortes que a normalidade====
*[[Subgrupo característico]]
*[[Subgrupo característico|Subgrupo totalmente característico]]

====Propiedades do subgrupo máis febles que a normalidade====
*[[Subgrupo subnormal]]
*[[Subgrupo ascendente]]
*[[Subgrupo descendente]]
*[[Subgrupo cuasinormal]]
*[[Subgrupo seminormal]]
*[[Conxugar subgrupo permutábel]]
*[[Subgrupo modular]]
*[[Subgrupo pronormal]]
*[[Subgrupo paranormal]]
*[[Subgrupo polinormal]]
*[[Subgrupo C-normal]]

====Nocións relacionadas en álxebra====
*[[Ideal (teoría dos aneis)]]
*[[Semigrupo|Semigrupo ideal]]

{{div col end}}

=== Ligazóns externas ===
* {{MathWorld|urlname=NormalSubgroup|title= normal subgroup}}
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Normal_subgroup Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics]
* [http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Algebra/Chapter1.pdf Robert Ash: Group Fundamentals in ''Abstract Algebra. The Basic Graduate Year'']
* [http://gowers.wordpress.com/2011/11/20/normal-subgroups-and-quotient-groups Timothy Gowers, Normal subgroups and quotient groups]
* [http://math.ucr.edu/home/baez/normal.html John Baez, What's a Normal Subgroup?]


{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de grupos]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]