Ver o código fonte de «Recta real estendida»


[[Ficheiro:Extended_Real_Numbers.png|dereita|miniatura| Números reais estendidos: a) Números reais estendidos afinmente e b) Números reais estendidos proxectivamente]]

En [[matemáticas]], o '''sistema de números reais estendido''' obtense a partir do sistema [[Número real|de números reais]] <math>\R</math> engadindo dous elementos [[Infinito|infinitos]]: <math>+\infty</math> e <math>-\infty,</math> {{Efn|Lese como "infinito positivo" e "infinito negativo" respectivavente. Ou tamén máis infinito e menos infinito}} onde os infinitos son tratados como números reais. É útil para describir a álxebra sobre infinitos e os distintos [[Límite dunha función|comportamentos limitantes]] en [[Cálculo infinitesimal|cálculo]] e [[análise matemática]], especialmente na teoría da [[Medida (matemáticas)|medida]] e da [[Integral|integración]].<ref>{{Cita web|url=https://www.maths.tcd.ie/~dwilkins/Courses/221/Extended.pdf|title=Section 6: The Extended Real Number System|last=Wilkins|first=David|date=2007|website=maths.tcd.ie|access-date=2019-12-03}}</ref> Denotase o sistema de números reais estendidos <math>\overline{\R}</math> ou <math>[-\infty, +\infty]</math> ou {{Nowrap|<math>\R\cup\left\{-\infty,+\infty\right\}.</math><ref name=":0">{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/AffinelyExtendedRealNumbers.html|title=Affinely Extended Real Numbers|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-12-03}}</ref>}} É o [[completamento de Dedekind–MacNeille]] dos números reais.

Cando o significado é claro polo contexto, o símbolo <math>+\infty</math> adoita escribirse simplemente como {{Nowrap|<math>\infty.</math><ref name=":0" />}}

Tamén está a [[recta real estendida proxectivamente]]  onde <math>+\infty</math> e <math>-\infty</math> non se distinguen polo que o infinito denotase só por  <math>\infty</math> .

== Motivación ==

=== Límites ===
Moitas veces é útil describir o comportamento dunha [[función]] <math>f</math> cando o argumento <math>x</math> ou o valor da función <math>f</math> faise "infinitamente grande" nalgún sentido. Por exemplo, considere a función <math>f</math> definido por

: <math>f(x) = \frac{1}{x^{2}}.</math>

A [[Gráfica dunha función|gráfica]] desta función ten unha [[asíntota]] horizontal en <math>y = 0.</math> Xeométricamente, ao moverse cada vez máis á dereita ao longo do eixo <math>x</math>, o valor de <math display="inline">{1}/{x^2}</math> [[Límite dunha función|achégase]] a {{Math|0}}. Este comportamento limitante é semellante ao [[límite dunha función]] <math display="inline">\lim_{x \to x_0} f(x)</math> no que o [[número real]] <math>x</math> aproxima a <math>x_0,</math> agás que non hai un número real ao que <math>x</math> se aproxime.

Ao engadir os elementos <math>+\infty</math> e <math>-\infty</math> a <math>\R,</math> isto permite a formulación dun "límite ao infinito", con propiedades [[Topoloxía|topolóxicas]] similares ás de <math>\R.</math>

Para facer as cousas completamente formais, a definición de secuencias de Cauchy en <math>\R</math> permite definir <math>+\infty</math> como o conxunto de todas as [[Sucesión (matemáticas)|secuencias]] <math>(a_n)</math> de [[Número racional|números racionais]] tal que cada <math>M \in \R</math> está asociado cun correspondente <math>N \in \N</math> para o cal <math>a_n > M</math> para todos <math>n > N.</math> A definición de <math>-\infty</math> pódese construír de xeito similar.

=== Medida e integración ===
Na [[Medida (matemáticas)|teoría da medida]], adoita ser útil permitir conxuntos que teñen [[Medida (matemáticas)|unha medida]] infinita e integrais cuxo valor pode ser infinito.

Esas medidas xorden naturalmente do cálculo. Por exemplo, ao asignar unha medida a <math>\R</math> que concorde coa lonxitude habitual dos [[Intervalo (matemáticas)|intervalos]], esta medida debe ser maior que calquera número real finito. Ademais, ao considerar [[Integral|integrais impropias]], como

: <math>\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}</math>

xorde o valor "infinito". Finalmente, adoita ser útil considerar o límite dunha secuencia de funcións, por exemplo

: <math>f_n(x) = \begin{cases}
2n(1-nx), & \mbox{if } 0 \leq x \leq \frac{1}{n} \\
0, & \mbox{if } \frac{1}{n} < x \leq 1
\end{cases}</math>

Sen permitir que as funcións tomen valores infinitos, resultados tan esenciais como o [[teorema da converxencia monótona]] e o [[Teorema de converxencia dominado|teorema da converxencia dominada]] non terían sentido.

== Operacións aritméticas ==
As operacións aritméticas de <math>\R</math> pódense estender parcialmente a <math>\overline\R</math> do seguinte xeito: 

: <math display="block">\begin{align}
a \pm \infty = \pm\infty + a & = \pm\infty, & a & \neq \mp\infty \\
a \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot a & = \pm\infty, & a & \in (0, +\infty] \\
a \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot a & = \mp\infty, & a & \in [-\infty, 0) \\
\frac{a}{\pm\infty} & = 0, & a & \in \mathbb{R} \\
\frac{\pm\infty}{a} & = \pm\infty, & a & \in (0, +\infty) \\
\frac{\pm\infty}{a} & = \mp\infty, & a & \in (-\infty, 0)
\end{align}</math>

As expresións <math>\infty - \infty, 0 \times (\pm\infty)</math> e <math>\pm\infty/\pm\infty</math> (chamadas [[Forma indeterminada|formas indeterminadas]] ) adoitan quedar sen definir. Estas regras están modeladas nas leis de [[Límite dunha función|límites infinitos]]. Non obstante, no contexto da teoría da [[Teoría da probabilidade|probabilidade]] ou da medida, <math>0 \times \pm\infty</math> a miúdo defínese como {{Nowrap|<math>0.</math><ref>{{Cite web|url=https://ncatlab.org/nlab/show/extended+real+number|title=extended real number in nLab|website=ncatlab.org|access-date=2019-12-03}}</ref>}}

== Varios ==
Varias funcións pódense estender con continuidade a <math>\overline\R</math> tomando límites. Por exemplo, pódense definir os puntos extremos das seguintes funcións como:

: <math>\exp(-\infty) = 0,</math>
: <math>\ln(0) = -\infty,</math>
: <math>\tanh(\pm\infty) = \pm 1,</math>
: <math>\arctan(\pm\infty) = \pm\frac{\pi}{2}.</math>

Tamén se poden eliminar algunhas [[Singularidade (matemáticas)|singularidades]]. Por exemplo, a función <math>1/x^2</math> pódese estender con continuidade a <math>\overline\R</math> (baixo ''algunhas'' definicións de continuidade), estabelecendo o valor en <math>+\infty</math> para <math>x = 0,</math> e <math>0 </math> para <math>x = +\infty</math> e <math>x = -\infty.</math> Por outra banda, a función <math>1/x</math> ''non'' se pode estender con continuidade, porque a función se achega a <math>-\infty</math> cando <math>x</math> aproxima a <math>0 </math> dende abaixo, e <math>+\infty</math> cando <math>x</math> aproxima a <math>0 </math> desde arriba, é dicir, a función non converxe ao mesmo valor cando a súa variábel independente tamén se achega ao mesmo elemento do dominio tanto do lado positivo como do negativo.
== Notas ==
{{reflist|30em}} 
{{Reflist|group=lower-alpha}}

== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
* {{cita libro
 | last1 = Aliprantis | first1 = Charalambos D.
 | last2 = Burkinshaw | first2 = Owen
 | edition = 3rd
 | isbn = 0-12-050257-7
 | location = San Diego, CA
 | mr = 1669668
 | page = 29
 | publisher = Academic Press, Inc.
 | title = Principles of Real Analysis
 | url = https://books.google.com/books?id=m40ivUwAonUC&pg=PA29
 | year = 1998}}
* {{MathWorld|author= David W. Cantrell|title=Affinely Extended Real Numbers|urlname=AffinelyExtendedRealNumbers}}

=== Outros artigos ===
* [[División por cero]].
* [[Infinito]].



{{control de autoridades}}
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]