Ver o código fonte de «Número de Bernoulli»

{| class="wikitable" style="text-align: right; float:right; clear:right; margin-left:1em;"
|+Números de Bernoulli {{Math|''B''{{su|p=±|b=''n''}}}} 
!{{Mvar|n}}
!fracción
!decimal
|-
|0
|1
| +1.000000000
|-
|1
|±{{Sfrac|1|2}}
|±0.500000000
|-
|2
|
| +0.166666666
|- style="background:#ABE"
|3
|0
| +0.000000000
|-
|4
|−{{Sfrac|1|30}}
|−0.033333333
|- style="background:#ABE"
|5
|0
| +0.000000000
|-
|6
|
| +0.023809523
|- style="background:#ABE"
|7
|0
| +0.000000000
|-
|8
|−{{Sfrac|1|30}}
|−0.033333333
|- style="background:#ABE"
|9
|0
| +0.000000000
|-
|10
|
| +0.075757575
|- style="background:#ABE"
|11
|0
| +0.000000000
|-
|12
|−{{Sfrac|691|2730}}
|−0.253113553
|- style="background:#ABE"
|13
|0
| +0.000000000
|-
|14
|
| +1.166666666
|- style="background:#ABE"
|15
|0
| +0.000000000
|-
|16
|−{{Sfrac|3617|510}}
|−7.092156862
|- style="background:#ABE"
|17
|0
| +0.000000000
|-
|18
|
| +54.97117794
|- style="background:#ABE"
|19
|0
| +0.000000000
|-
|20
|−{{Sfrac|174611|330}}
|−529.1242424
|}

En [[matemáticas]], os '''números de Bernoulli''' {{Math|''B''<sub>''n''</sub>}} son unha [[Sucesión (matemáticas)|sucesión]] de [[Número racional|números racionais]] que ocorren con frecuencia na [[análise matemática]]. Os números de Bernoulli aparecen na (e poden definirse por) expansión da [[serie de Taylor]] das funcións [[Función trigonométrica|tanxente]] e [[Función hiperbólica|tanxente hiperbólica]], na [[fórmula de Faulhaber]] para a suma das ''m-avas potencias'' dos primeiros ''n'' enteiros positivos, na [[fórmula de Euler-Maclaurin]], e en expresións para certos valores da [[función zeta de Riemann]].

Os valores dos primeiros 20 números de Bernoulli están indicados na táboa adxacente. Na literatura utilízanse dúas convencións, denotadas aquí por <math>B^{-{}}_n</math> e <math>B^{+{}}_n</math>; difiren só para {{Math|''n'' {{=}} 1}}, onde <math>B^{-{}}_1=-1/2</math> e <math>B^{+{}}_1=+1/2</math>. Para todo impar {{Math|''n'' > 1}}, {{Math|''B''<sub>''n''</sub> {{=}} 0}}. Para todo {{Math|''n'' > 0}} par, {{Math|''B''<sub>''n''</sub>}} é negativo se {{Math|''n''}} é divisíbel por 4 e positivo no caso contrario. Os números de Bernoulli son valores especiais dos [[polinomios de Bernoulli]] <math>B_n(x)</math>, con <math>B^{-{}}_n=B_n(0)</math> e <math>B^+_n=B_n(1)</math>.<ref name=Weisstein2016>{{mathworld|id=BernoulliNumber |title=Bernoulli Number|mode=cs2}}</ref>

== Notación ==
O superíndice {{Math|±}} usado neste artigo distingue as dúas convencións de signos para os números de Bernoulli. Só afecta ao termo {{Math|''n'' {{=}} 1}}:

* {{Math|''B''{{su|p=−|b=''n''}}}} with {{Math|''B''{{su|p=−|b=1}} {{=}} −{{sfrac|1|2}}}}<templatestyles src="Sfrac/styles.css" />{{Math|''B''{{su|p=−|b=1}} {{=}}  −{{sfrac|1|2}}}} ({{OEIS|id=A027641}} / {{OEIS|id=A027642}}) é a convención de signos prescrita polo NIST e a maioría dos libros de texto modernos.{{Sfnp|Arfken|1970|p=278}}
* {{Math|''B''{{su|p=+|b=''n''}}}} with {{Math|''B''{{su|p=+|b=1}} {{=}} +{{sfrac|1|2}}}}<templatestyles src="Sfrac/styles.css" />{{Math|''B''{{su|p=+|b=1}} {{=}} +{{sfrac|1|2}}}} ({{OEIS|id=A164555}} / {{OEIS|id=A027642}}) utilizouse nos artigos antigos,{{R|Weisstein2016}} e (desde 2022) por [[Donald Knuth]] seguindo o "Bernoulli Manifesto" de Peter Luschny.

Nas fórmulas seguintes, pódese mudar dunha convención de signos a outra coa relación <math>B_n^{+}=(-1)^n B_n^{-}</math>, ou para o número enteiro {{Mvar|n}} = 2 ou maior, simplemente ignoralo.

Dado que {{Math|''B''{{sub|''n''}} {{=}} 0}} para todos {{Math|''n'' > 1}}, e moitas fórmulas só implican números de Bernoulli de índice par, algúns autores escriben " {{Math|''B''{{sub|''n''}}}}" en lugar de {{Math|''B''{{sub|2''n''}}&nbsp;}}. Este artigo non segue esa notación.

== Historia ==

=== Primeiros tempos ===
Os números de Bernoulli teñen raíces na historia do cálculo de sumas de potencias enteiras, que foron de interese para os matemáticos desde a antigüidade.
[[Ficheiro:Seki_Kowa_Katsuyo_Sampo_Bernoulli_numbers.png|dereita|miniatura| Unha páxina do ''Katsuyō Sanpō'' de Seki Takakazu (1712), que tabula coeficientes binomiais e números de Bernoulli.]]
O resultado de Bernoulli foi publicado póstumamente en ''Ars Conjectandi'' en 1713. [[Seki Takakazu]] descubriu independentemente os números de Bernoulli e o seu resultado foi publicado un ano antes, tamén póstumamente, en 1712.<ref name=Selin1997_891>{{cita libro |editor-last=Selin |editor-first=Helaine | editor-link=Helaine Selin |date=1997 |title=Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures |isbn=0-7923-4066-3 |at=p. 819 (p. 891) |publisher=Springer}} </ref> Porén, Seki non presentou o seu método como unha fórmula baseada nunha secuencia de constantes.

A fórmula de Bernoulli para as sumas de potencias é a formulación máis útil e xeneralizábel ata a data. Os coeficientes da fórmula de Bernoulli chámanse agora números de Bernoulli, seguindo unha suxestión de [[Abraham de Moivre]].

A fórmula de Bernoulli chámase ás veces [[fórmula de Faulhaber]] por [[Johann Faulhaber]] quen atopou formas notábeis de calcular a suma de potencias pero nunca enunciou a fórmula de Bernoulli. Segundo Knuth{{Sfnp|Knuth|1993}} [[Carl Gustav Jacob Jacobi|Carl Jacobi]] publicou por primeira vez unha proba rigorosa da fórmula de Faulhaber en 1834.<ref name=Jacobi1834>{{cita revista |last=Jacobi |first=C.G.J. |author-link=Carl Gustav Jacob Jacobi |title=De usu legitimo formulae summatoriae Maclaurinianae |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume=12 |date=1834 |pages=263–272 |url=https://zenodo.org/record/1448824 }}</ref>

=== Reconstrución de "Summae Potestatum" ===
[[Ficheiro:JakobBernoulliSummaePotestatum.png|dereita|miniatura|"Summae Potestatum", de Jakob Bernoulli, 1713⋮
<ref>
* {{cita web |last=Smith |first=David Eugene |date= 1929   |title= A Source Book in Mathematics 8capítulo: Jacques (I) Bernoulli: On the  'Bernoulli Numbers') |url=https://archive.org/details/sourcebookinmath00smit/page/85 |location=New York |publisher=McGraw-Hill Book Co. |pages=85–90 }}
* {{cita web |last=Bernoulli |first=Jacob |date=1713 |title=Ars Conjectandi |url=https://archive.org/details/jacobibernoulli00bern/page/97 |location=Basel |publisher=Impensis Thurnisiorum, Fratrum |pages=97–98 |doi=10.5479/sil.262971.39088000323931}}}}</ref>]]
Os números de Bernoulli {{OEIS|id=A164555}} (n)/ OEIS {{OEIS|id=A027642}} (n) foron introducidos por Jakob Bernoulli no libro ''Ars Conjectandi'' publicado póstumamente en 1713, páxina 97. A fórmula principal pódese ver na segunda metade do facsímile correspondente. Os coeficientes constantes denotados {{Math|''A''}}, {{Math|''B''}}, {{Math|''C''}} e {{Math|''D''}} por Bernoulli son mapeados coa notación que agora prevalece como {{Math|''A'' {{=}} ''B''<sub>2</sub>}}, {{Math|''B'' {{=}} ''B''<sub>4</sub>}}, {{Math|''C'' {{=}} ''B''<sub>6</sub>}}, {{Math|''D'' {{=}} ''B''<sub>8</sub>}}. A expresión {{Math|''c''·''c''−1·''c''−2·''c''−3}} significa {{Math|''c''·(''c''−1)·(''c''−2)·(''c''−3)}}, os pequenos puntos úsanse como símbolos de agrupación. 

Usando a terminoloxía actual estas expresións son [[Factorial descendente e ascendente|factoriais descendentes]] {{Math|''c''<sup>{{underline|''k''}}</sup>}}. A notación factorial {{Math|''k''!}} como atallo para {{Math|1 × 2 × ... × ''k''}}  non se introduciu ata 100 anos despois. O símbolo integral do lado esquerdo remóntase a [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] en 1675 que o usou como unha letra longa {{Math|''S''}} para "summa" (suma).  A letra {{Math|''n''}} do lado esquerdo non é un índice de [[Sumatorio|suma,]] senón que dá o límite superior do intervalo de suma que debe entenderse como {{Math|1, 2, ..., ''n''}} . Xuntando estas cousas, para un {{Math|''c''}} positivo, hoxe é probábel que un matemático escriba a fórmula de Bernoulli como:

: <math> \sum_{k=1}^n k^c = \frac{n^{c+1}}{c+1}+\frac 1 2 n^c+\sum_{k=2}^c \frac{B_k}{k!} c^{\underline{k-1}}n^{c-k+1}.</math>

Esta fórmula suxire estabelecer {{Math|''B''<sub>1</sub> {{=}} {{sfrac|1|2}}}}, así temos

: <math> \sum_{k=1}^n k^c = \sum_{k=0}^c \frac{B_k}{k!}c^{\underline{k-1}} n^{c-k+1}</math>

se {{Math|''B''<sub>1</sub> {{=}} 1/2}}, recuperando o valor que Bernoulli lle deu ao coeficiente nesa posición.

A fórmula para <math>\textstyle \sum_{k=1}^n k^9</math> na primeira metade da cita de Bernoulli anterior contén un erro no último termo; debería ser <math>-\tfrac {3}{20}n^2</math> en vez de <math>-\tfrac {1}{12}n^2</math>.

== Definicións ==
Atopáronse moitas caracterizacións dos números de Bernoulli nos últimos 300 anos, e cada unha delas podería usarse para introducir estes números. Aquí só se mencionan catro das máis útiles:

* unha ecuación recursiva,
* unha fórmula explícita,
* unha función xeradora,
* unha expresión integral.

Para a proba da equivalencia dos catro enfoques podemos ver a referencia de Ireland e Rosen<ref>Ver {{Harvp|Ireland|Rosen|1990}} ou {{Harvp|Conway|Guy|1996}}.</ref>.

=== Definición recursiva ===
Os números de Bernoulli obedecen ás fórmulas de suma {{R|Weisstein2016}}

: <math> \begin{align} \sum_{k=0}^{m}\binom {m+1} k B^{-{}}_k &= \delta_{m, 0} \\ \sum_{k=0}^{m}\binom {m+1} k B^{+{}}_k &= m+1 \end{align}</math>

onde <math>m=0,1,2...</math> e {{Math|''δ''}} denota o [[delta de Kronecker]].

A primeira delas ás veces escríbese  como a fórmula (para m > 1) 
:<math>(B+1)^m-B_m=0,</math> 
onde a potencia se expande formalmente usando o teorema binomial e <math>B^k</math> substitúese por <math>B_k</math>.

Resolvendo para <math>B^{\mp{}}_m</math> dá as fórmulas recursivas 

: <math>\begin{align}
 B_m^{-{}} &= \delta_{m, 0} - \sum_{k=0}^{m-1} \binom{m}{k} \frac{B^{-{}}_k}{m - k + 1}, \\
 B_m^+ &= 1 - \sum_{k=0}^{m-1} \binom{m}{k} \frac{B^+_k}{m - k + 1}.
\end{align}</math>

=== Definición explícita ===
En 1893 Louis Saalschütz enumerou un total de 38 fórmulas explícitas para os números de Bernoulli,<ref name="Saalschütz1893">{{cita libro |last=Saalschütz |first=Louis |date=1893 |title=Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, ihren Zusammenhang mit den Secanten-Coefficienten und ihre wichtigeren Anwendungen |place=Berlin |publisher=Julius Springer |isbn=978-3-662-40711-0}}.</ref> normalmente dando algunha referencia na literatura máis antiga. Unha delas é (por <math>m\geq 1</math>):

: <math>\begin{align}
 B^-_m &= \sum_{k=0}^m \frac1{k+1} \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (-1)^j j^m, \\
 B^+_m &= \sum_{k=0}^m \frac1{k+1} \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (-1)^j (j + 1)^m.
\end{align}</math>

=== Función xeradora ===
As [[Función xeradora|funcións xeradoras exponenciais]] son

: <math>\begin{alignat}{3}
 \frac{t}{e^t - 1}  &= \frac{t}{2} \left( \operatorname{coth} \frac{t}{2} -1 \right) &&= \sum_{m=0}^\infty \frac{B^{-{}}_m t^m}{m!},\\
 \frac{te^t}{e^t - 1} = \frac{t}{1 - e^{-t}} &= \frac{t}{2} \left( \operatorname{coth} \frac{t}{2} +1 \right) &&= \sum_{m=0}^\infty \frac{B^+_m t^m}{m!}.
\end{alignat}</math>

A [[Función xeradora|función xeradora ordinaria]]
: <math> z^{-1} \psi_1(z^{-1}) = \sum_{m=0}^{\infty} B^+_m z^m</math>

é unha [[serie asintótica]]. Contén a [[función trigamma]] {{math|''ψ''<sub>1</sub>}} (segunda derivada do logaritmo da [[función gamma]]).

=== Expresión con integral ===
Das funcións xeradoras anteriores, pódese obter a seguinte fórmula con integral para os números pares de Bernoulli:

: <math>B_{2n} = 4n (-1)^{n+1} \int_0^{\infty} \frac{t^{2n-1}}{e^{2 \pi t} -1 } \mathrm{d} t </math>.

== Os números de Bernoulli e a  función zeta de Riemann ==
[[Ficheiro:BernoulliNumbersByZeta.svg|dereita|miniatura| Os números de Bernoulli dados pola función zeta de Riemann.]]
Os números de Bernoulli pódense expresar en termos da [[función zeta de Riemann]]:

: {{Math|1=''B''{{su|p=+|b=''n''}} = −''n ζ''(1 − ''n'')}}  para {{Math|''n'' ≥ 1}}.

Aquí o argumento da función zeta é ''0'' ou negativo. Como <math>\zeta(k)</math> é cero para os enteiros pares negativos (os [[Función zeta de Riemann|ceros triviais]]), se ''n>1'' é impar, <math>\zeta(1-n)</math> é cero.

Mediante a [[Función zeta de Riemann|ecuación funcional]] da zeta e a [[Función gamma#Propiedades|fórmula de reflexión]] gamma pódese obter a seguinte relación:{{Sfnp|Arfken|1970|p=279}}

: <math> B_{2n} = \frac {(-1)^{n+1}2(2n)!} {(2\pi)^{2n}} \zeta(2n) \quad </math> para {{Math|''n'' ≥ 1}}.

Agora o argumento da función zeta é positivo.

De {{Math|''&zeta;'' &rarr; 1}} ( {{Math|''n'' &rarr; &infin;}} ) e [[Fórmula de Stirling|da fórmula de Stirling]] despréndese que

: <math> |B_{2 n}| \sim 4 \sqrt{\pi n} \left(\frac{n}{ \pi e} \right)^{2n} \quad </math> para {{Math|''n'' &rarr; &infin;}}.

=== Análise asintótica ===
{{ap|Formula de Euler-Maclaurin}}
Sen dúbida, a aplicación máis importante dos números de Bernoulli en matemáticas é o seu uso na [[fórmula de Euler-Maclaurin]]. A fórmula de Euler-Maclaurin proporciona expresións para a diferenza entre a suma e a integral en termos da [[derivada]] máis alta {{math|''f''{{sup|(''k'')}}(''x'')}} avaliada nos extremos do intervalo.

Asumindo que {{Mvar|f}} é unha función suficientemene diferenciábel ({{Mvar|k}} veces diferenciábel) , a fórmula de Euler-Maclaurin pódese escribir como{{Sfnp|Graham|Knuth|Patashnik|1989}}

: <math>\sum_{k=a}^{b-1} f(k) = \int_a^b f(x)\,dx + \sum_{k=1}^m \frac{B^-_k}{k!} (f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_-(f,m).</math>

Esta formulación asume a convención {{Math|1=''B''{{su|p=−|b=1}} = −{{sfrac|1|2}}}}.

: <math>\sum_{k=a+1}^{b} f(k) = \int_a^b f(x)\,dx + \sum_{k=1}^m \frac{B^+_k}{k!} (f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_+(f,m).</math>

Aquí <math>f^{(0)}=f</math> (é dicir, a derivada de orde cero de <math>f</math> é xusto <math>f</math>). Alén diso, sexa <math>f^{(-1)}</math> a [[Función primitiva|antiderivada]] de <math>f</math>. Segundo o [[teorema fundamental do cálculo]] temos,

: <math>\int_a^b f(x)\,dx = f^{(-1)}(b) - f^{(-1)}(a).</math>

Así, a última fórmula pódese simplificar aínda máis á seguinte forma sucinta da fórmula de Euler-Maclaurin

: <math> \sum_{k=a+1}^{b} f(k)= \sum_{k=0}^m \frac{B_k}{k!} (f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m). </math>

Onde <math>R(f,m)</math> é o [[termo de erro]], que adoita ser pequeno para valores adecuados de {{Mvar|k}}.

Esta forma é, por exemplo, a fonte da importante expansión de Euler-Maclaurin da función zeta

: <math> \begin{align}
 \zeta(s) & =\sum_{k=0}^m \frac{B^+_k}{k!} s^{\overline{k-1}} + R(s,m) \\
      & = \frac{B_0}{0!}s^{\overline{-1}} + \frac{B^+_1}{1!} s^{\overline{0}} + \frac{B_2}{2!} s^{\overline{1}} +\cdots+R(s,m) \\
      & = \frac{1}{s-1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{12}s + \cdots + R(s,m).
\end{align} </math>

Aquí {{Math|''s''<sup>{{overline|''k''}}</sup>}} denota o [[Factorial descendente e ascendente|factorial ascendente]].{{Sfnp|Graham|Knuth|Patashnik|1989}}

Os números de Bernoulli tamén se usan con frecuencia noutros tipos de [[Expansión asintótica|expansións asintóticas]]. O seguinte exemplo é a clásica expansión asintótica de tipo Poincaré da [[función digamma]] {{Math|''ψ''}} (derivada do logaritmo da [[función gamma]]).

: <math>\psi(z) \sim \ln z - \sum_{k=1}^\infty \frac{B^+_k}{k z^k} </math>.

=== Suma de potencias ===
Os números de Bernoulli teñen un lugar destacado na expresión en [[forma pechada]] da suma das potencias {{Math|''m''}}-ésimas dos primeiros {{Math|''n''}} números enteiros positivos. Para {{Math|''m'', ''n'' ≥ 0}} definimos

: <math>S_m(n) = \sum_{k=1}^n k^m = 1^m + 2^m + \cdots + n^m. </math>

Esta expresión sempre pode reescribirse como un [[polinomio]] en {{Math|''n''}} de grao {{Math|''m'' + 1}}. Os [[Coeficiente|coeficientes]] destes polinomios están relacionados cos números de Bernoulli pola '''fórmula de Bernoulli''':

: <math>S_m(n) = \frac{1}{m + 1} \sum_{k=0}^m \binom{m + 1}{k} B^+_k n^{m + 1 - k} = m! \sum_{k=0}^m \frac{B^+_k n^{m + 1 - k}}{k! (m+1-k)!},</math>

onde {{Math|<big><big>(</big></big>{{su|p=''m'' + 1|b=''k''|a=c}}<big><big>)</big></big>}} denota o [[coeficiente binomial]].

Por exemplo, tomando {{Math|''m''}} como 1 dá os [[Número triangular|números triangulares]] {{Math|0, 1, 3, 6, ...}} {{OEIS|id=A000217}}.

: <math> 1 + 2 + \cdots + n = \frac{1}{2} (B_0 n^2 + 2 B^+_1 n^1) = \tfrac12 (n^2 + n).</math>

=== Serie de Taylor ===
Os números de Bernoulli aparecen na expansión da [[serie de Taylor]] de moitas [[Función trigonométrica|funcións trigonométricas]] e [[Función hiperbólica|funcións hiperbólicas]].

:<math>\begin{align}
\tan x &= \hphantom{{1\over x}} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} }{(2n)!}\; x^{2n-1}, && \left|x \right| < \frac \pi 2. \\
\cot x &= {1\over x} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n B_{2n} (2x)^{2n}}{(2n)!}, & 0 < & |x| < \pi. \\
\tanh x &= \hphantom{{1\over x}} \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}\;x^{2n-1}, && |x| < \frac \pi 2. \\
\coth x &= {1\over x} \sum_{n=0}^\infty \frac{B_{2n} (2x)^{2n}}{(2n)!}, & 0 < & |x| < \pi.
\end{align}</math>

=== Serie Laurent ===
Os números de Bernoulli aparecen na  [[serie de Laurent]] {{Sfnp|Arfken|1970|p=463}} da
[[función digamma]]: <math> \psi(z)= \ln z- \sum_{k=1}^\infty \frac {B_k^{+{}}} {k z^k} </math>.

== Conexións con números combinatorios ==
A conexión do número de Bernoulli con varios tipos de números combinatorios baséase na teoría clásica das diferenzas finitas e na interpretación combinatoria dos números de Bernoulli como exemplo dun principio combinatorio fundamental, o [[principio de inclusión-exclusión]].

=== Conexión cos números de Stirling do segundo tipo ===
Se se definen os [[polinomios de Bernoulli]] {{Math|''B<sub>k</sub>''(''j'')}} como:<ref name=Rademacher1973>{{cita libro |last=Rademacher |first=H. |date=1973 |title=Analytic Number Theory |location=New York City |publisher=Springer-Verlag}}.</ref>

: <math> B_k(j)=k\sum_{m=0}^{k-1}\binom{j}{m+1}S(k-1,m)m!+B_k </math>

onde {{Math|''B<sub>k</sub>''}} para {{Math|''k'' {{=}} 0, 1, 2,...}} son os números de Bernoulli e {{Math|''S(k,m)''}} é un [[número de Stirling do segundo tipo]].

Tamén obtemos o seguinte para os polinomios de Bernoulli,{{R|Rademacher1973}}

: <math> B_k(j)=\sum_{n=0}^k \binom{k}{n} B_n j^{k-n}. </math>

O coeficiente de {{Mvar|j}} en {{math|<big><big>(</big></big>{{su|p=''j''|b=''m'' + 1|a=c}}<big><big>)</big></big>}} é {{math|{{sfrac|(−1)<sup>''m''</sup>|''m'' + 1}}}}.

Comparando o coeficiente de {{Mvar|j}} nas dúas expresións dos polinomios de Bernoulli temos:

: <math> B_k=\sum_{m=0}^{k-1} (-1)^m \frac{m!}{m+1} S(k-1,m)</math>

que é unha [[forma pechada|fórmula explícita]] para os números de Bernoulli e pode usarse para demostrar o [[Teorema de Von Staudt-Clausen|Teorema de Von-Staudt Clausen]].<ref name=Boole1880>{{cita libro |last=Boole |first=G. |date=1880 |title=A treatise of the calculus of finite differences |url=https://archive.org/details/treatiseoncalcul00booluoft |edition=3rd |place=London |publisher=Macmillan}}.</ref><ref name=Gould1972>{{cita libro |last=Gould |first=Henry W. |title=Explicit formulas for Bernoulli numbers |journal=Amer. Math. Monthly |volume=79 |issue=1 |date=1972 |pages=44–51 |doi=10.2307/2978125 |jstor=2978125}}</ref><ref name=Apostol2010_197>{{cita libro |last=Apostol |first=Tom M. |date=2010 |title=Introduction to Analytic Number Theory |publisher=Springer-Verlag |page=197}}</ref>.

=== Conexión cos números de Stirling do primeiro tipo ===
As dúas fórmulas principais que relacionan os [[Números de Stirling do primeiro tipo|números de Stirling sen signo do primeiro tipo]] {{Math|<big><big>[</big></big>{{su|p=''n''|b=''m''|a=c}}<big><big>]</big></big>}} cos números de Bernoulli (con {{Math|''B''<sub>1</sub> {{=}} +{{sfrac|1|2}}}}) son:

: <math> \frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m (-1)^{k} \left[{m+1\atop k+1}\right] B_k = \frac{1}{m+1}, </math>

e a inversión desta suma (para {{Math|''n'' ≥ 0}}, {{Math|''m'' ≥ 0}} )

: <math> \frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m (-1)^k \left[{m+1\atop k+1}\right] B_{n+k} = A_{n,m}. </math>

Aquí o número {{Math|''A''<sub>''n'',''m''</sub>}} son os números racionais de Akiyama-Tanigawa, os primeiros deles aparecen na seguinte táboa.
:{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ número de Akiyama-Tanigawa
! {{diagonal split header|{{mvar|n}}|{{mvar|m}}}}!!0!!1!!2!!3!!4
|-
! 0 
| 1 || {{sfrac|1|2}} || {{sfrac|1|3}} || {{sfrac|1|4}} || {{sfrac|1|5}}
|-
! 1 
| {{sfrac|1|2}} || {{sfrac|1|3}} || {{sfrac|1|4}} || {{sfrac|1|5}} || ...
|-
! 2 
| {{sfrac|1|6}} || {{sfrac|1|6}} || {{sfrac|3|20}} || ... || ...
|-
! 3 
| 0 || {{sfrac|1|30}} || ... || ... || ...
|-
! 4 
| −{{sfrac|1|30}} || ... || ... || ... || ...
|}

Os números de Akiyama-Tanigawa satisfán unha [[relación de recorrencia]] sinxela que se pode explotar para calcular iterativamente os números de Bernoulli.  Ver {{OEIS|id=A051714}} / {{OEIS|id=A051715}}.

=== Conexión co triángulo de Pascal ===
Hai fórmulas que conectan o triángulo de Pascal cos números de Bernoulli {{Efn|esta fórmula foi descuberta (ou quizais redescuberta) por Giorgio Pietrocola. A súa demostración está dispoñíbel en lingua italiana{{harv|Pietrocola|2008}}.}}

: <math> B^{+}_n=\frac{|A_n|}{(n+1)!}~~~</math>

onde <math>|A_n|</math> é o determinante dunha [[matriz de Hessenberg]] da parte n-por-n do [[triángulo de Pascal]] cuxos elementos son: <math>
a_{i, k} = \begin{cases} 
0 & \text{se } k>1+i \\
{i+1 \choose k-1} & \text{noutro caso}
\end{cases}
</math>

Exemplo:

: <math> B^{+}_6 =\frac{\det\begin{pmatrix}
1& 2& 0& 0& 0& 0\\
1& 3& 3& 0& 0& 0\\
1& 4& 6& 4& 0& 0\\
1& 5& 10& 10& 5& 0\\
1& 6& 15& 20& 15& 6\\
1& 7& 21& 35& 35& 21
\end{pmatrix}}{7!}=\frac{120}{5040}=\frac 1 {42}
</math>.

=== Relación cos números eulerianos ===
Hai fórmulas que relacionan os [[Número euleriano|números eulerianos]] {{Math|<big><big>⟨</big></big>{{su|p=''n''|b=''m''|a=c}}<big><big>⟩</big></big>}} cos números de Bernoulli:

: <math>\begin{align}
\sum_{m=0}^n (-1)^m \left \langle {n\atop m} \right \rangle &= 2^{n+1} (2^{n+1}-1) \frac{B_{n+1}}{n+1}, \\
\sum_{m=0}^n (-1)^m \left \langle {n\atop m} \right \rangle \binom{n}{m}^{-1} &= (n+1) B_n.
\end{align}</math>

Ambas as fórmulas son válidas para {{Math|''n'' ≥ 0}} se {{Math|''B''<sub>1</sub>}} se vale {{Sfrac|1|2}}. Se {{Math|''B''<sub>1</sub>}} vale −{{Sfrac|1|2}} só son válidas para {{Math|''n'' ≥ 1}} e {{Math|''n'' ≥ 2}} respectivamente.

== Representación integral e continuación analítica ==
A [[integral]]

: <math> b(s) = 2e^{s i \pi/2}\int_0^\infty \frac{st^s}{1-e^{2\pi t}} \frac{dt}{t} = \frac{s!}{2^{s-1}}\frac{\zeta(s)}{{  }\pi^s{ }}(-i)^s= \frac{2s!\zeta(s)}{(2\pi i)^s}</math>

ten como valores especiais {{Math|''b''(2''n'') {{=}} ''B''<sub>2''n''</sub>}} para {{Math|''n'' > 0}} .

Por exemplo, {{math|1=''b''(3) = {{sfrac|3|2}}''ζ''(3)''&pi;''<sup>−3</sup>''i''}} e {{math|1=''b''(5) = −{{sfrac|15|2}}''ζ''(5)''&pi;''<sup>−5</sup>''i''}}. Onde, {{mvar|ζ}} denota a [[Función zeta de Riemann]], e {{mvar|i}} denota a [[unidade imaxinaria]].

Leonhard Euler (''Opera Omnia'', Ser. 1, Vol. 10, p. 351) considerou estes números e calculou
: <math> \begin{align}
 p &= \frac{3}{2\pi^3}\left(1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots \right) = 0.0581522\ldots \\
 q &= \frac{15}{2\pi^5}\left(1+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{3^5}+\cdots \right) = 0.0254132\ldots
\end{align}</math>

Outra representación [[integral]] similar é
: <math> b(s) = -\frac{e^{s i \pi/2}}{2^{s}-1}\int_0^\infty \frac{st^{s}}{\sinh\pi t} \frac{dt}{t}= \frac{2e^{s i \pi/2}}{2^{s}-1}\int_0^\infty \frac{e^{\pi t}st^s}{1-e^{2\pi t}} \frac{dt}{t}. </math>

== A relación cos números de Euler e {{Pi}} ==
Os [[números de Euler]] son unha sucesión de números enteiros intimamente relacionados cos números de Bernoulli. Comparando as expansións asintóticas dos números de Bernoulli e de Euler mostran que os números de Euler {{math|''E''<sub>2''n''</sub>}} teñen unha magnitude aproximadamente {{math|{{sfrac| 2|π}}(4<sup>2''n''</sup> − 2<sup>2''n''</sup>)}} veces maior que os números  de Bernoulli  {{math|''B''<sub>2''n''</sub>}}. 

En consecuencia:

: <math> \pi \sim 2 (2^{2n} - 4^{2n}) \frac{B_{2n}}{E_{2n}}. </math>

Esta ecuación asintótica revela que {{pi}} reside na raíz común tanto dos números de Bernoulli como dos de Euler. De feito {{pi}} podería calcularse a partir destas aproximacións racionais.

Os números de Bernoulli pódense expresar a través dos números de Euler e viceversa. Xa que, para {{mvar|n}} impar, {{math|''B''<sub>''n''</sub> {{=}} ''E''<sub>''n''</sub> {{=}} 0}} (coa excepción de {{math|''B''<sub>1</sub>}}), abonda con considerar o caso cando {{mvar|n }} é par.

:<math>\begin{align}
 B_n &= \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k} \frac{n}{4^n-2^n}E_k & n&=2, 4, 6, \ldots \\[6pt]
 E_n &= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1} \frac{2^k-4^k}{k} B_k & n&=2,4,6,\ldots
\end{align}</math>

== Unha visión algorítmica: o triángulo de Seidel ==
A secuencia ''S''<sub>''n''</sub> ten outra propiedade inesperada pero importante: os denominadores de ''S''<sub>''n''+1</sub> dividen o factorial de {{math|''n''}}. Noutras palabras: os números {{math|1=''T''<sub>''n''</sub>=''S''<sub>''n'' + 1</sub> ''n''!}} son números enteiros. Ás veces chamados [[Permutacións alternas|números en zigzag de Euler ou permutacións alternadas]].

: <math> T_n = 1,\,1,\,1,\,2,\,5,\,16,\,61,\,272,\,1385,\,7936,\,50521,\, 353792,\ldots \quad n=0, 1, 2, 3, \ldots </math> ({{OEIS|id=A000111}}). Consulte ({{OEIS|id=A253671}}).

A súa [[función xeradora|función xeradora exponencial]] é a suma das funcións [[funcións trigonométricas#Funcións recíprocas|secante]] e [[tanxente|tanxente]].

: <math> \sum_{n=0}^\infty T_n \frac{x^n}{n!} = \tan \left(\frac\pi4 + \frac x2\right) = \sec x + \tan x</math>.

Así, as representacións anteriores dos números de Bernoulli e Euler poden reescribirse en termos desta secuencia como

:<math>\begin{align}
 B_n &= (-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} [n\text{ par}] \frac{n }{2^n-4^n}\, T_{n-1}\ & n &\geq 2 \\
 E_n &= (-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} [n\text{ par}] T_{n} & n &\geq 0
\end{align}</math>

Estas identidades facilitan o cálculo dos números de Bernoulli e Euler: os números de Euler {{math|''E''<sub>2''n''</sub>}} veñen dados inmediatamente por {{math|'' T''<sub>2''n''</sub>}} e os números de Bernoulli {{math|''B''<sub>2''n''</sub>}} son fraccións obtidas de {{math|''T''<sub>2''n'' - 1</sub>}} mediante un troco sinxelo, evitando a aritmética racional.

O que fica é atopar un xeito cómodo de calcular os números {{math|''T''<sub>''n''</sub>}}. Porén, xa en 1877 [[Philipp Ludwig von Seidel]] publicou un enxeñoso algoritmo, que facilita o cálculo de {{math|''T''<sub>''n''</sub>}}.<ref name=Seidel1877>{{cita libro |last=Seidel |first=L. |title=Über eine einfache Entstehungsweise der Bernoullischen Zahlen und einiger verwandten Reihen |journal=Sitzungsber. Münch. Akad. |volume=4 |date=1877 |pages=157–187}}</ref>

{{image frame|align=none|caption=Algoritmo de Seidel para {{math|''T''<sub>''n''</sub>}}
|content=<math>
\begin{array}{crrrcc}
 { } & { } & {\color{red}1} & { } & { } & { } \\
 { } & {\rightarrow} & {\color{blue}1} & {\color{red}1} & { } \\
 { } & {\color{red}2} & {\color{blue}2} & {\color{blue}1} & {\leftarrow} \\
 {\rightarrow} & {\color{blue}2} & {\color{blue}4} & {\color{blue}5} & {\color{red}5} \\
 {\color{red}16} & {\color{blue}16} & {\color{blue}14} & {\color{blue}10} & {\color{blue}5} & {\leftarrow} 
\end{array}
</math>}}
#Comece poñendo 1 na fila 0 e sexa {{math|''k''}}  o número da fila que se está a cubrir actualmente.
#Se {{math|''k''}} é impar, poña o número no extremo esquerdo da fila {{math|''k'' - 1}} na primeira posición da fila {{math|''k''}}, e encha a fila de esquerda a dereita, sendo cada entrada a suma do número á esquerda e o número na parte superior.
#Ao final da fila duplique o último número.
#Se {{math|''k''}} é par, proceda de xeito similar na outra dirección.

O algoritmo de Seidel é de feito moito máis xeral (ver a exposición de Dominique Dumont <ref name=Dumont1981>{{cita web |last=Dumont |first=D. |date=1981 |title=Matrices d'Euler-Seidel |journal=Séminaire Lotharingien de Combinatoire |volume=B05c |url=https://www.mat.univie.ac.at/~slc/opapers/s05dumont.html}}</ref>) e foi redescuberto varias veces despois.

Similar ao enfoque de Seidel, D. E. Knuth e T. J. Buckholtz deron unha ecuación de recorrencia para os números {{math|''T''<sub>2''n''</sub>}} e recomendaron este método para calcular {{math| ''B''<sub>2''n''</sub>}} e {{math|''E''<sub>2''n''</sub>}} "en computadoras electrónicas usando só operacións simples en números enteiros".<ref name=KnuthBuckholtz1967>{{cita revista |last1=Knuth |first1=D. E. |author-link1= Donald Knuth |last2=Buckholtz |first2=T. J. |date=1967 |title=Computation of Tangent, Euler, and Bernoulli Numbers |journal=Mathematics of Computation |volume=21 |issue=100 |pages=663–688 |publisher=American Mathematical Society |doi=10.2307/2005010 |jstor=2005010 }}</ref>

V. I. Arnold<ref name=Arnold1991>{{cita revista|last=Arnold |first=V. I. |date=1991 |title=Bernoulli-Euler updown numbers associated with function singularities, their combinatorics and arithmetics |journal=Duke Math. J. |volume=63 |issue=2 |pages=537–555 |doi=10.1215/s0012-7094-91-06323-4}}</ref> redescubriu o algoritmo de Seidel e máis tarde Millar, Sloane e Young popularizaron o algoritmo de Seidel baixo o nome de [[transformada do bustrófedon]] (onde [[Bustrófedon]] fai referencia a un sistema de escritura que muda alternativamente de sentido de liña en liña).

==Propiedades aritméticas dos números de Bernoulli==

Os números de Bernoulli pódense expresar en termos da función zeta de Riemann como {{math|''B''<sub>''n''</sub> {{=}} −''nζ''(1 − ''n'')}} para números enteiros {{math|''n'' ≥ 0}} (para {{math|''n'' {{=}} 0}} a expresión {{math|−''nζ''(1 − ''n'')}} enténdese como o valor límite). 

Isto relaciónaos intimamente cos valores da función zeta en números enteiros negativos. Como tal, podería esperarse que teñan propiedades aritméticas profundas. Por exemplo, a [[conxectura de Agoh-Giuga]] postula que {{mvar|p}} é un número primo se e só se {{math|''pB''<sub>''p'' − 1</sub>}} é congruente con −1 módulo {{mvar|p}}. 

Por un teorema de Kummer as propiedades de divisibilidade dos números de Bernoulli están relacionadas cos [[grupo de clases de ideais]] dos [[corpo ciclotómico|corpos ciclotómicos]]. Nunha versión máis forte temos o [[teorema de Herbrand-Ribet]]. E unha relación a maiores cos números de clase de corpos cadráticos reais pola [[congruencia de Ankeny-Artin-Chowla]].

=== Os teoremas de Kummer ===
{{principal|Congruencia de Kummer}}
Os números de Bernoulli están relacionados co [[Último Teorema de Fermat]] (FLT) polo teorema de [[Ernst Kummer|Kummer]],<ref name=Kummer1850>{{cita libro |last=Kummer |first=E. E. |author-link=Ernst Kummer |title=Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung x<sup>λ</sup> + y<sup>λ</sup> = z<sup>λ</sup> durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ-3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen |journal=J. Reine Angew. Math. |volume=40 |date=1850 |pages=131–138 |url=http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002146738}}</ref> que di:

:Se o primo impar {{mvar|p}} non divide ningún dos numeradores dos números de Bernoulli {{math|''B''<sub>2</sub>, ''B''<sub>4 </sub>, ..., ''B''<sub>''p'' − 3</sub>}} daquela {{math|''x''<sup>''p''</sup> + ''y''<sup>''p''</sup> + ''z''<sup>''p''</sup> {{=}} 0}} non ten solucións en números enteiros distintos de cero.

Os números primos con esta propiedade chámanse [[primo regular|primos regulares]]. 

Outro resultado clásico de Kummer son as seguintes [[Aritmética modular#Congruencia|congruencias]].<ref name=Kummer1851>{{cita web|last=Kummer |first=E. E. |author-link=Ernst Kummer |title=Über eine allgemeine Eigenschaft der rationalen Entwicklungscoefficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen |journal=J. Reine Angew. Math. |volume=1851 |issue=41 |date=1851 |pages=368–372 |url=http://eudml.org/doc/147490 }}</ref>

: Sexa {{mvar|p}} un número primo impar e {{mvar|b}} un número par tal que {{math|''p''&nbsp;−&nbsp;1}} non divida {{mvar| b}}. Entón, para calquera número enteiro non negativo {{mvar|k}}
:: <math> \frac{B_{k(p-1)+b}}{k(p-1)+b} \equiv \frac{B_{b}}{b} \pmod{p}. </math>

Unha xeneralización destas congruencias leva o nome de continuidade {{math|''p''}}-ádica.

=== Continuidade {{math|''p''}}-ádica===
(Para unha introdución aos números p-ádicos ver [[número p-ádico]]).

Se {{mvar|b}}, {{mvar|m}} e {{mvar|n}} son números enteiros positivos tal que {{mvar|m}} e {{mvar|n}} non son divisíbeis por {{math|''p'' − 1}} e {{math|''m'' ≡ ''n'' (mod ''p''<sup>''b'' − 1</sup> (''p'' − 1))}}, entón

:<math>(1-p^{m-1})\frac{B_m}{m} \equiv (1-p^{n-1})\frac{B_n} n \pmod{p^b}. </math>

Dado que {{math|''B''<sub>''n''</sub> {{=}} −''nζ''(1 − ''n'')}}, isto tamén se pode escribir como

:<math>\left(1-p^{-u}\right)\zeta(u) \equiv \left(1-p^{-v}\right)\zeta(v) \pmod{p^b },</math>

onde {{math|''u'' {{=}} 1 − ''m''}} e {{math|''v'' {{=}} 1 − ''n''}}, polo que que {{mvar|u}} e {{mvar|v}} non son positivos e non son congruentes con 1 módulo {{math|''p'' − 1}}.

Isto indícanos que a función zeta de Riemann, con {{math|1 − ''p''<sup>−''s''</sup>}} eliminado da fórmula do produto de Euler, é continua nos [[número p-ádico|números {{mvar|p}}-ádicos]] en enteiros negativos impares congruentes módulo {{math|''p'' − 1}} a un determinado <math display=inline> a \not\equiv 1 \pmod{p-1}</math>, polo que se pode estender a unha función continua {{math|''ζ''<sub>''p'' </sub>(''s'')}} para todos os {{mvar|p}}-ádicos enteiros <math>\mathbb{Z}_p,</math> a [[función zeta p-ádica|función zeta {{mvar|p}}-ádica]].

=== Congruencias de Ramanujan ===
As seguintes relacións, debidas a [[Ramanujan]], proporcionan un método para calcular números de Bernoulli que é máis eficiente que o dado pola súa definición recursiva orixinal:
:<math>\binom{m+3}{m} B_m=\begin{cases}
\frac{m+3}{3}-\sum\limits_{j=1}^\frac{m}{6}\binom{m+3}{m-6j}B_{m-6j}, & \text{se } m\equiv 0\pmod 6;\\
\frac{m+3}{3}-\sum\limits_{j=1}^\frac{m-2}{6}\binom{m+3}{m-6j}B_{m-6j}, & \text{se } m\equiv 2\pmod 6;\\
-\frac{m+3}{6}-\sum\limits_{j=1}^\frac{m-4}{6}\binom{m+3}{m-6j}B_{m-6j}, & \text{se } m\equiv 4\pmod 6.\end{cases}</math>

== Notas ==
{{reflist|30em}} 
{{Reflist|group=lower-alpha}}

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
* {{cita libro |last1=Abramowitz |first1=M. |last2=Stegun |first2=I. A. |contribution=§23.1: Bernoulli and Euler Polynomials and the Euler-Maclaurin Formula |title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables |edition=9th printing |location=New York |publisher=Dover Publications|pages=804–806 |date=1972}}.
* {{cita libro|last=Arfken |first=George |date=1970 |title=Mathematical methods for physicists |edition=2nd |publisher=Academic Press |isbn=978-0120598519}}
* {{cita revista|first=D. |last=Arlettaz |title=Die Bernoulli-Zahlen: eine Beziehung zwischen Topologie und Gruppentheorie |journal=Math. Semesterber |volume=45 |date=1998 |pages=61–75 |doi=10.1007/s005910050037}}.
* {{cita libro|first=A. |last=Ayoub |title=Euler and the Zeta Function |journal=Amer. Math. Monthly |volume=74 |date=1981 |issue=2 |pages=1067–1086 |jstor=2319041| doi=10.2307/2319041}}.
* {{cita libro|first1=John |last1=Conway |author-link1=John Horton Conway |first2=Richard |last2=Guy |author-link2=Richard K. Guy |title=The Book of Numbers |publisher=Springer-Verlag |date=1996}}.
* {{cita libro|title=Bernoulli numbers. Bibliography (1713–1990) |first1=K. |last1=Dilcher |first2=L. |last2=Skula |first3=I. Sh. |last3=Slavutskii |journal=Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics |location=Kingston, Ontario |date=1991 |url=http://www.mscs.dal.ca/~dilcher/bernoulli.html |issue=87}}.
*{{cita libro |first1=D. |last1=Dumont |first2=G. |last2=Viennot |title=A combinatorial interpretation of Seidel generation of Genocchi numbers |journal=Ann. Discrete Math. |volume=6 |date=1980 |pages=77–87 |doi=10.1016/S0167-5060(08)70696-4 |series=Annals of Discrete Mathematics |isbn=978-0-444-86048-4}}.
* {{cita libro|last=Entringer |first=R. C. |title=A combinatorial interpretation of the Euler and Bernoulli numbers |journal=Nieuw. Arch. V. Wiskunde |volume=14 |date=1966 |pages=241–6}}.
* {{cita arXiv |first1=G. |last1=Fee |first2=S. |last2=Plouffe |date=2007 |title=An efficient algorithm for the computation of Bernoulli numbers |eprint=math/0702300|mode=cs2}}.
* {{cita libro|last1=Graham |first1=R. |author-link1=Ronald Graham |last2=Knuth |first2=D. E. |author-link2=Donald Knuth |last3=Patashnik| first3=O. |date=1989 |title=Concrete Mathematics |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |isbn=0-201-55802-5 }}
* {{cita libro|first1=Kenneth|last1=Ireland|first2=Michael|last2=Rosen|title=A Classical Introduction to Modern Number Theory|edition=2nd|publisher=Springer-Verlag|date=1990|isbn=0-387-97329-X}}
* {{cita libro|first=Charles |last=Jordan |title=Calculus of Finite Differences |publisher=Chelsea Publ. Co. |location=New York |date=1950}}.
* {{cita libro|first=M. |last=Kaneko |title=The Akiyama-Tanigawa algorithm for Bernoulli numbers |journal=Journal of Integer Sequences |volume=12 |pages=29 |date=2000 |url=http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/vol3.html |bibcode=2000JIntS...3...29K}}.
* {{cita libro|last=Knuth |first=D. E. |author-link=Donald Knuth |date=1993 |title=Johann Faulhaber and the Sums of Powers |journal=Mathematics of Computation |volume=61 |issue=203 |pages=277–294 |arxiv=math/9207222 |doi=10.2307/2152953 |jstor=2152953 |publisher=American Mathematical Society}}
* {{cita web|first=Peter |last=Luschny |url=http://www.luschny.de/math/primes/bernincl.html |title=An inclusion of the Bernoulli numbers |date=2007}}.
*{{cita libro|title=TheLostBernoulliNumbers |last=Luschny |first=Peter |work=OeisWiki |date=8 October 2011 |access-date=11 May 2019 |url= http://oeis.org/wiki/User:Peter_Luschny/TheLostBernoulliNumbers}}.
*{{cita web|title=The Mathematics Genealogy Project |date=n.d. |location=Fargo |publisher=Department of Mathematics, North Dakota State University |access-date=11 May 2019 |url=https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/ |ref={{SfnRef|Mathematics Genealogy Project|n.d.}} |archive-url=https://web.archive.org/web/20190510171712/https://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/ |archive-date=10 May 2019 }}.
*{{cita web|title=Earliest Uses of Symbols of Calculus |last=Miller |first=Jeff |work=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols |date=23 June 2017 |access-date=11 May 2019 |url= http://jeff560.tripod.com/calculus.html}}.
*{{cita libro|first1=John W. |last1=Milnor |author-link1=John Milnor |first2=James D. |last2=Stasheff |contribution=Appendix B: Bernoulli Numbers |pages=281–287 |title=Characteristic Classes |series=Annals of Mathematics Studies |volume=76 |publisher=Princeton University Press and University of Tokyo Press |date=1974}}.
* {{cita web|url=http://www.maecla.it/Matematica/sommapotenze/teorema_1B.htm#teorema1b |title=Esplorando un antico sentiero: teoremi sulla somma di potenze di interi successivi (Corollario 2b)|last=Pietrocola |first=Giorgio |date=outubro 31, 2008 |website=Maecla |access-date=8 de abril de 2017}}.
* {{cita libro|first=Ilya Sh. |last=Slavutskii |title=Staudt and arithmetical properties of Bernoulli numbers |journal=Historia Scientiarum |volume=2 |date=1995 |pages=69–74}}.
* {{cita libro|first=K. G. Ch. |last=von Staudt |contribution=De numeris Bernoullianis, commentationem alteram |title=Erlangen |date=1845}}.
*{{cita web|first=Zhi-Wei |last=Sun |title=Some curious results on Bernoulli and Euler polynomials |date=2005–2006 |url=http://pweb.nju.edu.cn/zwsun |archive-url=https://web.archive.org/web/20011031073728/http://pweb.nju.edu.cn/zwsun/ |archive-date=2001-10-31 }}.
* {{cita arXiv |first=S. C. |last=Woon |title=Generalization of a relation between the Riemann zeta function and Bernoulli numbers |date=1998 |eprint=math.NT/9812143}}.
* {{cita libro|first=J. |last=Worpitzky |title=Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume=94 |date=1883 |pages=203–232 |url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002158698}}.

=== Outros artigos ===
* [[Polinomio de Bernoulli]]
* [[Polinomio de Bernoulli do segundo tipo]]
* [[Bernoulli sombra]]
* [[Número de Bell]]
* [[Números de Euler]]
* [[Número de Genocchi]]
* [[Congruencias de Kummer]]
* [[Función zeta de Hurwitz]]
* [[Sumatorio de Euler]]
* [[Polinomio de Stirling]]
* [[Sumas de potencias]]
=== Ligazóns externas ===
* {{springerEOM |title=Bernoulli numbers|id=p/b015640}}
* ''[[:gutenberg:2586|The first 498 Bernoulli Numbers]]'' from [[Project Gutenberg]]
* [https://web.archive.org/web/20160304004018/http://web.maths.unsw.edu.au/~davidharvey/papers/bernmm/ A multimodular algorithm for computing Bernoulli numbers]
* [http://www.bernoulli.org The Bernoulli Number Page]
* [[:literateprograms:Category:Bernoulli numbers|Bernoulli number programs]] at [http://en.literateprograms.org LiteratePrograms]
* {{cita web |author=P. Luschny |title= The Computation of Irregular Primes |url=http://www.luschny.de/math/primes/irregular.html}}
* {{cita web|author=P. Luschny |title=The Computation And Asymptotics Of Bernoulli Numbers |url=http://oeis.org/wiki/User:Peter_Luschny/ComputationAndAsymptoticsOfBernoulliNumbers}}
* {{cita web|author=Gottfried Helms |title= Bernoullinumbers in context of Pascal-(Binomial)matrix |url=http://go.helms-net.de/math/pascal/bernoulli_en.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://go.helms-net.de/math/pascal/bernoulli_en.pdf |archive-date=2022-10-09 }}
* {{cita web|author=Gottfried Helms |title=summing of like powers in context with Pascal-/Bernoulli-matrix |url=http://go.helms-net.de/math/binomial/04_3_SummingOfLikePowers.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://go.helms-net.de/math/binomial/04_3_SummingOfLikePowers.pdf |archive-date=2022-10-09 }}
* {{cita web|author=Gottfried Helms |title=Some special properties, sums of Bernoulli-and related numbers |url=http://go.helms-net.de/math/binomial/02_2_GeneralizedBernoulliRecursion.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://go.helms-net.de/math/binomial/02_2_GeneralizedBernoulliRecursion.pdf |archive-date=2022-10-09 }}

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Topoloxía]]
[[Categoría:Teoría de números]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]