Ver o código fonte de «Sección e retracción (teoría das categorías)»

[[Ficheiro:Section_retract.svg|miniatura|166x166px| <math>f</math> é unha retracción de <math>g</math>. E <math>g</math> é unha sección de <math>f</math>.]]
Na [[teoría das categorías]], unha '''sección''' é a [[Función inversa|inversa pola dereita]] dalgún [[morfismo]]. [[Dual (teoría de categorías)|Dualmente]], unha '''retracción''' é unha [[Función inversa|inversa pola esquerda]] dalgún [[morfismo]]. Noutras palabras, se <math>f: X\to Y</math> e <math>g: Y\to X</math> son morfismos cuxa composición <math>f \circ g: Y\to Y</math> é o [[Morfismo|morfismo de identidade]] <math>Y</math>, entón <math>g</math> é unha sección de <math>f</math>, e <math>f</math> é unha retracción de <math>g</math>.<ref>Mac Lane (1978, p.19).</ref>

Cada sección é un [[monomorfismo]] (todo morfismo cunha inversa pola esquerda é [[Esquerda-cancelación|cancelativo pola esquerda]]), e toda retracción é un [[epimorfismo]] (todo morfismo cunha inversa pola dereita é cancelativo pol dereita).

En [[álxebra]], as seccións tamén se denominan '''monomorfismos divididos''' e as retraccións tamén se denominan '''epimorfismos divididos'''. Nunha [[categoría abeliana]], se <math>f: X\to Y</math> é un epimorfismo dividido con monomorfismo dividido <math>g: Y\to X</math>, entón <math>X</math> é [[Isomorfismo|isomorfo]] á [[suma directa]] de <math>Y</math> e o [[Kernel (teoría das categorías)|kernel]] de <math>f</math>. 

== Propiedades ==

* Unha sección que tamén é un [[epimorfismo]] é un [[isomorfismo]]. Dualmente unha retracción que tamén é un [[monomorfismo]] é un isomorfismo.

== Terminoloxía ==
O concepto de retracción na teoría de categorías provén da noción esencialmente similar de [[Retracción (topoloxía)|retracción]] en [[topoloxía]]: <math> f:X \to Y </math> onde <math> Y </math> é un subespazo de <math> X </math> é unha retracción no sentido topolóxico, se é unha retracción do mapa de inclusión <math> i:Y\hookrightarrow X </math> no sentido da teoría das categorías. O concepto en topoloxía foi definido por [[Karol Borsuk]] en 1931.<ref>{{cita libro|author1-link=Karol Borsuk|title=Sur les rétractes|journal=[[Fundamenta Mathematicae]]|volume=17|year=1931|pages=152–170|doi=10.4064/fm-17-1-152-170|url=http://eudml.org/doc/212513|zbl=0003.02701}}</ref>

== Exemplos ==
Na [[categoría de conxuntos]], todo monomorfismo ([[función]] [[Función inxectiva|inxectiva]]) cun [[Dominio de definición|dominio]] [[Conxunto baleiro|non baleiro]] é unha sección, e todo epimorfismo ([[función sobrexectiva]]) é unha retracción; esta última afirmación é equivalente ao [[axioma da escolla]].

Na [[categoría de espazos vectoriais]] sobre un [[Corpo (álxebra)|corpo]] ''K'', cada monomorfismo e cada epimorfismo divídese; isto débese ao feito de que [[Aplicación linear|os mapas lineares]] poden ser definidos de forma única especificando os seus valores nunha [[Base (álxebra linear)|base]].

Na [[Categoría de grupos abelianos|categoría dos grupos abelianos]], o epimorfismo '''Z''' → '''Z'''/2'''Z''' que envía cada [[número enteiro]] ao seu resto [[Aritmética modular|módulo 2]] non se divide; de feito o único morfismo '''Z'''/2'''Z''' → '''Z''' é o [[Morfismo cero|mapa cero]]. Do mesmo xeito, o monomorfismo natural '''Z'''/2'''Z''' → '''Z'''/4'''Z''' non se divide aínda que haxa un morfismo non trivial '''Z'''/4'''Z''' → '''Z'''/2'''Z'''.

O concepto categórico de sección é importante na [[álxebra homolóxica]], e tamén está intimamente relacionado coa noción de [[Sección (fibrado)|sección]] dun [[fibrado|fibrado]] en [[topoloxía]]: neste último caso, unha sección dun fibrado é unha sección do fibrado do mapa de proxección do fibrado. 

Dado un [[Espazo cociente (topoloxía)|espazo cociente]] <math>\bar X</math> con mapa cociente <math>\pi\colon X \to \bar X</math>, unha sección de <math>\pi</math> chámase [[Transversal (combinatoria)|transversal]].

Sexan <math>\mathcal{A}</math> e <math>\mathcal{B}</math> dúas categorías e <math>F</math> sexa un [[functor]] covariante de <math>\mathcal{A}</math> en <math>\mathcal{B}</math>. Entón, se <math>u</math> é unha sección (respectivamente  unha retracción) de <math>v</math>, a frecha <math>F(u)</math> é unha sección (respectivamente unha retracción) de <math>F(v)</math><ref>{{cita libro|author1=[[Georges Poitou]]|author2=Paul Jaffard|título=Introduction aux catégories et aux problèmes universels|page = 66|location=París|publisher=Ediscience|date=1971}}.</ref>.

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
* {{cita libro |last=Mac Lane |first=Saunders|title=Categories for the working mathematician |publisher=[[Springer Verlag]] | edition = 2nd |date=1978 | author-link=Saunders Mac Lane}}
* {{cita libro |last=Barry |first=Mitchell |date=1965| title=Theory of categories | publisher = [[Academic Press]]}}
=== Outros artigos ===
*[[Lema de separación]]
*{{section link|Función inversa|Inversas pola dereita e pola esquerda}}

{{control de autoridades}}

[[Categoría:Teoría das categorías]]