Ver o código fonte de «Mergullo (matemáticas)»

En [[matemáticas]], un '''mergullo''' é unha instancia dalgunha [[estrutura matemática]] contida dentro doutra instancia, como por exemplo un [[subgrupo]] que como índica o nome está incluído nun [[Grupo (matemáticas)|grupo]].

Cando algún obxecto <math>X</math> se di que está mergullado noutro obxecto <math>Y</math>, o mergullo vén dado por algún mapa [[Inxectiva|inxectivo]] e preservador da estrutura <math>f:X\rightarrow Y</math>. O significado preciso de "preservar a estrutura" depende do tipo de estrutura matemática da cal <math>X</math> e <math>Y</math> son instancias. Na terminoloxía da [[Teoría das categorías|teoría de categorías]], un mapa que preserva a estrutura chámase [[morfismo]].

O feito de que un mapa <math>f:X\rightarrow Y</math> é un mergullo adoita indicarse mediante o uso dunha "frecha con gancho" <math> f : X \hookrightarrow Y.</math>. <ref name="Unicode Arrows">{{cite web| title = Arrows – Unicode| url = https://www.unicode.org/charts/PDF/U2190.pdf| access-date = 2017-02-07}}</ref> (por outra parte, esta notación ás veces resérvase para as [[Inxección canónica|inxeccións canónicas]] (función inclusión).

Dados <math>X</math> e <math>Y</math>, poden darse varios mergullos diferentes de <math>X</math> en <math>Y</math>. En moitos casos de interese existe un mergullo estándar (ou "canónico"), como o dos [[Número natural|números naturais]] nos [[Número enteiro|números enteiros]], os enteiros nos [[Número racional|números racionais]], os números racionais nos [[Número real|números reais]] e os números reais nos [[Número complexo|números complexos]]. Nestes casos é habitual identificar o [[Dominio de definición|dominio]] <math>X</math> coa súa [[Imaxe (matemáticas)|imaxe]] <math>f(X)</math> contida en <math>Y</math>, así que <math>X\subseteq Y</math>.

== Topoloxía e xeometría ==

=== Topoloxía xeral ===
En [[topoloxía xeral]], un mergullo é un [[homeomorfismo]] na súa imaxe.<ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Hocking|Young|1988}}. {{Cita Harvard sen parénteses|Sharpe|1997}}.</ref> Máis explicitamente, un mapa [[Función continua|continuo]] inxectivo <math>f : X \to Y</math> entre [[Espazo topolóxico|espazos topolóxicos]] <math>X</math> e <math>Y</math> é un '''mergullo topolóxico''' se <math>f</math> produce un homeomorfismo entre <math>X</math> e <math>f(X)</math> (onde <math>f(X)</math> leva a [[topoloxía relativa]] herdada de <math>Y</math>). Intuitivamente logo, o mergullo <math>f : X \to Y</math> permítenos tratar <math>X</math> como subespazo de <math>Y</math>. Todo mergullo é inxectivo e [[Función continua|continuo]]. Todo mapa que é inxectivo, continuo e aberto ou pechado é un mergullo; porén tamén hai mergullos que non están nin abertos nin pechados. Isto último ocorre se a imaxe <math>f(X)</math> non é un [[conxunto aberto]] nin un [[conxunto pechado]] <math>Y</math>.

Para un espazo determinado <math>Y</math>, a existencia dun mergulo <math>X \to Y</math> é unha invariante topolóxica de <math>X</math>. Isto permite distinguir dous espazos se un é capaz de mergullarse nun espazo mentres que o outro non.

==== Definicións relacionadas ====
Se o dominio dunha función <math>f : X \to Y</math> é un [[espazo topolóxico]], entón dise que é unha función ''{{Visible anchor|localmente inxectiva nun punto}}'' se existe algunha [[veciñanza (matemáticas)|veciñanza]] <math>U</math> deste punto tal que a restrición <math>f\big\vert_U : U \to Y</math> é inxectiva. Chámase ''{{Visible anchor|localmente inxectiva}}'' se é localmente inxectiva en cada punto do seu dominio. Do mesmo xeito, un ''{{Visible anchor|mergullo local topolóxico}}'' é unha función para a cal cada punto do seu dominio ten algunha veciñanza na que a súa restrición é un mergullo (topolóxico, resp. suave).

Toda función inxectiva é localmente inxectiva mais non á inversa. Os difeomorfismos locais, os  homeomorfismos locais e as inmersións suaves son todas funcións localmente inxectivas que non son necesariamente inxectivas. O [[teorema da función inversa]] dá unha condición suficiente para que unha función continuamente derivable sexa (entre outras cousas) localmente inxectiva. Cada [[Fibra (matemáticas)|fibra]] dunha función localmente inxectiva <math>f : X \to Y</math> é necesariamente un [[Espazo discreto|subespazo discreto]] do seu [[Dominio de definición|dominio]] <math>X.</math>

=== Topoloxía diferencial ===
En [[topoloxía diferencial]]: Sexan <math>M</math> e <math>N</math>  [[Variedade (xeometría)|variedades]]  suaves e <math>f:M\to N</math> un mapa suave. Daquela <math>f</math> chámase [[Inmersión (matemáticas)|inmersión]] se a súa derivada (ou [[pulo (diferencial)|pulo diferencial]]) é inxectiva en tódalas partes. Un '''mergullo''', ou un '''mergullo suave''', defínese como unha inmersión que é un mergullo no sentido topolóxico mencionado anteriormente (é dicir, [[homeomorfismo]] na súa imaxe). <ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Bishop|Crittenden|1964}}. {{Cita Harvard sen parénteses|Bishop|Goldberg|1968}}. {{Cita Harvard sen parénteses|Crampin|Pirani|1994}}. {{Cita Harvard sen parénteses|do Carmo|1994}}. {{Cita Harvard sen parénteses|Flanders|1989}}. {{Cita Harvard sen parénteses|Gallot|Hulin|Lafontaine|2004}}. {{Cita Harvard sen parénteses|Kobayashi|Nomizu|1963}}. {{Cita Harvard sen parénteses|Kosinski|2007}}. {{Cita Harvard sen parénteses|Lang|1999}}. {{Cita Harvard sen parénteses|Lee|1997}}. {{Cita Harvard sen parénteses|Spivak|1999}}. {{Cita Harvard sen parénteses|Warner|1983}}.</ref>

Noutras palabras, o dominio dun mergullo é difeomorfo á súa imaxe e, en particular, a imaxe dun mergullo debe ser unha [[subvariedade]]. Un mergullo é precisamente un '''mergullo local''', é dicir, para calquera punto <math>x\in M</math> hai unha veciñanza <math>x\in U\subset M</math> tal que <math>f:U\to N</math> é un mergullo.

Cando a variedade de dominio é compacta, a noción de mergullo suave é equivalente á de inmersión inxectiva.

Un caso importante é <math>N = \mathbb{R}^n</math>. O interese aquí está en saber como debe ser o tamaño <math>n</math> para unha mergullo, en canto á dimensión <math>m</math> de <math>M</math>. O [[teorema do mergullo de Whitney]] <ref>Whitney H., ''Differentiable manifolds,'' Ann. of Math. (2), '''37''' (1936), pp. 645–680</ref> afirma que <math>n = 2m</math> é suficiente e é o mellor límite linear posible. Por exemplo, o espazo proxectivo real <math>\mathbb{R}\mathrm{P}^m</math> de dimensión <math>m</math>, onde <math>m</math> é unha potencia de dous, esixe que sexa <math>n = 2m</math> para ter un mergullo. No entanto, isto non se aplica ás inmersións; por exemplo, <math>\mathbb{R}\mathrm{P}^2</math> pode estar inmerso en <math>\mathbb{R}^3</math> como mostra explicitamente a [[superficie de Boy]] (que ten autointerseccións).

=== Xeometría de Riemann e pseudoriemanniana ===
Nas [[xeometría de Riemann]] e xeometría pseudoriemanniana: Sexan <math>(M,g)</math> e <math>(N,h)</math> [[Variedade de Riemann|variedades riemannianas]] ou máis xeralmente [[Variedade pseudo-riemanniana|variedades pseudoriemannianas]]. Un '''mergullo isométrico''' é un mergullo suave <math>f:M\rightarrow N</math> que conserva a (pseudo-) [[Métrica de Riemann|métrica]] no sentido de que <math>g</math> é igual á [[regresión]] de <math>h</math> por <math>f</math>, é dicir <math>g=f^{*}h</math>. Explicitamente, para dous vectores tanxentes calquera <math>v,w\in T_x(M)</math> temos

: <math>g(v,w)=h(df(v),df(w)).</math>

Na xeometría de Riemann, un mergullo isométrico é un mergullo suave que conserva a lonxitude das [[Curva|curvas]] ([[Teorema de mergullo de Nash]]).<ref>Nash J., ''The embedding problem for Riemannian manifolds,'' Ann. of Math. (2), '''63''' (1956), 20–63.</ref>

== Álxebra ==
En xeral, para unha [[Variedade (álxebra)|categoría alxébrica]] <math>C</math>, un mergullo entre dúas <math>C</math>-estruturas alxébricas <math>X</math> e <math>Y</math> é un <math>C</math>-morfismo {{Nowrap|<math>e:X\rightarrow Y</math>}} que é inxectivo.

=== Teoría de corpos ===
Na [[Corpo (álxebra)|teoría de corpos]], un '''mergullo''' dun [[Corpo (álxebra)|corpo]] <math>E</math> nun corpo <math>F</math> é un [[homomorfismo de anéis]] {{Nowrap|<math>\sigma:E\rightarrow F</math>}}.

O [[Kernel (álxebra)|kernel]] de <math>\sigma</math> é un [[ideal (teoría dos aneis)|Ideal]] de <math>E</math>, que non pode ser todo o corpo <math>E</math>, por mor da condición {{Nowrap|<math>1=\sigma(1)=1</math>}}. Alén diso, calquera corpo ten como ideais só o ideal cero e o propio corpo (porque se hai algún elemento do corpo distinto de cero nun ideal, é invertíbel, mostrando que o ideal é todo o corpo). Polo tanto, o kernel é <math>0</math>, polo que calquera mergullo de corpos é un [[monomorfismo]]. Polo tanto, <math>E</math> é [[Isomorfismo|isomorfo]] ao subcorpo <math>\sigma(E)</math> de <math>F</math>. Isto xustifica o nome de ''mergullo'' para un homomorfismo arbitrario de corpos.

=== Álxebra universal e teoría de modelos ===
Se <math>\sigma</math> é unha [[Sinatura (lóxica)|sinatura]] e <math>A,B</math> son <math>\sigma</math>-estruturas (tamén chamadas [[sigma-álxebra|<math>\sigma</math>-álxebras]] en [[álxebra universal]] ou modelos en [[teoría dos modelos]]), daquela un mapa <math>h:A \to B</math> é un <math>\sigma</math>-mergullo exactamente se todo o seguinte se cumpre:

* <math>h</math> é inxectivo,
* para cada símbolo de <math>n</math> argumentos <math>f \in\sigma</math> e <math>a_1,\ldots,a_n \in A^n,</math> temos <math>h(f^A(a_1,\ldots,a_n))=f^B(h(a_1),\ldots,h(a_n))</math> ,
* para cada símbolo de relación de <math>n</math> argumentos  <math>R \in\sigma</math> e <math>a_1,\ldots,a_n \in A^n,</math> temos <math>A \models R(a_1,\ldots,a_n)</math> se <math>B \models R(h(a_1),\ldots,h(a_n)).</math>

Aquí <math>A\models R (a_1,\ldots,a_n)</math> é unha notación de teoría de modelos equivalente a <math>(a_1,\ldots,a_n)\in R^A</math>. Na teoría de modelos tamén hai unha noción máis forte que sería o mergullo elemental.

== Teoría da orde e teoría do dominio ==
Na [[teoría da orde]], un mergullo de conxuntos parcialmente ordenados é unha función <math>F</math> entre conxuntos parcialmente ordenados <math>X</math> e <math>Y</math> tal que

: <math>\forall x_1,x_2\in X: x_1\leq x_2 \iff F(x_1)\leq F(x_2).</math>

A inxectividade de <math>F</math> obtense rapidamente desta definición. 

Na [[teoría dos dominios]], un requisito adicional é que

: <math> \forall y\in Y:\{x \mid F(x) \leq y\}</math> é un [[conxunto dirixido]].

== Espazos métricos ==
Un mapa <math>\phi: X \to Y</math> de [[Espazo métrico|espazos métricos]] denomínase ''mergullo'' (con [[Factor de estiramento|distorsión]] <math>C>0</math>) se

: <math> L d_X(x, y) \leq d_Y(\phi(x), \phi(y)) \leq CLd_X(x,y) </math>

para todo <math>x,y\in X</math> e algunha constante <math>L>0</math>.

=== Espazos normados ===
Un caso especial importante é o dos [[Espazo normado|espazos normados]]; neste caso é natural considerar mergullos lineares.

Unha das preguntas básicas que se poden facer sobre un espazo normado de dimensión finita <math>(X, \| \cdot \|)</math> é, ''cal é a dimensión máxima <math>k</math> tal que o [[espazo de Hilbert]] <math>\ell_2^k</math> pódese mergullar linearmente en <math>X</math> con distorsión constante?''

A resposta vén dada polo [[teorema de Dvoretzky]].

== Teoría de categorías ==
Na [[Teoría das categorías|teoría de categorías]], non existe unha definición satisfactoria e xeralmente aceptada de '''mergullo''' que sexa aplicable en todas as categorías. Cabería esperar que todos os isomorfismos e todas as composicións de mergullos sexan mergullos, e que todos os mergullos sexan monomorfismos. Outros requisitos típicos son: calquera [[Monomorfismo|monomorfismo extremo]] é un mergullo e os mergullos son estables baixo [[Regresión|regresións]] (pullbacks).


== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
* {{cita libro|last1=Bishop|first1=Richard Lawrence|author-link1=Richard L. Bishop|last2=Crittenden|first2=Richard J.|title=Geometry of manifolds|url=https://archive.org/details/geometryofmanifo0000unse|publisher=Academic Press|location=New York|year=1964|isbn=978-0-8218-2923-3}}
* {{cita libro|last1=Bishop|first1=Richard Lawrence|author1-link=Richard L. Bishop|last2=Goldberg|first2=Samuel Irving|title=Tensor Analysis on Manifolds|publisher=The Macmillan Company|year=1968|edition=First Dover 1980|isbn=0-486-64039-6|url=https://archive.org/details/tensoranalysison00bish}}
* {{cita libro|last1=Crampin|first1=Michael|last2=Pirani|first2=Felix Arnold Edward|author-link2=Felix Pirani|title=Applicable differential geometry|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge, England|year=1994|isbn=978-0-521-23190-9|url=https://archive.org/details/applicablediffer0000cram}}
*{{cita libro|title = Riemannian Geometry|first=Manfredo Perdigao | last = do Carmo |author-link=Manfredo do Carmo | year = 1994|publisher=Birkhäuser Boston |isbn=978-0-8176-3490-2}}
* {{cita libro|last=Flanders|first=Harley|author-link=Harley Flanders|title=Differential forms with applications to the physical sciences|publisher=Dover|year=1989|isbn=978-0-486-66169-8}}
* {{cita libro| last1=Gallot | first1=Sylvestre | author1-link=Sylvestre Gallot | last2=Hulin | first2=Dominique |author2-link=Dominique Hulin| last3=Lafontaine | first3=Jacques | title=Riemannian Geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-3-540-20493-0 | year=2004}}
* {{cita libro|first1=John Gilbert|last1=Hocking|first2=Gail Sellers|last2=Young|title=Topology|year=1988|orig-year=1961|publisher=Dover|isbn=0-486-65676-4|url=https://archive.org/details/topology00hock_0}}
*{{cita libro|last=Kosinski|first=Antoni Albert|year=2007|orig-year=1993|title=Differential manifolds|url=https://archive.org/details/differentialmani0000kosi_k1k6|location=Mineola, New York|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-46244-8}}
*{{cita libro| isbn = 978-0-387-98593-0 | title = Fundamentals of Differential Geometry | last1 = Lang | first1 = Serge |author-link1=Serge Lang| year = 1999 |publisher=Springer|location=New York| series = Graduate Texts in Mathematics}}
*{{cita libro|last1=Kobayashi|first1=Shoshichi|author-link1=Shoshichi Kobayashi|last2=Nomizu|first2=Katsumi|author-link2=Katsumi Nomizu| title = Foundations of Differential Geometry, Volume 1| publisher=Wiley-Interscience |location=New York| year=1963}}
* {{cita libro|first=John Marshall|last=Lee|authorlink = John M. Lee|title=Riemannian manifolds|publisher=Springer Verlag|year=1997|isbn=978-0-387-98322-6}}
* {{cita libro| first = R.W. | last = Sharpe | title = Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program | publisher = Springer-Verlag, New York | year = 1997| isbn = 0-387-94732-9}}.
* {{cita libro|last=Spivak|first=Michael|author-link=Michael Spivak|title=A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 1)|year=1999|orig-year=1970|publisher=Publish or Perish|isbn=0-914098-70-5}}
* {{cita libro| first=Frank Wilson| last = Warner |authorlink  = Frank Wilson Warner| title = Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups | url=https://archive.org/details/foundationsofdif0000warn| publisher = Springer-Verlag, New York | year = 1983| isbn = 0-387-90894-3}}.
=== Outros artigos ===
*[[Inmersión (matemáticas)]]
*[[Subvariedade]]
*[[Cobertura (álgebra)|Cobertura]]

=== Ligazóns externas ===
*{{cita libro|last=Adámek|first=Jiří|author2=Horst Herrlich |author3=George Strecker |title=Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats)|url=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/|year=2006}}
* [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Embedding Embedding of manifolds] on the Manifold Atlas.
* [http://xtsunxet.usc.es/carlos/variedades/topoloxia.html#subvariedades Subvariedades] Notas de J.C. Díaz sobre topoloxía diferencial 


{{control de autoridades}}

[[Categoría:Teoría da orde]]
[[Categoría:Funcións]]
[[Categoría:Teoría das categorías]]
[[Categoría:Álxebra abstracta]]
[[Categoría:Topoloxía]]
[[Categoría:Xeometría]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]