Ver o código fonte de «Número triangular»


[[Ficheiro:First_six_triangular_numbers.svg|miniatura| Os seis primeiros números triangulares ]]
Un '''número triangular''' conta os obxectos colocados en forma de [[triángulo equilátero]]. O {{Math|''n''}}-ésimo número triangular é o número de puntos na disposición triangular con {{Math|''n''}} puntos a cada lado (ver figura), e é igual á suma dos {{Math|''n''}} [[Número natural|números naturais]] de 1 a {{Math|''n''}}. A secuencia de números triangulares, comezando co número triangular 0, é
{{Bloque indentado|0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...|left=1.6}}
{{OEIS|id=A000217}}

== Fórmula ==
{{Pascal triangle simplex numbers.svg|2=triangular numbers}}Os números triangulares veñen dados polas seguintes fórmulas explícitas:
{{Bloque indentado|<math>\displaystyle
\begin{align} T_n&= \sum_{k=1}^n k = 1+2+ \dotsb +n \\
& = \frac{n^2+n}{2} = \frac{n(n+1)}{2} \\
& = {n+1 \choose 2}
\end{align}</math>|left=1.6}}
O feito de que o <math>n</math> o número triangular é igual <math>n(n+1)/2</math> pódese ilustrar mediante unha proba visual.<ref>{{cita web|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/triangular-numbers.html|title=Triangular Number Sequence|páxinaweb=Math Is Fun}}</ref> O exemplo <math>T_4</math>:
{{Bloque indentado|<math> 2T_4 = 4(4+1) = 20 </math> (verdes e amarelas) implica que <math>T_4 = \frac{4(4+1)}{2} = 10 </math> (verdes).&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[File:Illustration of Triangular Number T 4 Leading to a Rectangle (yellow-green).svg]]}}

O número triangular {{Math|''T''<sub>''n''</sub>}} resolve o '''problema do apretón de mans''' de contar o número de apretóns de mans se cada persoa nunha habitación con {{Math|''n'' + 1}} persoas dá a man unha vez a cada persoa. Noutras palabras, a solución ao problema do apretón de mans de {{Math|''n''}} persoas é {{Math|''T''<sub>''n''−1</sub>}}.<ref>{{cita web |url=http://www.mathcircles.org/node/835 |title=The Handshake Problem &#124; National Association of Math Circles |páxinaweb=MathCircles.org |access-date=12 January 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160310182700/http://www.mathcircles.org/node/835 |archive-date=10 March 2016 }}</ref> A función {{Math|''T''}} é o análogo aditivo da función [[factorial]], que son os ''produtos'' de números enteiros de 1 a {{Math|''n''}}.

== Relacións con outros números figurados ==
Os números triangulares teñen unha gran variedade de relacións con outros [[Número figurado|números figurados]] (números que forman figuras).

Simplemente, a suma de dous números triangulares consecutivos é un número cadrado. Alxebraicamente,<math display="block">T_n + T_{n-1} = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{\left(n-1\right)^2}{2} + \frac{n-1}{2} \right ) = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} \right ) = n^2 = (T_n - T_{n-1})^2.</math>Hai infinitos números triangulares que tamén son números cadrados; por exemplo, 1, 36, 1225. Algúns deles pódense xerar mediante unha fórmula recursiva sinxela:<math display="block">S_{n+1} = 4S_n \left( 8S_n + 1\right)</math>con <math>S_1 = 1.</math>

''Todos'' os números triangulares cadrados atópanse a partir da recursividade<math display="block">S_n = 34S_{n-1} - S_{n-2} + 2</math>con <math>S_0 = 0</math> e <math>S_1 = 1.</math>

Ademais, o cadrado do {{Math|''n''}}-ésimo número triangular é o mesmo que a suma dos cubos dos enteiros de 1 a {{Math|''n''}}. Isto tamén se pode expresar como<math display="block"> \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\sum_{k=1}^n k \right)^2.</math>A suma dos {{Mvar|n}} primeiros números triangulares é o {{Math|''n''}} ésimo [[número tetraédrico]]:<math display="block"> \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} = \frac {n(n+1)(n+2)} {6}.</math>A diferenza positiva de dous números triangulares é un [[número trapezoidal]].

== Outras propiedades ==
Os números triangulares corresponden ao caso de primeiro grao da [[fórmula de Faulhaber]].

Os números triangulares alternados (1, 6, 15, 28, ...) tamén son números hexagonais.

Todo [[número perfecto]] par é triangular (así como hexagonal), dado pola fórmula<math display="block">M_p 2^{p-1} = \frac{M_p (M_p + 1)}2 = T_{M_p}</math>onde {{Math|''M<sub>p</sub>''}} é un [[Número primo de Mersenne|primo de Mersenne]]. Non se coñecen números perfectos impares; polo tanto, todos os números perfectos coñecidos son triangulares.

Por exemplo, o terceiro número triangular é (3 × 2 =) 6, o sétimo é (7 × 4 =) 28, o 31 é (31 × 16 =) 496 e o 127 é (127 × 64 =) 8128.

A suma dos [[elemento inverso|recíprocos]] de todos os números triangulares distintos de cero é<math display="block"> \sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {{n^2 + n} \over 2}} = 2\sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {n^2 + n}} = 2 .</math>Isto pódese mostrar usando a suma básica dunha '''serie telescópica''' (serie onde se eliminan elementos consecutivos por pares, ficando só o primeiro):<math display="block"> \sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {n(n+1)}} =\sum_{n=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \Big)=\sum_{n=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \cdots \Big)= 1.</math>Outras dúas fórmulas relativas aos números triangulares son<math display="block">T_{a+b} = T_a + T_b + ab</math>e<math display="block">T_{ab} = T_aT_b + T_{a-1}T_{b-1},</math>En 1796, Gauss descubriu que todo número enteiro positivo é representable como unha suma de tres números triangulares (posiblemente incluíndo {{Math|''T''<sub>0</sub>}} = 0), escribindo no seu diario as súas famosas palabras, " [[Eureka!|ΕΥΡΗΚΑ!]] {{Nowrap|1=num = Δ + Δ + Δ}} ". 

O maior número triangular da forma {{Math|2<sup>''k''</sup> −&thinsp;1}} é 4095 (ver a [[Ecuación de Ramanujan-Nagell|ecuación de Ramanujan–Nagell]] ).

[[Wacław Sierpiński|Wacław Franciszek Sierpiński]] formulou a pregunta sobre a existencia de catro números triangulares distintos en [[progresión xeométrica]]. Foi conxecturado polo matemático polaco [[Kazimierz Szymiczek]] como imposible e máis tarde foi probado por Fang e Chen en 2007.<ref>[http://www.emis.de/journals/INTEGERS/papers/h19/h19.pdf Chen, Fang: Triangular numbers in geometric progression]</ref> <ref>[http://www.emis.de/journals/INTEGERS/papers/h57/h57.pdf Fang: Nonexistence of a geometric progression that contains four triangular numbers]</ref>

As fórmulas que implican expresar un número enteiro como suma de números triangulares están conectadas coas [[Función theta|funcións theta]], en particular á [[función theta de Ramanujan]].<ref>{{Cita libro|last=Liu|first=Zhi-Guo|date=2003-12-01|title=An Identity of Ramanujan and the Representation of Integers as Sums of Triangular Numbers|journal=The Ramanujan Journal|language=en|volume=7|issue=4|pages=407–434|doi=10.1023/B:RAMA.0000012425.42327.ae|issn=1382-4090}}</ref><ref>{{cite arXiv|last=Sun|first=Zhi-Hong|date=2016-01-24|title=Ramanujan's theta functions and sums of triangular numbers|eprint=1601.06378|class=math.NT}}</ref>

== Aplicacións ==
[[File:Central polygonal numbers.svg|thumb|{{{1|right}}}|O número máximo de partes, ''p'' que obtemos con ''n'' cortes rectos é o ''n''-ésimo número triangular máis un, formando a secuencia {{OEIS|id=A000124}}]]
Unha [[Topoloxía de rede|rede totalmente conectada]] de {{Math|''n''}} dispositivos informáticos require a presenza de {{Math|''T''<sub>''n'' −&thinsp;1</sub>}} cabos ou outras conexións.

Nun formato de torneo que utiliza unha [[Campionato|fase de grupos]] round-robin, o número de partidos que hai que xogar entre {{Math|''n''}} equipos é igual ao número triangular {{Math|''T''<sub>''n'' −&thinsp;1</sub>}}. Por exemplo, unha fase de grupos con 4 equipos require 6 partidos, e unha fase de grupos con 8 equipos require 28 partidos.

Usado tamén no [[problema bovino de Arquímedes]].

== Raíces triangulares e probas de números triangulares ==
Por analoxía coa [[raíz cadrada]] de {{Mvar|x}}, pódese definir a raíz triangular (positiva) de {{Mvar|x}} como o número {{Math|''n''}} tal que {{Math|1=''T''<sub>''n''</sub> = ''x''}}: <math display="block">n = \frac{\sqrt{8x+1}-1}{2}</math>que segue inmediatamente da [[ecuación de segundo grao|fórmula cadrática]]. Polo tanto, un número enteiro {{Mvar|x}} é triangular se e só se {{Math|8''x'' + 1}} é un cadrado. De forma equivalente, se a raíz triangular positiva {{Mvar|n}} de {{Mvar|x}} é un número enteiro, entón {{Mvar|x}} é o {{Mvar|n}}-ésimo número triangular.

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==

{{Commonscat}} 


=== Ligazóns externas ===
* {{SpringerEOM|title=Arithmetic series|id=p/a013370}}
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/numbers.shtml#square Triangular numbers] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/triSquare.shtml There exist triangular numbers that are also square] at [[cut-the-knot]]
* {{MathWorld|urlname=TriangularNumber|title=Triangular Number}}
* [http://rhubbarb.wordpress.com/2009/04/23/hypertetrahedral-polytopic-roots/ Hypertetrahedral Polytopic Roots] by Rob Hubbard, 

{{control de autoridades}}

[[Categoría:Teoría de números]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]