Ver o código fonte de «Matriz (matemáticas)»

En [[matemáticas]], unha '''matriz''' é un conxunto de números ordenados en filas e columnas de forma rectangular, na que se pode definir un conxunto de operacións. As matrices teñen múltiples aplicacións, como na resolución de [[Sistema de ecuacións lineais|sistemas de ecuacións lineais]], e son fundamentais na [[álxebra lineal]].

== Definición ==

{| class="wikitable" style="float:right
!Liñas
!Matriz
|-
|Filas
|[[Ficheiro:Matrix_Rows.svg|150px|matiz 4x4‎]]
|-
|Columnas
|[[Ficheiro:Matrix_Columns.svg|150px|‎]]
|}

Unha '''matriz''' en ''R'' é unha colección dobremente indexada de elementos dun [[Anel (álxebra)|anel]] ''R'', é dicir, que os elementos disporanse en ''filas'' e ''columnas'' e que os elementos teñen definidos operacións semellantes a [[suma]] e ao [[Produto (aritmética)|produto]].{{sfn|Lang||||2002|p=503}} A meirande parte deste artigo referirase as matrices de elementos nun corpo ''K'', en particular, ás ''matrices reais'' ou ''complexas'', é dicir, matrices cuxos elementos son números reais ou complexos, respectivamente. Un exemplo dunha matriz sería:

:<math>
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}
</math>

Os obxectos matemáticos que conforman a matriz son os seus ''elementos''. As liñas horizontais chámanse ''filas'', e as verticais, ''columnas''.

=== Orde ===
Unha ''matriz de orde <math>{m \times n}</math>'' ou, xeralmente, unha ''matriz <math>{m \times n}</math>'' é unha matriz con ''m'' filas e ''n'' columnas, e ''m'' e ''n'' son as dimensións da matriz. Por exemplo, a matriz '''A''' anterior é unha matriz <math>{2 \times 3}</math>. A matriz <math>{1 \times n}</math> será unha matriz fila, e a matriz <math>{n \times 1}</math> será unha matriz columna. 

Para referirmos ao conxunto de matrices de orde ''<math>{m \times n}</math>'', usaremos <math>\mathcal{M}_{m\times n}(\mathcal{R})</math>, onde <math>\mathcal{R}</math> é o [[Anel (álxebra)|anel]] ao que pertencen os elementos. No caso do conxunto de matrices cadradas e ''<math>{m = n}</math>'', usaremos a notación de  <math>\mathcal{M}_{n}(\mathcal{R})</math>

== Notación ==
As matrices adoitan denotarse con letras maiúsculas, en tanto que os seus elementos son denotados por letras minúsculas con dous índices. Aquí, usaremos a notación de dobre subindexado para falar dos elementos dunha matriz '''A''': o elemento de '''A''' na fila ''i'' e na columna ''j'' denótase por ''a''<sub>ij</sub>. Normalmente, unha matriz escribirase da seguinte forma:

:<math>
\mathbf{A} = 
 \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
 \end{bmatrix} = 
 \begin{pmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
 \end{pmatrix}=\left(a_{ij}\right)
</math>.

Deste xeito, se:

:<math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & 7 & 1\\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}</math>

entón ''a''<sub>23</sub> = 1 e ''a''<sub>11</sub> = 4. Ás veces, utilizarase ''A<sub>ij</sub>'' para representar ''a<sub>ij</sub>'' e a notación de (''a<sub>ij</sub>'') para referirse á matriz ''A'' cando a súa orde estea clara polo contexto. Hai que ter en conta que existen outra notación, na que se escribirá <math>a_j^i </math> para indicar o mesmo elemento.{{Sfn|Rojo||||2007|p=115}} Ás veces, para traballar comodamente coas columnas dunha matriz, escribiremos <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_1, \ldots, a_n \end{pmatrix}</math> onde <math>a_i</math> é a columna i-ésima.

Diremos que dúas matrices <math>\mathbf{A}</math> e <math>\mathbf{B}</math> son iguais cando teñen a mesma orde ''m×n'' e todos os elementos correspondentes son iguais, é dicir, <math>a_{ij} = b_{ij}, \, 1 \leq m, \, 1 \leq n</math>.

No estudo das matrices, adoitase chamar ''[[escalar]]'' aos elementos do anel, é dicir, os escalares serán os números reais se o noso anel son os reais.

== Operacións de matrices ==

=== Multiplicación por un escalar ===
A [[multiplicación]] é unha das operacións máis sinxelas que poden ser feitas con matrices. Para multiplicar un número  calquera por unha matriz ''m''×''n'' <math> \mathbf{A} </math>, basta multiplicar cada elemento de <math> \mathbf{A} </math> por <math> k </math>. Así, a matriz resultante <math> \mathbf{B} </math> será tamén ''m''×''n'' e <math> b_{ij} = k \cdot a_{ij} </math>. Con iso, pódese pensar tamén na noción de dividir unha matriz por un número: basta multiplicala polo [[Elemento inverso|inverso]] dese número. Mais esa noción pode ser perigosa: en canto a multiplicación entre un número e unha matriz pode ser dita "[[Conmutatividade|conmutativa]]", o mesmo non vale para a división, pois non se pode dividir un número por unha matriz.

Por exemplo:

:<math>2
  \begin{pmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\
    2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    2 & 16 & -6 \\
    8 & -4 & 10
  \end{pmatrix}
</math>

=== Adición de matrices ===
{{ap|suma de matrices}}
Se <math> \mathbf{A} </math> e <math> \mathbf{B} </math> son dúas matrices da mesma orde ''m''×''n'', entón a '''suma''' <math> \mathbf{A + B} </math> é a matriz de orde  ''m''×''n'' que se obtén ao sumar os elementos de <math> \mathbf{A} </math> cos elementos de <math> \mathbf{B} </math> que lle corresponden, é dicir, dadas as matrices <math>\mathbf{A}</math> e <math>\mathbf{B}</math> da mesma orde, <math>\mathbf{A} = (a_{ij}) </math> e <math> \mathbf{B} = (b_{ij}) </math>, entón a suma <math> \mathbf{A+B} = (a_{ij}+b_{ij}) </math>.

Por exemplo:
:<math>
  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{pmatrix}
+
  \begin{pmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{pmatrix}
</math>.

A matriz <math> (-1)\mathbf{A} </math> escríbese <math> -\mathbf{A} </math>, e entón podemos definir a diferenza de dúas matrices: dadas as matrices <math> A </math> e <math> B </math> da mesma orde, <math> \mathbf{A} = (a_{ij}) </math> e <math> \mathbf{B} = (b_{ij}) </math>, entón a diferenza <math> \mathbf{A-B} = \mathbf{A+(-B)} = (a_{ij}-b_{ij}) </math>.

=== Transposición ===
Se <math> \mathbf{A} </math> é unha matriz de orde ''m''×''n'', entón a matriz trasposta de <math> \mathbf{A} </math> é a matriz ''n''×''m'' <math> \mathbf{A}^\mathrm{T}</math> que se forma intercambiando as filas e as columnas de <math> \mathbf{A} </math>, isto é, <math> (\mathbf{A}_{ij})^\mathrm{T} = \mathbf{A}_{ji}.</math>

Por exemplo:

:<math>  \begin{pmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{pmatrix}^\mathrm{T}
=
  \begin{pmatrix}
    1 & 4 \\
    8 & -2 \\
    -3 & 5
  \end{pmatrix}
</math>

=== Produto de matrices ===
{{ap|produto de matrices}}
O produto de dúas matrices é só posíbel se o número de columnas da matriz da esquerda é o mesmo número de liñas da matriz da dereita. Se <math> \mathbf{A}</math> é unha matriz ''m''×''n'' e <math> \mathbf{B} </math> é unha matriz ''n''×''p'', entón o produto <math>\mathbf{C} = \mathbf{AB} </math> é unha matriz ''m''×''p'' é <math> c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{in}b_{nj} </math>.

Por exemplo:
:<math>
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 2 \\
    -1 & 3 & 1 \\
  \end{pmatrix}
\times
  \begin{pmatrix}
    3 & 1 \\
    2 & 1 \\
    1 & 0
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
     (1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1) & (1 \times 1   +   0 \times 1   +   2 \times 0) \\
    (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1) & (-1 \times 1   +   3 \times 1   +   1 \times 0) \\
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    5 & 1 \\
    4 & 2 \\
  \end{pmatrix}
</math>

=== Potencia dunha matriz cadrada ===
{{ap|produto de matrices}}
A potencia dunha matriz sería unha multiplicación repetida, o que pode realizarse cando a matriz é cadrada.

Cando unha matriz <math>A</math> cadrada é [[matriz diagonalizábel|diagonalizábel]]
esta diagonalización <math>A = PDP^{-1}</math>, onde <math>D</math> é unha matriz diagonal, pódese usar para calcular eficientemente as potencias dunha matriz:

: <math>\begin{align}
 A^k &= \left(PDP^{-1}\right)^k = \left(PDP^{-1}\right) \left(PDP^{-1}\right) \cdots \left(PDP ^{-1}\right) \\
 &= PD\left(P^{-1}P\right) D \left(P^{-1}P\right) \cdots \left(P^{-1}P\right) D P^{-1 } = PD^kP^{-1},
\end{align}</math>

e isto último é doado de calcular xa que só implica as potencias dunha matriz diagonal (e finalmente dúas multiplicacións).

== Álxebra de matrices ==

=== Propiedades da adición de matrices e da multiplicación por escalares ===
Dadas as matrices <math> \mathbf{A} </math>, <math> \mathbf{B} </math>, <math> \mathbf{C} </math> da mesma orde e <math>c</math>, <math>d</math> escalares, entón cúmprense as seguintes propiedades:

# '''Conmutativa''': <math> \mathbf{A}+\mathbf{B} = \mathbf{B}+\mathbf{A}  </math>
# '''Asociativa''': <math> (\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C} = \mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})  </math>
# '''Elemento neutro da suma de matrices''': Para todas as matrices da mesma orde, existe unha matriz <math> \mathbf{O} </math> tal que <math> \mathbf{A}+\mathbf{O} = \mathbf{A} </math> para calquera matriz <math> \mathbf{A} </math>
# '''Elemento oposto da suma de matrices''': Para toda matriz <math>A</math> existe unha matriz  <math> -\mathbf{A}</math> tal que <math> \mathbf{A}+(-\mathbf{A})=\mathbf{O} </math>
# '''Distributiva respecto á suma de matrices''': <math> c(\mathbf{A}+\mathbf{B})=c\mathbf{A}+c\mathbf{B}  </math>
# '''Distributiva respecto á suma de escalares''':<math> (c+d)\mathbf{A} = c\mathbf{A}+d\mathbf{A}  </math>
# <math> c(d\mathbf{A})=(cd)\mathbf{A}  </math>
# <math> 1\mathbf{A} = \mathbf{A} </math> onde <math>1</math> é o [[elemento neutro]] do produto do anel ''R'' ao que pertence o escalar.<!-- Combinacións lineais de matrices -->

=== Propiedades do produto de matrices ===
Dadas as matrices <math> \mathbf{A} </math>, <math> \mathbf{B} </math>, <math> \mathbf{C} </math> das ordes axeitadas para que as operacións estean definidas, e <math>k </math> un escalar, entón cúmprense as seguintes propiedades:

# '''Asociativa''': <math> \mathbf{A}(\mathbf{BC})=(\mathbf{AB})\mathbf{C} </math>
# '''Distributiva pola esquerda''': <math> \mathbf{A}(\mathbf{B+C})=\mathbf{AB+AC} </math>
# '''Distributiva pola dereita''': <math> (\mathbf{A+B})\mathbf{C} = \mathbf{AC+BC} </math>
# <math> k(\mathbf{AB}) = (k\mathbf{A})\mathbf{B} = \mathbf{A}(k\mathbf{B}) </math>
# Se <math>\mathbf{A}</math> ten orde ''m''×''n'', <math> \mathbf{I}_m\mathbf{A} = \mathbf{A} = \mathbf{AI}_n </math>

En xeral, observamos que o produto de dúas matrices  <math> \mathbf{A} </math> e <math> \mathbf{B} </math> é '''non conmutativo''':

* Se as matrices non son cadradas, polo menos un dos dous produtos non estará definido.
* De seren dúas matrices cadradas, os produtos <math> \mathbf{AB} </math> e <math> \mathbf{BA}</math> estarán definidos, pero non teñen por que coincidir, como no seguinte exemplo:

 Exemplo: <math> \begin{pmatrix} 1 & 2  \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0  \\ 
    0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 2  \\  0 & 4 \end{pmatrix} </math>  e <math> \begin{pmatrix} 0 & 0  \\  0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2  \\ 3 & 4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0  \\  3 & 4 \end{pmatrix} </math> as matrices non conmutan.
De coincidiren, <math> \mathbf{AB} = \mathbf{BA} </math> e diremos que as matrices <math> \mathbf{A} </math> e <math> \mathbf{B} </math> conmutan.

=== Propiedades da transposición ===
Dadas as matrices <math> \mathbf{A} </math>, <math> \mathbf{B} </math> das ordes axeitadas para que as operacións estean definidas, e <math>k </math> un escalar, entón cúmprense as seguintes propiedades:

# <math> (\mathbf{A}^\mathrm{T})^\mathrm{T} = \mathbf{A} </math>
# <math> (k\mathbf{A})^\mathrm{T} = k\mathbf{A}^\mathrm{T} </math>
# <math> (\mathbf{A+B})^\mathrm{T} = \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{B}^\mathrm{T} </math>
# <math> (\mathbf{AB})^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} </math>

== Matriz cadrada ==
{{ap|matriz cadrada}}
Unha matriz cadrada é unha matriz co mesmo número de filas que de columnas, é dicir, son as matrices de orde ''n''x''n'' ou, simplemente, de orde ''n''. Chamaremos ao conxunto de elementos da forma <math> a_{ii} </math> como [[Matriz cadrada#Diagonal principal|diagonal principal]].

=== Principais tipos ===

==== Matrices diagonais e triangulares ====
{{ap|matriz diagonal|matriz triangular}}
:{| class="wikitable" style="float:right; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
|-
! Nome !! Exemplo con ''n''=3
!Definición
|-
|[[Matriz diagonal]]|| style="text-align:center;" |<math>
      \begin{pmatrix}
           a_{11} & 0 & 0 \\
           0 & a_{22} & 0 \\
           0 & 0 & a_{33} \\
      \end{pmatrix}
  </math>
|<math>
i \neq j \implies a_{ij} = 0
</math>
|-
|[[Triangular inferior|Matriz triangular inferior]]|| style="text-align:center;" |<math>
      \begin{pmatrix}
           a_{11} & 0 & 0 \\
           a_{21} & a_{22} & 0 \\
           a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
      \end{pmatrix}
  </math>
|<math>
i > j \implies a_{ij} = 0
</math>
|-
|[[Triangular superior|matriz triangular superior]]|| style="text-align:center;" |<math>
      \begin{pmatrix}
           a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
           0 & a_{22} & a_{23} \\
           0 & 0 & a_{33} \\
      \end{pmatrix}
  </math>
|<math>
i < j \implies a_{ij} = 0
</math>
|}
Se todos os elementos da matriz <math> \mathbf{A} </math> por debaixo da diagonal principal son nulos , <math> \mathbf{A} </math> é unha [[Matriz triangular|matriz triangular]] superior. Analogamente, se os elementos que están por riba da diagonal principal son cero, entón <math> \mathbf{A} </math> é unha matriz diagonal inferior. Se todas os elementos que no estean na diagonal principal son nulos, diremos que <math> \mathbf{A} </math> é unha [[Matriz diagonal|matriz diagonal]].

Se os elementos da diagonal son <math> \lambda_1 \ldots \lambda_n </math>, defínese <math>  \operatorname{diag}(\lambda_1 \ldots \lambda_n) </math> como a matriz diagonal na que <math> a_{ii} = \lambda_i </math>.

==== Matriz identidade ====
{{ap|Matriz identidade}}
A [[Matriz identidade|matriz identidade]] <math>\mathbf{I}_n</math>de orde ''n'' é a matriz de orde ''n''x''n'' tal que todos os elementos da diagonal principal son iguais a 1, e o resto de elementos son iguais a 0, como:

:<math>
\mathbf{I}_1 = \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}
,\ 
\mathbf{I}_2 = \begin{pmatrix}
         1 & 0 \\
         0 & 1 
      \end{pmatrix}
,\ \cdots ,\ 
\mathbf{I}_n = \begin{pmatrix}
         1 & 0 & \cdots & 0 \\
         0 & 1 & \cdots & 0 \\
         \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
         0 & 0 & \cdots & 1
      \end{pmatrix}
</math>

Son un tipo especial de matrices cadradas, que toman o seu nome porque manteñen as matrices despois do produto: <math>\mathbf{A}\mathbf{I}_n = \mathbf{I}_n\mathbf{A}</math> para toda matriz <math> \mathbf{A} </math>de orde ''m''x''n''.

==== Matriz simétrica e antisimétrica ====
{{ap|matriz simétrica}}
Unha matriz cadrada <math> \mathbf{A} </math> é unha [[matriz simétrica]] se <math> \mathbf{A} = \mathbf{A}^\mathrm{T} </math>, mais se <math> \mathbf{A} = -\mathbf{A}^\mathrm{T} </math>, entón  <math> \mathbf{A} </math> é unha [[matriz antisimétrica]].

Pódense construír matrices destes tipos a partir doutras que non pertence, por exemplo, se <math> \mathbf{A} </math>é unha matriz cadrada, <math> \mathbf{A}+\mathbf{A}^\mathrm{T} </math>é unha matriz simétrica e  <math> \mathbf{A}-\mathbf{A}^\mathrm{T} </math>é unha matriz antisimétrica,  e para calquera matriz <math> \mathbf{A} </math>, <math> \mathbf{AA}^\mathrm{T} </math>é unha matriz simétrica.<!-- Hermiticas -  Teorema espectral -->

==== Matriz invertible e matriz inversa ====
{{ap|matriz invertíbel}}
Unha matriz cadrada <math> \mathbf{A} </math> de orde ''n'', é ''[[Matriz invertible|invertible]]'' o ''non singular'' se existe unha matriz <math> B </math> tal que <math> \mathbf{AB} = \mathbf{BA} = \mathbf{I}_n </math>, onde <math>\mathbf{I}_n</math> é a matriz identidade ''n''x''n''. Se <math> \mathbf{B} </math> existe, entón denotarémola como a [[Matriz invertible|matriz inversa]] de <math> \mathbf{A} </math> ou <math> \mathbf{A}^{-1} </math>. {{Sfn|Poole||||2011|p=167}} A matriz inversa ten as seguintes propiedades:

* Se <math> \mathbf{C} = \mathbf{AB} </math> e todas son matrices cadradas e invertibles, entón <math> \mathbf{C}^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}</math>.
* <math> (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} = (\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1}   </math>
* Se <math> \mathbf{A}</math> é simétrica, entón <math> \mathbf{A}^{-1} </math>tamén.
* Se existe a matriz inversa, entón esta ha de ser única.

==== Matriz ortogonal ====
{{ap|matriz ortogonal}}
Unha matriz cadrada <math> \mathbf{A} </math> é unha matriz ortogonal con elementos [[Número real|reais]]  se a súa matriz trasposta é igual á súa matriz inversa: <math>\mathbf{A}^\mathrm{T} = \mathbf{A}^{-1}</math>. Deste xeito, temos que <math>\mathbf{A}^\mathrm{T}\mathbf{A} = \mathbf{A}\mathbf{A}^\mathrm{T} = \mathbf{I}_n</math>.<!-- Relación con transformacións lineais --><!-- Completar complexos -->

==== Matriz nilpotente ====
{{ap|matriz nilpotente}}
Unha matriz nilpotente é unha  matriz cadrada  ''N'' tal que
<math>N^k = 0\,</math>
para algún [[enteiro]] <math>k</math>.  O menor deses <math>k</math> chámase '''índice''' de <math>N</math><ref>{{harvtxt|Herstein|1975|p=294}}</ref>.

Por exemplo a matriz
:<math> 
A = \begin{bmatrix} 
0 & 1 \\
0 & 0 
\end{bmatrix}
</math>
é nilpotente con índice 2, pois <math>A^2 = 0</math>.

=== Operacións principais ===

==== Traza ====
A [[Traza (álxebra linear)|traza]], <math> \operatorname{tr}(\mathbf{A}) </math>, dunha matriz cadrada <math>\mathbf{A}</math> é a suma dos elementos da súa diagonal, é dicir, <math> \operatorname{tr}(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^n a_{ii} </math>. Un exemplo sería

:<math>
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
         a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
         a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
         a_{31} & a_{32} & a_{33}
      \end{pmatrix}
,\ 
\mathbf{B} = \begin{pmatrix}
         3 & -4 & 3 & 6\\
         1 & 8 & -7 & 5 \\
         -2 & 0 & 1 & -2 \\
         4 & 1 & 5 & -9
      \end{pmatrix}
</math>

:<math>
\operatorname{tr}(\mathbf{A}) = a_{11} + a_{22} + a_{33}
,\  
\operatorname{tr}(\mathbf{B}) = 3 + 8 + 1 -9 = 3
</math>

Pódese deducir pola definición de produto de matrices que:

:<math>
\operatorname{tr}(\mathbf{AB}) = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji} = \operatorname{tr}(\mathbf{BA})
</math>

Disto conclúese que a traza dun produto de máis de dúas matrices é independente dunha [[permutación]] cíclica de matrices, mais isto non se aplica en xeral a permutacións arbitrarias, por exemplo <math> \operatorname{tr}(\mathbf{ABC}) = \operatorname{tr}(\mathbf{CAB}) = \operatorname{tr}(\mathbf{BCA}) \neq \operatorname{tr}(\mathbf{BAC}) </math>. Tamén temos que a traza dunha matriz ten a mesma traza que a súa transposta, isto é, <math> \operatorname{tr}(\mathbf{A^\mathrm{T}}) = \operatorname{tr}(\mathbf{A}) </math>.

==== Determinante ====
{{Principal|Determinante (matemáticas)}}
[[Ficheiro:Determinant example.svg|thumb|300px|right|Unha transformación linear en '''R'''{{sup|2}} dada pola matriz indicada. O determinante desta matriz é −1, xa que a área do paralelogramo verde á dereita é 1, mais o mapa inverte a [[orientación (xeometría)|orientación]], xa que xira a orientación antihorario dos vectores cara a un sentido horario.]]

O ''determinante'' dunha matriz cadrada '''A''' (denominado det('''A''') ou |'''A'''|) é un número que codifica certas propiedades da matriz. Unha matriz é invertíbel [[se e só se]] o seu determinante é distinto de cero. 

O seu [[valor absoluto]] é igual á área (en '''R'''{{sup|2}}) ou volume (en '''R'''{{sup|3}}) da imaxe do cadrado (ou cubo), mentres que o seu signo corresponde á orientación do mapa linear correspondente: o determinante é positivo se e só se se conserva a orientación.

O [[Determinante (matemáticas)|determinante]] <math> \operatorname{det}(\mathbf{A}) </math>ou <math> |\mathbf{A}| </math>dunha matriz cadrada é a única función matricial que leva ao conxunto <math>\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})</math> a <math>\mathbb{K}</math> que cumpre:{{Sfn|Blyth|Robertson|1986|||p=86}}

# <math> \operatorname{det}(\ldots, b_i+c_i, \ldots) = \operatorname{det}(\ldots, b_i, \ldots) + \operatorname{det}(\ldots, c_i, \ldots) </math>
# <math> \operatorname{det}(\ldots, \lambda a_i, \ldots) = \lambda \operatorname{det}(\ldots, a_i, \ldots) </math>
# <math> \operatorname{det}(a_1, \ldots, a_i, \ldots, a_j, \ldots, a_n) = -\operatorname{det}(\ldots, a_j, \ldots, a_i, \ldots) </math>
# <math> \operatorname{det}(\mathbf{I}_n)=1 </math>

Ás propiedades 1 e 2 din que é unha función n-linear para as columnas e a propiedade 3 di que é alternada para as columnas.

O determinante ten diferentes propiedades, entre as que salientan:

* Unha matriz é invertíbel se e só se o seu determinante non é cero.
* <math> \operatorname{det}(\mathbf{A}^\mathrm{T}) = \operatorname{det}(\mathbf{A}) </math> , polo que temos as mesmas propiedades para as filas que para as columnas.
* <math> \operatorname{det}(\mathbf{AB})=\operatorname{det}(\mathbf{A})\operatorname{det}(\mathbf{B}) </math>
* O seu valor absoluto equivale á área (en <math>\mathbb{R}^2</math>), ao volume (en <math>\mathbb{R}^3</math>) ou ao volume xeneralizado (en <math>\mathbb{R}^n</math>) do cubo que ten por costados aos vectores que corresponden coas columnas da matriz.
* Mediante a [[Regra de Cramer|regra de Cramer]], pódese usar para resolver [[Sistema de ecuacións lineais|sistemas de ecuacións lineais]].<!-- Determinante --><!-- Valores propios --><!-- Rango -->

==== Eigenvalores e eigenvectores ====
{{Principal|Valor propio, vector propio e espazo propio}}
Un número <math display="inline">\lambda</math> e un vector distinto de cero '''v''' que satisfán
:<math>\mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}</math>
chámanse ''eigenvalor'' (ou ''valor propio'') e ''eigenvector'' (ou ''vector propio'') de '''A''', respectivamente.<ref>''Eigen'' significa "propio" en [[idioma alemán|alemán]] e en [[Lingua holandesa|Holandés]].</ref><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.4.1}}</ref> O número λ é un eigenvalor dunha matriz ''n''×''n''-'''A''' se e só se '''A'''−λ'''I'''{{sub|''n''}} non é invertíbel, o que é equivalente a
:<math>\det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}) = 0.</math><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.4.9}}</ref>
O polinomio <math>p_A</math> nunha  variable  indeterminada {{Mvar|X}} dada pola avaliación do determinante <math>\operatorname{det}(X I_n - A)</math> chámase [[polinomio característico]] de '''A'''. É un [[polinomio mónico]] de [[grao dun polinomio|grao]] {{Mvar|n}}. Polo tanto, a ecuación polinómica <math>p_A(\lambda)=0</math> ten como máximo ''n'' solucións diferentes, é dicir, ''n'' eigenvalores da matriz.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Corollary III.4.10}}</ref> Poden ser complexos aínda que as entradas de '''A''' sexan reais. 

Segundo o [[teorema de Cayley-Hamilton]], <math>p_A(A)=0</math>, é dicir, o resultado de substituír a propia matriz no seu [[polinomio]] característico obtén a matriz cero.

== Ecuacións lineais ==
A álxebra de matrices é interesante para a representación de [[Sistema de ecuacións lineais|sistemas de ecuacións lineais]]. Por exemplo, supoñamos que queremos resolver o seguinte sistema:

:<math> \begin{align}
  5x_1 + 10x_2 + 20x_3 & = 40 \\  
  3x_1 - 9x_2 + 27x_3 & = -54 \\
  -2x_1 + 15x_2 + 10x_3 &= 4 \\
\end{align}   </math>

Entón poderemos representalo pola ecuación de matrices <math> \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b} </math>, onde

:<math>
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
         5 & 10 & 20 \\
         3 & -9 & 27 \\
         -2 & 15 & 10
      \end{pmatrix}
,\ 
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}
         x_1\\
         x_2 \\
         x_3
      \end{pmatrix}
,\ 
\mathbf{b} = \begin{pmatrix}
         40\\
         -54 \\
         4
      \end{pmatrix}

</math>

Como neste caso temos que <math>\mathbf{A}</math> é invertíbel, entón:

:<math> \begin{align}
  \mathbf{A}^{-1}\cdot\mathbf{A} \mathbf{x}&= \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b} \\  
 \mathbf{x} &=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b} \\
\end{align}   </math>

En xeral, se <math>\mathbf{A}</math> é unha matriz ''m''x''n'', <math>\mathbf{x}</math> é unha matriz columna ''n''×1 e <math>\mathbf{b}</math> é outra matriz columna ''m''×1, entón a ecuación <math> \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b} </math>é equivalente ao sistema de ecuacións

:<math>\begin{align}
  a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + &\cdots + a_{1,n}x_n = b_1 \\
                            &\ \ \vdots \\
  a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 + &\cdots + a_{m,n}x_n = b_m 
\end{align}</math>

Como no caso anterior, se ''n'' = ''m'' e <math>\mathbf{A}</math> é invertible (as ecuacións son independentes), podemos escribir <math> \mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{b} </math> para resolver o sistema. En calquera outro caso, ou ben o sistema non té solucións ou ben té infinitas.

== Descomposición ==
{{Artigo principal|Descomposición de matrices}}
Hai diferentes métodos para traballar coas matrices  dun xeito máis sinxelo, para o cal unha posibilidade é o uso de técnicas coñecidas como "[[Descomposición de matrices|descomposición matricial]]" ou "factorización matricial". Debido a que estas transformacións manteñen certas propiedades da matriz orixinal, como o determinante, o rango ou os autovalores, estas propiedades poden ser calculadas a partir da descomposición no canto da matricial orixinal. Deste xeito son utilizadas na [[Análise numérica|análise numérica]] para realizar certas operacións matriciais de maneira máis eficiente.

<!-- Completar
 -->
== Aplicacións ==

=== Teoría de grafos ===
En [[Teoría de grafos|teoría de grafos]], usando as matrices pódense representar grafos, atopar caracterizacións e demostrar resultados con técnicas de [[Álxebra lineal|álxebra lineal]]. Entre as matrices que se utilizan salientan{{Sfn|Bapat||||2010|p=}}:

* A [[Matriz de adxacencia|'''matriz de adxacencia''']], que garda a información de que vértices están conectados por unha aresta. 
* A [[Matriz de incidencia|'''matriz de incidencia''']], que almacena en <math>a_{ij}</math> un -1 se a aresta j sae do vértice i, 1 se entra e 0 no outros casos.
* A [[Matriz laplaciana|'''matriz laplaciana''']], que se define como a matriz diferenza entre a matriz de grados e a matriz de adxacencia.
* A [[Matriz de distancias|'''matriz de distancias''']], que é a matriz que garda a distancia entre os vértices dun grafo.

== Notas ==
{{listaref|30em}}

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
*{{cita libro|apelidos=Anton|nome=Howard|título=Introducción al Álgebra Lineal|lugar=México|editorial=Editorial Limusa, S.A.|ano=2003|isbn=9789681863173|ref=harv}}
*{{Cita libro|título=Basic Linear Algebra|url=https://archive.org/details/basiclinearalgeb0000blyt|apelidos=Blyth|nome=Thomas S.|editorial=Springer|ano=2002|ISBN=9781852336622|ref=|apelidos2=Robertson|nome2=Edmund F.}}
*{{Cita libro|título=Essential Student Algebra: Volume Two: Matrices and Vector Spaces|apelidos=Blyth|nome=Thomas S.|editorial=Springer|ano=1986|ISBN=978-0-412-27870-9|ref=|apelidos2=Robertson|nome2=Edmund F.}}
*{{cita libro|apelidos=Lang|nome=Serge|título=Algebra|lugar=Nova York|editorial=Springer-Verlag New York|ano=2002|isbn=0-38-795385-X|ref=harv}}
*{{cita libro|apelidos=Poole|nome=David|título=Linear Algebra: A Modern Introduction|lugar=|editorial=Brooks Cole|ano=2011|isbn=0-538-73544-9|ref=harv}}
*{{cita libro|apelidos=Rojo|nome=Jesús|título=Algebra lineal|lugar=Madrid|editorial=McGraw-Hill|ano=2007|isbn=978-84-481-5635-0|ref=harv}}
*{{Cita libro|título=Introduction to Linear Algebra|apelidos=Strang|nome=Gilbert|editorial=Wellesley-Cambridge Press|ano=2016|ISBN=978-09802327-7-6|ref=|edición=Quinta}}
*{{Cita libro|título=Graphs and Matrices|url=https://archive.org/details/graphsmatrices0000bapa|apelidos=Bapat|nome=R.B.|editorial=Springer|ano=2010|ISBN=978-1-84882-980-0|ref=}}
*{{Cita libro|título=Algebraic graph theory|apelidos=Godsil|nome=Chris|editorial=Springer|ano=2001|ISBN=9780387952208|ref=|serie=Graduate Texts in Mathematics|apelidos2=Royle|nome2=Gordon F.}}

=== Ligazóns externas ===
* [https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/ MIT Linear Algebra Video Lectures] de Gilbert Strang {{en}}

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Matrices]]