Ver o código fonte de «Números de Euler»

{{non confundir|Número euleriano|Número de Euler}}
En [[matemáticas]], os '''números de Euler''' son unha [[Sucesión (matemáticas)|secuencia]] ''E<sub>n</sub>'' de [[Número enteiro|enteiros]] {{OEIS|id=A122045}}    definida pola expansión da [[serie de Taylor]]

: <math>\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_n}{n!} \cdot t^n</math> ,

onde <math>\cosh (t)</math> é a [[Función hiperbólica|función coseno hiperbólica]]. Os números de Euler están relacionados cos [[Polinomios de Bernoulli|polinomios de Euler]], <math>E_n(x)</math> avaliados no valor <math>\frac{1}{2}</math>, a saber:

: <math>E_n=2^nE_n(\tfrac 12).</math>

Os números de Euler aparecen nas expansións da [[serie de Taylor]] das funcións [[Función trigonométrica|secante]] e [[Función hiperbólica|secante hiperbólica]]. Esta última é a función na definición. Tamén ocorren en [[combinatoria]], concretamente cando se conta o número de [[permutacións alternadas]] dun conxunto cun número par de elementos.

== Exemplos ==
Os números de Euler impares son todos [[cero]]. Os de índice par {{OEIS|id=A028296}}     teñen signos alternados. Algúns valores son:

== Fórmulas explícitas ==

=== En termos de números de Stirling do segundo tipo ===
As dúas fórmulas seguintes expresan os números de Euler en termos de [[números de Stirling do segundo tipo]]:<ref>{{cita revista | first1=Sumit Kumar | last1= Jha | title=A new explicit formula for Bernoulli numbers involving the Euler number | journal=Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory | volume=8 | issue=4 | pages=385–387 | year=2019 | url= https://projecteuclid.org/euclid.moscow/1572314455| doi= 10.2140/moscow.2019.8.389  }}</ref><ref>{{cita web |url=https://osf.io/smw7h/ |title=A new explicit formula for the Euler numbers in terms of the Stirling numbers of the second kind |last=Jha |first=Sumit Kumar |date= 15 November 2019}}</ref>


: <math> E_{n}=2^{2n-1}\sum_{\ell=1}^{n}\frac{(-1)^{\ell}S(n,\ell)}{\ell+1}\left(3\left(\frac{1}{4}\right)^{\overline{\ell\phantom{.}}}-\left(\frac{3}{4}\right)^{\overline{\ell\phantom{.}}}\right), </math>
: <math> E_{2n}=-4^{2n}\sum_{\ell=1}^{2n}(-1)^{\ell}\cdot \frac{S(2n,\ell)}{\ell+1}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{\overline{\ell\phantom{.}}},</math>

onde <math> S(n,\ell) </math> denota os números de Stirling do segundo tipo, e <math> x^{\overline{\ell\phantom{.}}}=(x)(x+1)\cdots (x+\ell-1) </math> denota o [[Factorial descendente e ascendente|factorial ascendente]].

=== Como dobre suma ===
As dúas fórmulas seguintes expresan os números de Euler como sumas dobres<ref>{{cita xornal | first1=Chun-Fu | last1= Wei | first2=Feng | last2=Qi | title=Several closed expressions for the Euler numbers | journal=Journal of Inequalities and Applications | volume=219 | issue=2015| year=2015 | doi= 10.1186/s13660-015-0738-9 }}
</ref>

: <math>E_{2n}=(2 n+1)\sum_{\ell=1}^{2n} (-1)^{\ell}\frac{1}{2^{\ell}(\ell +1)}\binom{2 n}{\ell}\sum _{q=0}^{\ell}\binom{\ell}{q}(2q-\ell)^{2n}, </math>
: <math>E_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k} \frac{1}{2^{k}}\sum_{\ell=0}^{2k}(-1)^{\ell } \binom{2k}{\ell}(k-\ell)^{2n}. </math>

=== Como suma iterada ===
Unha [[Forma pechada|fórmula explícita]] para os números de Euler é:<ref>{{cita web |url=https://oeis.org/A000111/a000111.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20140409060145/http://oeis.org/A000111/a000111.pdf |archive-date=2014-04-09 |title=An Explicit Formula for the Euler zigzag numbers (Up/down numbers) from power series |last=Tang |first=Ross |date= 2012-05-11}}
</ref>
: <math>E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1} \sum _{\ell=0}^k \binom{k}{\ell}\frac{(-1)^\ell(k-2\ell)^{2n+1}}{2^k i^k k},</math>

onde {{Mvar|i}} denota a [[unidade imaxinaria]] con {{Math|''i''<sup>2</sup> {{=}} −1}}.

=== Como suma sobre particións ===
O número de Euler {{Math|''E''<sub>2''n''</sub>}} pódese expresar como unha suma sobre as [[Partición de enteiros|particións]] pares de {{Math|2''n''}},<ref>{{cita xornal | first1=David C. | last1= Vella | title=Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers | journal=Integers | volume=8 | issue=1 | pages=A1 | year=2008 | url= http://www.integers-ejcnt.org/vol8.html}}</ref>

: <math> E_{2n} = (2n)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq n} \binom K {k_1, \ldots, k_n}
	\delta_{n,\sum mk_m} \left( -\frac{1}{2!} \right)^{k_1} \left( -\frac{1}{4!} \right)^{k_2}
	\cdots \left( -\frac{1}{(2n)!} \right)^{k_n} ,</math>

así como unha suma sobre as particións impares de {{Math|2''n'' − 1}}, 

: <math> 	 E_{2n} = (-1)^{n-1} (2n-1)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq 2n-1}
  \binom K {k_1, \ldots, k_n}
  \delta_{2n-1,\sum (2m-1)k_m }  \left( -\frac{1}{1!} \right)^{k_1} \left( \frac{1}{3!} \right)^{k_2}
  \cdots \left( \frac{(-1)^n}{(2n-1)!} \right)^{k_n} , </math>

onde en ambos os casos {{Math|''K'' {{=}} ''k''<sub>1</sub> + ··· + ''k<sub>n</sub>''}} e

: <math> \binom K {k_1, \ldots, k_n}
     \equiv \frac{ K!}{k_1! \cdots k_n!}</math>

é un [[Teorema multinomial|coeficiente multinomial]]. Os [[Delta de Kronecker|deltas de Kronecker]] nas fórmulas anteriores restrinxen as sumas sobre os {{Mvar|k}}s a {{Math|2''k''<sub>1</sub> + 4''k''<sub>2</sub> + ··· + 2''nk<sub>n</sub>'' {{=}} 2''n''}} e a {{Math|''k''<sub>1</sub> + 3''k''<sub>2</sub> + ··· + (2''n'' − 1)''k<sub>n</sub>'' {{=}} 2''n'' − 1}}, respectivamente.

Como exemplo,

: <math>
\begin{align}
E_{10} & = 10! \left( - \frac{1}{10!} + \frac{2}{2!\,8!} + \frac{2}{4!\,6!}
	- \frac{3}{2!^2\, 6!}- \frac{3}{2!\,4!^2} +\frac{4}{2!^3\, 4!} - \frac{1}{2!^5}\right) \\[6pt]
& = 9! \left( - \frac{1}{9!} + \frac{3}{1!^2\,7!} + \frac{6}{1!\,3!\,5!}
	+\frac{1}{3!^3}- \frac{5}{1!^4\,5!} -\frac{10}{1!^3\,3!^2} + \frac{7}{1!^6\, 3!} - \frac{1}{1!^9}\right) \\[6pt]
& = -50\,521.
\end{align}
</math>

=== Como determinante ===
{{Math|''E''<sub>2''n''</sub>}} is given by the [[Determinante (matemáticas)|determinant]]

: <math>
\begin{align}
E_{2n} &=(-1)^n (2n)!~ \begin{vmatrix}  \frac{1}{2!}& 1 &~& ~&~\\
                               \frac{1}{4!}& \frac{1}{2!} & 1 &~&~\\
                                 \vdots & ~ & \ddots~~ &\ddots~~ & ~\\
                                \frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& ~&\frac{1}{2!} & 1\\
                                \frac{1}{(2n)!}&\frac{1}{(2n-2)!}& \cdots & \frac{1}{4!} & \frac{1}{2!}\end{vmatrix}.

\end{align}
 </math>

=== Como integral ===
{{Math|''E''<sub>2''n''</sub>}} is also given by the following integrals:

: <math>
\begin{align}
(-1)^n E_{2n} & = \int_0^\infty \frac{t^{2n}}{\cosh\frac{\pi t}2}\; dt =\left(\frac2\pi\right)^{2n+1} \int_0^\infty \frac{x^{2n}}{\cosh x}\; dx\\[8pt]
&=\left(\frac2\pi\right)^{2n} \int_0^1\log^{2n}\left(\tan \frac{\pi t}{4} \right)\,dt =\left(\frac2\pi\right)^{2n+1}\int_0^{\pi/2} \log^{2n}\left(\tan \frac{x}{2} \right)\,dx\\[8pt]
&= \frac{2^{2n+3}}{\pi^{2n+2}} \int_0^{\pi/2} x \log^{2n} (\tan x)\,dx = \left(\frac2\pi\right)^{2n+2} \int_0^\pi \frac{x}{2} \log^{2n} \left(\tan \frac{x}{2} \right)\,dx.\end{align}
 </math>

== Límite inferior ==
Os números de Euler medran bastante rapidamente para índices grandes, xa que teñen o seu límite inferior

: <math> |E_{2 n}| > 8 \sqrt { \frac{n}{\pi} } \left(\frac{4 n}{ \pi e}\right)^{2 n}. </math>

== Números en zigzag de Euler ==
A [[serie de Taylor]] <math>\sec x + \tan x = \tan\left(\frac\pi4 + \frac x2\right)</math> é

: <math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{A_n}{n!}x^n,</math>

onde {{Mvar|A<sub>n</sub>}} son os [[Permutación alternada|números en zigzag de Euler]], comezando por

: 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 19037573145, 19037573151, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832,... {{OEIS|id=A000111}}    

Para todos os {{Mvar|n}} pares temos

: <math>A_n = (-1)^\frac{n}{2} E_n,</math>

onde {{Mvar|''E<sub>n</sub>''}} é o número de Euler.  

Para todo {{Mvar|n}} impar temos,

: <math>A_n = (-1)^\frac{n-1}{2}\frac{2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1},</math>

onde {{Mvar|''B<sub>n</sub>''}} son os [[Número de Bernoulli|números de Bernoulli]].

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
=== Outros artigos ===
* [[Número de Bernoulli]].
* [[Constante de Euler-Mascheroni]]
=== Ligazóns externas ===
* {{springer|title=Euler numbers|id=p/e036540}}
* {{MathWorld|urlname=EulerNumber|title=Euler number}}

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de números]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]